本篇博文将详细总结决策树原理，从最基本的数学公式一步步的推导。将沿着以下几个主题来总结讨论
信息熵
熵，联合熵，条件熵，互信息决策树学习算法
信息增益
ID3，C4.5，CART防止过拟合
预剪枝
随机森林决策树连续值处理和回归预测
连续值处理
回归预测
多输出的决策树回归
信息熵
熵的定义：
- 如果P表示数据样本X，那么n表示对应的标签类别数目，
表示第i类的数据样本数量占总体数据样本数量的比例。 - 如果P表示数据样本中的某一个特征，那么n表示P特征上可能的取值数目（属性值个数），
表示特征f1为某一个属性值时对应的数据样本数量占总数据样本数量比例。
熵是度量随机变量的不确定性的一个物理量，一般而言，越不确定（即概率很小，数据纯度低）熵越大，越确定（即概率很大，数据纯度高）熵越小。如果一个随机事件完全确定了，熵就是零。
条件熵：
：(X,Y)发生所包含的熵，减去X单独发生包含的 熵：在X发生的前提下，Y发生“新”带来的熵。
该式子定义为X发生的前提下，Y的熵：条件熵
，那么条件熵等于多少呢？
对于求
，按照常理，我们希望是能得到这样一个结果：
（注意是对x,y同时求和），但是很显然上面求得的并不是这样一个结果。
注意：上面公式推导的倒数第二步，是在X=x的前提下仅仅对y作和。（X是一个特征，里面包含多个属性值，x是X里面某一个类别）
上面推导的结果可以这样理解：
相对熵
又称互熵，交叉熵，鉴别信息，KL散度。
设p(x)，q(x)是X中取值的两个概率分布，则p对q的相对熵是：
相对熵可以度量两个随机变量的“距离”
一般的，
，
互信息
两个随机变量X，Y的互信息，定义为X,Y的联合分布和独立分布乘积的相对熵。 
如果p(X)，p(Y)独立，那么
为0，即互信息为0，若不独立就不为0，即互信息为大于0的某一个数。
整理公式可得以下等式：
并且可得： 
上面这两个不等式说明，在给定Y的情况下，X的不确定性肯定不会增大（熵不会增大），可能会减小。如果Y和X完全独立，那么等号成立，只要X和Y有一点点相关性，不确定性都会减小。
Venn图形象说明这些各种熵的关系：
注：H(X,Y)：表示H(X)，H(Y)的并集
决策树学习算法
所谓建立决策树，就是建立熵不断下降的一棵树。
决策树是一种树型结构，其中每个内部结点表示在一个属性上的测试，每个分支代表一 个测试输出，每个叶结点代表一种类别。
决策树学习采用的是自顶向下的递归方法， 其基本思想是以信息熵为度量构造一棵熵值下降最快的树，到叶子节点处的熵值为零， 此时每个叶节点中的实例都属于同一类。
这里我们假设有一批样本数据X，我们计算其熵值H(X)，如果给定f1这个特征，那么可得熵值为H(X|f1)，特征f1里面含有多个属性值f，由上面的公式可以计算出
。p(f)是用来做归一化的,表示在以f1这个特征进行分类时，f1特征中各个属性值的对应的概率值。
我们以这个数据集X为例来说明：
根节点信息熵为：
（9个yes,5个no）
假设我们以outlook这个特征进行分类：那么上面公式中的f1即为outlook，f1里面的属性值f有sunny,rain,overcast三个，那么
（2个yes,3个no）,同理可得：
，
。对应的 
。
那么按照特征outlook进行分支以后得出的熵即为：
ID3
那么当我们以f1这个特征进行分类时：其信息增益为：gain(X,f1)=H(X)-H(X|f1)
那么当我们以f2这个特征进行分类时：其信息增益为：gain(X,f2)=H(X)-H(X|f2)
那么当我们以f3这个特征进行分类时：其信息增益为：gain(X,f3)=H(X)-H(X|f3)
从信息论的角度，其信息增益其实就是**互信息**I(X,f1)或I(X,f2)，I(X,f3)，从上面的Venn图也可看出。
我们尝试将每个特征作为分叉的特征，计算其每一个的信息增益，选择信息增益最大那个特征作为最终的分类特征。其实就是选择使熵下降最大的特征作为最终的分支特征。下一个分支特征按照上面方法递归进行。
C4.5
在上面天气的数据集X中，我们再加一列f0特征，一个索引列（1-14），那么每个索引值都不同，显然以f0特征进行分支，将会有14个分支，（注意这个f0特征是个类别型变量）那么分出来的每一个分支都是确定的，每个分支的结果不是no就是yes，那么可以确定相对与其他特征来分支，f0的熵下降肯定是最大的。此时H(X|f0)=0,从而信息增益I(X,f0)=H(X)，但是这是不合理的。没有意义。那么问题出在哪里？
问题出在f0这个特征的属性值实在是太多了，属性值太多那么这个特征的熵
就会很大。
由此在C4.5中，分支的标准是信息增益率：
C4.5就是选择信息增益率最大的特征作为分支特征。
CART：基尼指数
在ID3，C4.5中，我们采用熵来衡量数据样本的不确定性（数据纯度越低），不确定性越大熵越大，不确定性越小熵越小。在这里我们用基尼值来衡量数据样本的不确定性。基尼值可以看成是熵的近似。
基尼值：
注：
的含义和熵中的
含义类似。
,这里的Gini(p)类似于上面的H(p)
考察Gini系数的图像、熵、分类误差率三者 之间的关系
就是把这个基尼系数代替上面ID3中的熵来进行分支判断。
基尼指数：
同上面一样，在数据样本X中，特征f1的基尼指数的定义为：
CART同ID3类似，只不过这里选择使基尼指数最小的特征作为分支特征。
一个属性的信息增益(率)/gini指数越大，表明属性 对样本的熵减少的能力更强，这个属性使得数据由 不确定性变成确定性的能力越强。
防止过拟合
这里只总结两种最常用方法来防止过拟合：预剪枝，随机森林
预剪枝
首先来讲讲预剪枝，当我们对一个数据样本（或者是某一个节点，分支节点）进行划分时，首先得根据某一个标准，（如上面所说的ID3的信息增益，C4.5的信息增益率，CART的基尼指数）选出某一个特征进行划分，这里假设选出来的特征是特征F，那么是否应该进行这个划分呢？预剪枝就是要对划分前后的泛化性能进行估计。
在划分之前，对（该节点下，根节点或分支节点）数据样本进行标记，以其出现次数最多的那个类别作为所有样本的类别。然后将这个预测结果应用到验证集上，计算出验证集上精度为A1（正确分类的个数占总体个数的百分比）。
然后再以特征F进行样本划分，特征F的每一个属性值就是一个分支，每个分支的预测结果就是该分支下出现次数最多的类别。然后再应用到预测集上，计算其验证集上的精度A2。
比较划分前后的精度，如果A2>A1，那么允许以特征F对该节点进行分支，反正，禁止对该节点划分。
以上过程是一个递归的过程，在对每个节点进行划分时，不断的重复以上过程来判断是否允许进行分支。
预剪枝使得决策树的很多分支都没有“展开”，这不仅降低了过拟合的风险，还显著减少了决策树的训练时间和测试时间开销。但是另一方面，有些分支的当前划分虽然不能提高泛化能力，甚至可能导致泛化性能暂时下降，但在其基础上进行的后续划分却有可能导致性能显著提高，预剪枝基于“贪心”本质上禁止这些分支的展开，给预剪枝决策树带来欠拟合风险。
随机森林
随机森林请看我的另外一篇博文里面的总结机器学习–>集成学习–>GBDT,RandomForest
决策树连续值处理和回归预测
连续值处理
上面讨论总结的都是基于离散特征来生成决策树，那么如果有特征是连续值呢？这时候就应该对连续特征进行离散化。这正是C4.5决策树采用的算法。
上面介绍了，在离散特征中，我们以信息增益最大的特征来对数据样本进行划分，这里假定一个连续特征a，特征a有n个不同的取值，将这些值从小到大进行排序得
，基于划分点t，可将数据样本划分成
，其中
表示包含那些在特征a上取值不大于t的样本，而
表示包含那些在特征a上取值大于t的样本。其中t在区间
取任意值最后的划分结果都相同。故可以取其中位点
。显然，我们可以依次遍历的找到一个t使得二分以后的信息增益最大。那么这个最大的信息增益就作为该特征的信息增益，再与其他特征的信息增益进行比较，选出一个信息增益最大的特征来对样本进行划分。
注：与离散特征不一样的是，若当前划分特征为连续特征，该连续特征依然课作为其后代节点的划分特征。
回归预测
上面都是以标签数据为离散值所做的决策树，那么当标签为连续值时，如何用决策树进行预测呢？
其实分类树和回归树的建立都是大同小异，只不过在选择分支特征的标准上不一样。在分类树中要么基于ID3，C4.5，或者基尼指数来进行划分，在回归树中我们以均方误差为标准进行分支，例如对于特征a，这里特征a不管是连续的还是离散的都可以，我们对特征a进行分支后，假设得到两个分支，就是将样本划分成两个部分A1,A2，我们分别计算A1对应标签集合的平均值作为A1部分的预测结果。A2对应的标签集合的平均值作为A2部分的预测结果。然后计算其均方误差：
连续特征的处理上面一样，只不过标准不再是最大信息增益而是最小MSE。
尝试以每个特征作为分支特征都做一次划分，然后计算其MSE，然后选择MSE最小的特征作为最终的分支特征。
显然回归树的深度越深，其叶子节点越多，那么预测结果越多样化，画出的图形越平滑。
多输出的决策树回归
我们上面说的样本个数都是形如：
可以理解为一系列的分支方式。这里面Y都是一维度的。
在多输出中，其Y可能是多维度的类似于：
即Y可能是k维的。
那么这个时候的均方误差MSE应该如此定义：
reg = DecisionTreeRegressor(criterion='mse', max_depth=deep)
dt = reg.fit(x, y)其回归预测的步骤和上面Y是一维的步骤大同小异。这样就可以利用决策树一次性的预测出多维度的y。在sklearn里面的随机森林已经实现这种多维度的回归预测。