线性代数矩阵相关知识回顾

时间：2022-09-15 22:56:21

一、矩阵定义

由 \(m \times n\) 个数 \(a_{ij}\)(\(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n\)) 排成的 \(m\)行\(n\)列 的矩形表格。

\[ \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots& a_{mn}\\ \end{bmatrix} \]

称为一个 \(m\times n\) 矩阵，记为 \(A\) 或 \((a_{ij})_{m\times n}\) (\(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n\))。

若 \(m=n\)，称 \(A\) 为 \(n\)阶 方阵。

二、矩阵基本运算

1、相等

 矩阵同型，且元素对应相等。

2、加法

 两个矩阵同型的时候，可以相加 \(A+B=C\)。
 其中，\(c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\)。

3、数乘

 \(k\)是一个数，\(A\)是一个\(m\times n\)的矩阵。

\( kA=Ak=k\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots& a_{mn}\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} ka_{11}& ka_{12}& \cdots& ka_{1n}\\ ka_{21}& ka_{22}& \cdots& ka_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ ka_{m1}& ka_{m2}& \cdots& ka_{mn}\\ \end{bmatrix}=(ka_{ij})_{m\times n} \)

4、线性运算

 加法运算和数乘运算统称矩阵的线性运算。

5、运算律

 交换律

\(A+B=B+A\) (同型矩阵)

 结合律

\((A+B)+C=A+(B+C)\) (同型矩阵)

 分配律

\(k(A+B)=kA+kB\) ;

\((k+j)A=kA+jA\) (同型矩阵,\(k\)为任意常数)

 数和矩阵相乘的结合律

\(k(lA)=(kl)A=l(kA)\)(\(k、l\)为任意常数)

 行列式相关性质

\(\left|\begin{array}{cccc} kA \end{array}\right| \) \(=k^n|A|\) (\(n\geq 2, k\neq 0,1\))

三、矩阵其他变换

1、矩阵的乘法

\(A\) 是 \(m \times s\) 矩阵， \(B\) 是 \(s \times n\) 矩阵（ \(A\) 的列数等于 \(B\) 的行数），\(A\) 与 \(B\) 可乘，乘积 \(AB\) 为 \(m\times n\) 的矩阵。

 \(C=AB\),

\(c_{ij}=\sum \limits_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}\)=\(a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+a_{i3}b_{3j}+ ... +a_{is}b_{sj}\)   (\(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n\))。

运算律

 （1）结合律

\((A_{m\times s}B_{s \times r})C_{r\times n}=A_{m\times s}(B_{s \times r}C_{r\times n})\)

 （2）分配律

\((A_{m\times s}+B_{m \times s})C_{s\times n}=A_{m\times s}C_{s\times n}+B_{m\times s}C_{s\times n}\)

 （3）数乘和乘法的结合律

\((kA_{m\times s})B_{s\times n}=A_{m\times s}(kB_{s\times n})=k(A_{m\times s}B_{s\times n})\)

注意

  • \(AB\neq BA\)
  • \(AB=O \nRightarrow A=O或B=O\)
  • \(AB=AC,A\neq O \nRightarrow B=C\)

2、转置矩阵

将矩阵行列互换，\(m\times n\) 转换成 \(n\times m\)，为 \(A^T\)。

  • \((A^T)^T=A\);

  • \((A+B)^T=A^T+B^T\);

  • \((kA)^T=kA^T\);

  • \((AB)^T=B^TA^T\);

  • \(m=n\) 时，\( \left|\begin{array}{cccc} A^T \end{array}\right| \) \(=\) \(\left|\begin{array}{cccc} A \end{array}\right| \)

3、向量的内积和正交

（1）内积

对 向量 \(\vec\alpha\) \(=\) \(\begin{bmatrix} a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\\ \end{bmatrix}^T\) ， 向量 \(\vec\beta\) \(=\) \(\begin{bmatrix} b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\\ \end{bmatrix}^T\)

\(\vec\alpha ^T\) \(\vec\beta\) \(=\) \(\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i}b_{i}\) \(=\) \(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}\)

   称为内积(是一个数)，记为 ( \(\vec \alpha\) , \(\vec\beta\)) 。

（2）正交

当 \(\vec\alpha ^T\) \(\vec\beta\) \(=0\) 时，向量 \(\vec\alpha\) ，\(\vec\beta\) 是正交向量。

（3）模

\(\begin{Vmatrix} \vec\alpha \end{Vmatrix}\) \(=\) \(\sqrt {\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i}^2}\)

   称为向量 \(\vec\alpha\) 的模（长度）。

   模为 1 时，称为 单位向量 。

（4） 标准正交向量组

列向量组 \(\vec\alpha _{1}\) ,\(\vec\alpha _{2}\),...,\(\vec\alpha _{n}\) 满足

\(\vec\alpha_{i}^T \vec\alpha_{j}\) = \(\begin{cases} 0 &, &i\neq j \\\\ 1 &, &i=j \\ \end{cases}\)

  则称其为标准或单位正交向量组。

(5) 施密特标准正交化

有线性无关向量组 \(\vec\alpha _{1}\) ,\(\vec\alpha _{2}\)，

  • 标准正交化：

\(\vec\beta_{1}\) \(=\) \(\vec\alpha _{1}\)

\(\vec\beta_{2}\) \(=\) \(\vec\alpha_{2}-\frac{(\vec\alpha_{2},\vec\beta_{1})}{(\vec\beta_{1},\vec\beta_{1})}\vec\beta_{1}\)

  即为正交向量组。

  • 再单位化：

\(\vec\eta_{1}\) \(=\) \(\frac{\vec\beta_{1}}{\begin{Vmatrix} \vec\beta_{1} \end{Vmatrix}}\)

\(\vec\eta_{2}\) \(=\) \(\frac{\vec\beta_{2}}{\begin{Vmatrix} \vec\beta_{2} \end{Vmatrix}}\)

  即为标准正交向量组。

4、方阵

（1）方阵的幂

  \(A\) 是一个 \(n\)阶 方阵，\(A^m=AA...A (m个A 相乘)\) 称为 \(A\) 的 \(m\) 次幂。

特别的例子：

\((A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2\)

\((AB)^m=(AB)(AB)...(AB)(m个AB相乘)\neq A^mB^m\)

\(f(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^n\)  \(\Rightarrow\)  \(f(A)=a_{0}E+a_{1}A+...+a_{n}A^n\)

（2）方阵的乘积

\(A、B\)是同阶方阵 \(\Rightarrow\) \(|AB|=|A||B|\)

（3）特殊的方阵

  零矩阵：各元素均为 \(0\) ，记为\(O\)。

  单位矩阵：主对角元素均为 \(1\) ，其余元素均为 \(0\) 的 \(n\) 阶方阵，称为 \(n\) 阶单位矩阵，记为 \(E\) 或 \(I\) 。

  数量矩阵：数 \(k\) 和单位矩阵的乘积所得矩阵。

  对角矩阵：非主对角元素均为 \(0\) 的矩阵。

  上（下）三角矩阵：当\(i>(<)j\)时，\(a_{ij}=0\)的矩阵称为上（下）三角矩阵。

  对称矩阵：满足\(A^T=A\)的矩阵，\(a_{ij}=a_{ji}\)。

  正交矩阵：满足\(A^TA=E\)  \(\Leftrightarrow\)  \(A^T=A^{-1}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(A\)的行（列）向量组是标准正交向量组。

5、分块矩阵

横纵线将矩阵分为若干小块，每个小块都看作一个元素。

\(A\) \(=\) \(\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots& a_{mn}\\ \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} A_{1}\\ A_{2}\\ \vdots\\ A_{m}\\ \end{bmatrix}\) , \(A_{i}\)为一个子块。

注意：\(A、B\)分别为m、n阶方阵，则

\(\begin{bmatrix} A & O\\ O & B\\ \end{bmatrix}^n\) \(=\) \(\begin{bmatrix} A^n & O\\ O & B^n\\ \end{bmatrix}\)

四、矩阵的逆

 \(A、B\) 均为 \(n\) 阶方阵，\(E\) 是 \(n\) 阶单位矩阵，若 \(AB=BA=E\) ，\(A\) 是可逆矩阵，而\(A\) 的逆矩阵是 \(B\)，且逆矩阵唯一，记为 \(A^{-1}\) 。

\(A\)可逆 \(\Leftrightarrow\) \(|A|\neq 0\)，

\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*\)。

1、性质

  • \((A^{-1})^{-1}=A\)

  • 若\(k\neq 0\)，则\((kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}\)

  • \(A、B\)同阶可逆，则\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) (穿脱原则)

  • \(A\)可逆 \(\Rightarrow\) \(A^T\)可逆。\((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)

  • \(|A^{-1}|\) \(=\) \(|A|^{-1}\)

2、求取逆矩阵

（1） 拆解\(A\)，\(A^{-1}=(BC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}\)

（2） \(A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*\)

（3） 特殊形式的矩阵：

   \(\begin{bmatrix} A & O\\ O & B\\ \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} A^{-1} & O\\ O & B^{-1}\\ \end{bmatrix}\)，

   \(\begin{bmatrix} O & A\\ B & O\\ \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} O & B^{-1}\\ A^{-1} & O\\ \end{bmatrix}\)

五、伴随矩阵

1、余子式

 在\(n\)阶行列式中，把 \(a_{ij}\) 所在的第 \(i\) 行和第 \(j\) 列划去，留下来的 \(n-1\) 阶行列式，叫做 \(a_{ij}\) 的余子式，记作 \(M_{ij}\) 。

2、代数余子式

\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)

行列式的值 等于 任一行（列）的各元素与其对用的代数余子式乘积之和。

\(|A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}\) (\(i=1,2,...,n\))

   或
\(|A|=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}\) (\(j=1,2,...,n\))

3、伴随矩阵

行列式\(|A|\)的各个元素的代数余子式转置排列后，所得矩阵称为\(n\)阶方阵\(A\)的伴随矩阵，记为\(A^{*}\)。

\(A^{*}=\begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}\\ \end{bmatrix}\)

4、性质

1 任意\(n\)阶方阵

  • \(AA^*=A^*A=|A|E\)

  • \(|A^*|=|A|^{n-1}\)

2 任意\(n\)阶方阵, \(|A|\neq 0\)时
 \((kA)^*=k^{n-1}A^*\)

3

  • \((A^T)^*=(A^*)^T\)

  • \((A^{-1})^*=(A^*)^{-1}\)

  • \((AB)^*=B^*A^*\)

  • \((A^*)^*=|A|^{n-2}A\)

六、初等矩阵

1、初等行（列）变换

1.倍乘  一个非零常数 乘 矩阵的某行（列）
2.互换  互换矩阵中的某两行（列）的位置
3.倍加  某行（列）的\(k\)倍加到另一行（列）

2、初等矩阵

各教材表示方法有异

1.  \(E_{i}(k)(k\neq 0)\) ：单位矩阵第\(i\)行（列）乘\(k\)。

2.  \(E_{ij}\) ：单位矩阵交换第\(i\)、\(j\)行（列）。

3.  \(E_{ij}(k)\)：单位矩阵第\(i\)行（列）乘\(k\)倍，加到第\(j\)行（列）上。

初等变换求取逆矩阵

\([\ A \ \vdots \ E \ ]\) 进行初等行变换 \(\rightarrow\) \([\ E \ \vdots \ A^{-1} \ ]\)

\(\begin{bmatrix} A\\ \cdots \\ E\\ \end{bmatrix}\) 进行初等列变换 \(\rightarrow\) \(\begin{bmatrix} E\\ \cdots \\ A^{-1}\\ \end{bmatrix}\)

七、矩阵的秩与等价矩阵

1、秩

 \(A\)为 \(m\times n\)矩阵，若存在 \(k\) 阶子式不为 \(0\) ，而任意 \(k+1\)阶子式全为 \(0\) ，则\(r(A)=k\)。

性质

 1. 若\(A\)为\(n\)阶方阵，则有：  \(r(A)=n\) \(\Leftrightarrow\) \(|A|\neq 0\) \(\Leftrightarrow\) \(A\)可逆

 2. 初等变换不改变秩 ：\(P、Q\)可逆，则\(r(A_{m\times n})=r(P_{m\times m}A)=r(AQ_{n\times n})=r(PAQ)\)

 3. \(0 \leqslant r(A_{m\times n}) \leqslant min(m,n)\)

 4. \(r(kA)=r(A)(k \neq 0)\)

 5. \(r(AB) \leqslant min(r(A),r(B))\)

 6. \(r(A+B) \leqslant r(A)+r(B)\)

 7. 方阵：\(r(A^*)= \begin{cases} n &, &r(A)=n \ \ \ \ \ \ \ \\ 1 &, &r(A)=n-1 \\ 0 &, &r(A)\leq n-1 \end{cases}\)

2、等价矩阵

 若 \(A、B\) 均为 \(m\times n\) 矩阵，若存在可逆矩阵 \(P_{m\times m}\) 、 \(Q_{n \times n}\) ，使得 \(PAQ=B\) ，则称 \(A,B\) 是等价矩阵，记作 \(A\cong B\) 。

等价标准型

 若 \(A\) 为 \(m\times n\) 矩阵，且等价于 \(\begin{bmatrix} E_{r} & O\\ O & O\\ \end{bmatrix}\) ，其中 \(r\) 等于 \(r(A)\) 。那么， \(\begin{bmatrix} E_{r} & O\\ O & O\\ \end{bmatrix}\) 称为 \(A\) 的等价标准型。

 等价标准型是唯一的，必存在可逆矩阵 \(P、Q\) ，使得 \(PAQ=\) \(\begin{bmatrix} E_{r} & O\\ O & O\\ \end{bmatrix}\) 。

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