斐波那契数

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第 10 天

​​斐波那契数​​

难度：简单

题目

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1

F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给定 n ，请计算 F(n) 。

示例 1：

输入：n = 2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：

输入：n = 3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3：

输入：n = 4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

题解

方法1：是最简单的解法但也是最耗时的解法。

// 解法1
var fib = function(N) {
    if (N < 2) return N;
    return fib(N - 1) + fib(N - 2);
}

方法2：从i=2开始迭代N，将第i个元素设置前两个元素的和，这样最后一个元素的值就是斐波那契数。

// 解法2
var fib = function(N) {
    if ( N <= 1) return N;
    const result = new Array(N);
    result[0] = 0;
    result[1] = 1;
    for (let i = 2; i < N + 1; i++) {
        result[i] = result[i - 1] + result[i - 2];
    }
    return result[N];
};

方法3：由于斐波那契数存在递推关系，因此可以使用动态规划求解。动态规划的状态转移方程即为上述递推关系，边界条件为 F(0) 和 F(1)。

根据状态转移方程和边界条件，可以得到时间复杂度和空间复杂度都是 O(n)的实现。由于 F(n) 只和 F(n-1) 与 F(n-2) 有关，因此可以使用「滚动数组思想」把空间复杂度优化成 O(1)。

// 解法3
var fib = function(n) {
    if (n < 2) {
        return n;
    }
    let p = 0, q = 0, r = 1;
    for (let i = 2; i <= n; i++) {
        p = q;
        q = r;
        r = p + q;
    }
    return r;
};

总结

滚动数组的解法太棒了，除了最常规的递归思想，滚动数组以更低的空间复杂度解题更优~