首先我们来看看一个实例：
\[\begin{aligned}
&min &f(x,y)&=x^2+y^2\\
&s.t. &xy&=3
\end{aligned}
\]
即：在定义域\(xy=3\)内，求\(f(x,y)\)的最小值。
两个函数的图像如下：
$z=x^2+y^2$
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$xy=3$
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让我们把两个图像融合到一起：
$z=x^2+y^2$与$xy=3$
在\(z=x^2+y^2\)上划过的两个抛物线就是当点\((x,y)\)满足\(xy=3\)时的点在\(z\)上的取值。这两条抛物线上的点\((x,y,z)\)一 一对应着二维平面上的点\((x,y)\)。二维平面上的两条双曲线就是当前问题的可行域（满足约束条件的点的集合）的可视化表示。现在让我们来看看对\(z\)从最底部往上开始做水平切割，每次的切口都是一个圆，每个圆都对应着下面的二维平面上的一个圆，即等高线。随着往上攀爬，切口的圆表示的\(z\)值越来越大，对应的等高线圆的也越来越大，当切口碰到那两条抛物线时，也就是在可行域内，\(z\)取到了值，之前的值虽然都比现在的小，但是不作数，因为当时的值对应的点\((x,y)\)不在可行域内。继续往上，我们知道，\(z\)的取值会变大，也就是说，只有在切口圆第一次碰到抛物线的时候，\(z\)便已经取到了最大值，此时的切口圆对应的二维平面上的圆刚好与双曲线相切。
现在让我们回到二维的平面，来看看相切时有什么等式成立:
$z=x^2+y^2$及其等高线
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$xy=3$
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三维视角下相切时可行域曲线与目标函数等高线
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二维视角下相切时可行域曲线与目标函数等高线
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在相切时取最小值，另外在相切时有以下等式成立（下式为自己的理解，没有参考书籍，可能有误）：
\[{\nabla}_{x,y} f(x,y) = \lambda \vec{w_g},\lambda \in R
\]
其中，$ \vec{w_g} $ 表示函数\(g\)的法向量，$ {\nabla}_{x,y} f(x,y) $ 为函数\(f(x,y)\)在相切点\((x,y)\)的梯度。
通过上式，我们可以得到：
\[\left(\frac{\Delta f(x,y)}{\Delta x} ,\frac{\Delta f(x,y)}{\Delta y}\right) = \lambda \left(\vec{w_gx},\vec{w_gy} \right)
\]
即：
\[\begin{aligned}
2x &= \lambda y\\
2y &= \lambda x
\end{aligned}
\]
另外，我们有：
\[xy=3
\]
综合这三个等式，得到:
\[(x,y) \in \{(\sqrt{3},\sqrt{3}),(-\sqrt{3},-\sqrt{3})\}
\]
所以\(min f(x,y) = 6\)。
其实我不是很明白为什么低维的成立后，就可以运用到高维，而且高维的情况基本上都是重复几次低维的情况即可。
另外，我们常见的拉格朗日乘数法的形式为：
\[\begin{aligned}
& min &&z=f(x,y) \\
& s.t. &&c_i(x,y)=0, i=1,2,...,n
\end{aligned}
\]
其写成拉格朗日函数的形式为：
\[min \space L(x,\alpha,\beta) = min (f(x,y) + \sum^{n}_{i=1} \lambda_i c_i(x,y))
\]
其实可以理解为：在可行域内，找到能够使\(f(x,y)\)的等高线，与所有\(c\)，同时相切的，所有\((x,y)\)对应的值。另外， \(\sum^{n}_{i=1} \lambda_i c_i(x,y))\) 可以看作是由多个函数组成的，单个函数，让我们记作为\(\psi\)。那么就可以套用上面的例子里面的推理过程，即：
\[\left(\frac{\Delta f(x,y)}{\Delta x} ,\frac{\Delta f(x,y)}{\Delta y}\right) =
\lambda \left(\frac{\Delta \psi}{\Delta x} ,\frac{\Delta \psi}{\Delta y} \right) =
\lambda_1 \left(\frac{\Delta c_1(x,y)}{\Delta x} ,\frac{\Delta c_1(x,y)}{\Delta y} \right) +
\lambda_2 \left(\frac{\Delta c_2(x,y)}{\Delta x} ,\frac{\Delta c_2(x,y)}{\Delta y} \right) +
\cdots+
\lambda_n \left(\frac{\Delta c_n(x,y)}{\Delta x} ,\frac{\Delta c_n(x,y)}{\Delta y} \right)
\]
即（注意，下面的\(\lambda_i\)与上面的\(\lambda_i\)不是同一个）：
\[\begin{aligned}
\frac{\Delta f(x,y)}{\Delta x} &= \lambda_1 \frac{\Delta c_1(x,y)}{\Delta x}\\
\frac{\Delta f(x,y)}{\Delta y} &= \lambda_1 \frac{\Delta c_1(x,y)}{\Delta y}\\
\frac{\Delta f(x,y)}{\Delta x} &= \lambda_2 \frac{\Delta c_2(x,y)}{\Delta x}\\
\frac{\Delta f(x,y)}{\Delta y} &= \lambda_2 \frac{\Delta c_2(x,y)}{\Delta y}\\
& \space \space \vdots \\
\frac{\Delta f(x,y)}{\Delta x} &= \lambda_n \frac{\Delta c_n(x,y)}{\Delta x}\\
\frac{\Delta f(x,y)}{\Delta y} &= \lambda_n \frac{\Delta c_n(x,y)}{\Delta y}\\
\end{aligned}
\]
对于每组待解变量\((x,y,\lambda_i)\)，都有三个方程组：
\[\begin{aligned}
&f(x,y)=0, \\
&\frac{\Delta f(x,y)}{\Delta x} = \lambda_n \frac{\Delta c_n(x,y)}{\Delta x},\\
&\frac{\Delta f(x,y)}{\Delta y} = \lambda_n \frac{\Delta c_n(x,y)}{\Delta y}\\
\end{aligned}
\]
所以，是能够解出\((x,y)\)的。
参考文献：
拉格朗日乘数法 —— 通俗理解
