LR回归（Logistic Regression）

标签（空格分隔）：监督学习

@ author ： duanxxnj@163.com
@ time : 2016-07-03

LR回归Logistic Regression

LR回归，虽然这个算法从名字上来看，是回归算法，但其实际上是一个分类算法，学术界也叫它logit regression, maximum-entropy classification (MaxEnt)或者是the log-linear classifier。在机器学习算法中，有几十种分类器，LR回归是其中最常用的一个。

LR回归是在线性回归模型的基础上，使用 sigmoid 函数，将线性模型 wTx 的结果压缩到 [0,1] 之间，使其拥有概率意义。其本质仍然是一个线性模型，实现相对简单。在广告计算和推荐系统中使用频率极高，是CTR预估模型的基本算法。同时，LR模型也是深度学习的基本组成单元。

LR回归属于概率性判别式模型，之所谓是概率性模型，是因为LR模型是有概率意义的；之所以是判别式模型，是因为LR回归并没有对数据的分布进行建模，也就是说，LR模型并不知道数据的具体分布，而是直接将判别函数，或者说是分类超平面求解了出来。

一般来说，分类算法都是求解 p(Ck|x) ，即对于一个新的样本，计算其条件概率 p(Ck|x) 。这个可以看做是一个后验概率，其计算可以基于贝叶斯公式得到： p(Ck|x)=p(x|Ck)p(Ck) ,其中 p(x|Ck) 是类条件概率密度， p(Ck) 是类的概率先验。使用这种方法的模型，称为是生成模型，即： p(Ck|x) 是由 p(x|Ck) 和 p(Ck) 生成的。分类算法所得到的 p(Ck|x) 可以将输入空间划分成许多不相交的区域，这些区域之间的分隔面被称为判别函数（也称为分类面），有了判别函数，就可以进行分类了，上面生成模型，最终也是为了得到判别函数。如果直接对判别函数进行求解，得到判别面，这种方法，就称为判别式法。LR就属于这种方法。

logistic distribution （逻辑斯蒂分布）

之前说过，LR回归是在线性回归模型的基础上，使用 sigmoid 函数得到的。关于线性模型，在前面的文章《线性回归》中已经说了很多了。这里就先介绍一下， sigmoid 函数。

首先，需要对 logistic distribution （逻辑斯蒂分布）进行说明，这个分布的密度函数和分布函数如下：

$p (x; μ, s) = e - ( x - μ ) / s s ( 1 + e - ( x - μ ) / s )$

$P (x; μ, s) = 1 e - ( x - μ ) / s$

这里 μ 是位置参数，而 s 是形状参数。

逻辑斯蒂分布在不同的 μ 和 s 的情况下，其概率密度函数 p(x;μ,s) 的图形：

逻辑斯蒂回归（Logistic Regression）

逻辑斯蒂分布在不同的 μ 和 s 的情况下，其概率分布函数 P(x;μ,s) 的图形：
逻辑斯蒂回归（Logistic Regression）

由图可以看出，逻辑斯蒂分布和高斯分布的密度函数长得差不多。特别注意逻辑斯蒂分布的概率分布函数自中心附近增长速度较快，而在两端的增长速度相对较慢。形状参数 s 的数值越小，则概率分布函数在中心附近增长越快。

当 μ=0,s=1 时，逻辑斯蒂分布的概率分布函数就是我们常说的 sigmoid 函数：

$σ (a) = 1 1 + e - a$

且其导数为：
$d σ d a = σ (1 - σ)$

这是一个非常好的特性，并且这个特性在后面的推导中将会被用到。

从逻辑斯蒂分布到逻辑斯蒂回归模型

前面说过，分类算法都是求解 p(Ck|x) ，而逻辑斯蒂回归模型，就是用当 μ=0,s=1 时的逻辑斯蒂分布的概率分布函数： sigmoid 函数，对 p(Ck|x) 进行建模，所得到的模型，对于二分类的逻辑斯蒂回归模型有：

$P (C 1 | x) = P ( x | C 1 ) P ( C 1 ) P ( x | C 1 ) P ( C 1 ) + P ( x | C 2 ) P ( C 2 ) = σ (a) = 1 1 + e - a$

$P (C 2 | x) = P ( x | C 2 ) P ( C 2 ) P ( x | C 1 ) P ( C 1 ) + P ( x | C 2 ) P ( C 2 ) = 1 - σ (a) = e - a 1 + e - a$

很容易求得，这里：

$a = l n P ( x | C 1 ) P ( C 1 ) P ( x | C 2 ) P ( C 2 )$

a 就是我们在分类算法中的决策面，由于LR回归是一个线性分类算法，所以，此处采用线性模型：这里参数向量为 ω={w0,w1,w2,...,wn} ， ϕj(x) 是线性模型的基函数，基函数的数目为 M 个，如果定义 ϕ0(x)=1 的话（详细说明可以参阅《线性回归》）：

$a = y (x, w) = \sum j = 0 M ω j ϕ j (x) = w T ϕ (x)$

$w = (w 0, w 1, w 2, . . ., w M)$

$ϕ = (ϕ 0, ϕ 1, ϕ 2, . . ., ϕ M)$

那么，逻辑斯蒂回归模型 p(Ck|x) 就可以重写为下面这个形式：

$p (C 1 | x) = σ (a) = σ (w T ϕ)$

$p (C 2 | x) = 1 - σ (a) = 1 - σ (w T ϕ)$

对于一个二分类的数据集 {xn,tn} ，这里 tn∈{0,1} ， ϕn=ϕ(xn) t={t1,t2,...,},yn=p(C1|xn) 其极大似然估计为：

$P (t | w) = \prod n = 1 N {y t n n * (1 - y n) (1 - t n)}$

对数似然估计为：
$l n P (t | w) = \sum n = 1 N {t n l n y n + (1 - t n) l n (1 - y n)}$

关于 w 的梯度为：

$\partial l n P ( t | w ) \partial w = \sum n = 1 N {t n l n y n + (1 - t n) l n (1 - y n)$

$\partial l n P ( t | w ) \partial w = \sum n = 1 N {t n 1 y n \partial y n - (1 - t n) 1 1 - y n \partial y n} = \sum n = 1 N {(t n 1 y n - (1 - t n) 1 1 - y n) y n (1 - y n) \partial (- w T ϕ n)} = \sum n = 1 N {(y n - t n) ϕ n}$

得到梯度之后，那么就可以和线性回归模型一样，使用梯度下降法求解参数 w 。

$w t + 1 = w t - α \nabla l n P (t | w)$

梯度下降法实现相对简单，但是其收敛速度往往不尽人意，可以考虑使用随机梯度下降法来解决收敛速度的问题。但上面两种在最小值附近，都存在以一种曲折的慢速逼近方式来逼近最小点的问题。所以在LR回归的实际算法中，用到的是牛顿法，拟牛顿法（DFP、BFGS、L-BFGS）。

由于求解最优解的问题，其实是一个凸优化的问题，这些数值优化方法的区别仅仅在于选择什么方向走向最优解，而这个方向通常是优化函数在当前点的一阶导数（梯度）或者二阶导数（海森矩阵）决定的。比如梯度下降法用的就是一阶导数，而牛顿法和拟牛顿法用的就是二阶导数。

带惩罚项的LR回归

在之前的文章《Lasso Regression》、《脊回归》中，就L1正则化和L2正则化作了详细的说明，其主要是用来避免模型的参数 w 过大，而导致的模型过拟合的问题。其实现方法就是在前面的对数似然函数后面再加上一个惩罚项。

L2惩罚的LR回归：

$min w {C \sum n = 1 N {t n l n y n + (1 - t n) l n (1 - y n)} + 1 2 w T w}$

L1惩罚的LR回归：

$min w {C \sum n = 1 N {t n l n y n + (1 - t n) l n (1 - y n)} + | | w | |}$

上式中， C 是用于调节目标函数和惩罚项之间关系的， C 越小，惩罚力度越大，所得到的 w 的最优解越趋近于0，或者说参数向量越稀疏； C 越大，惩罚力度越小，越能体现模型本身的特征。

#!/usr/bin/python
# -*- coding: utf-8 -*-


"""
author ： duanxxnj@163.com
time : 2016-07-03-18-04

基于L1惩罚和L2惩罚的LR回归模型

C是用于调节目标函数和惩罚项之间关系的
C越小，惩罚力度越大，所得到的w的最优解越趋近于0，或者说参数向量越稀疏
C越大，惩罚力度越小，越能体现模型本身的特征。

本例子是利用逻辑回归做数字分类
每个样本都是一个8x8的图片，将这些样本分为两类：0-4为一类，5-9为一类

"""

print(__doc__)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn import datasets
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

# 读取图片数据
# 这个数据集中有共有10种数字图片，数字分别是0-9
# 每种类别的数字大概有180张图片，总共的图片数目为1797张
# 每幅图片的尺寸为8x8，即64个像素点
# 像素的变化范围是0-16
#
# 也就是说，每个样本点有64个特征
# 即本例中LR模型的特征维度为64
digits = datasets.load_digits()

# 将前12张数字图片显示出来
plt.figure(1)
for i in range(12):
    imageplot = plt.subplot(3, 4, i+1)
    plt.imshow(digits.images[i], interpolation='nearest',
                   cmap='binary', vmax=16, vmin=0)
    imageplot.set_title("digit %d" % i)

# 读取数据X和目标y，并将数据X归一化
# 归一化的结果是均值为0，方差为1，也就是常用的z变换
#
# 对于机器学习中的很多方法，比如SVM，L1、L2正则化的线性模型等等
# 对于数据，都有一个基本假设，就是数据每个特征都是以0为中心
# 并且所有特征的数据变化都在同一个数量级
# 如果有一个特征的方差特别大，那么这个特征就有可能对机器学习的模型起决定性的作用
# 为了防止上面的现象，所以这里将数据做了归一化，或者叫做正则化
X, y = digits.data, digits.target
X = StandardScaler().fit_transform(X)

# 将数据集分成两类 0-4之间为一类，5-9之间为另一类
y = (y > 4).astype(np.int)


plt.figure(2)
for i, C in enumerate((100, 1, 0.01)):
# 根据不同的C得到不同的LR模型
    clf_l1_LR = LogisticRegression(C=C, penalty='l1', tol=0.01)
    clf_l2_LR = LogisticRegression(C=C, penalty='l2', tol=0.01)
    clf_l1_LR.fit(X, y)
    clf_l2_LR.fit(X, y)

# LR模型的参数向量
    coef_l1_LR = clf_l1_LR.coef_.ravel()
    coef_l2_LR = clf_l2_LR.coef_.ravel()

# 计算L1和L2惩罚下，模型参数w的稀疏性
    sparsity_l1_LR = np.mean(coef_l1_LR == 0) * 100
    sparsity_l2_LR = np.mean(coef_l2_LR == 0) * 100

    print("C=%.2f" % C)
    print("L1惩罚项得到的参数的稀疏性: %.2f%%" % sparsity_l1_LR)
    print("L1惩罚项的模型性能: %.4f" % clf_l1_LR.score(X, y))
    print("L2惩罚项得到的参数的稀疏性: %.2f%%" % sparsity_l2_LR)
    print("L2惩罚项的模型性能: %.4f" % clf_l2_LR.score(X, y))

    l1_plot = plt.subplot(3, 2, 2 * i + 1)
    l2_plot = plt.subplot(3, 2, 2 * (i + 1))
if i == 0:
        l1_plot.set_title("L1 penalty")
        l2_plot.set_title("L2 penalty")
print coef_l1_LR

    l1_plot.imshow(np.abs(coef_l1_LR.reshape(8, 8)), interpolation='nearest',
                   cmap='binary', vmax=1, vmin=0)
    l2_plot.imshow(np.abs(coef_l2_LR.reshape(8, 8)), interpolation='nearest',
                   cmap='binary', vmax=1, vmin=0)
    plt.text(-8, 3, "C = %.2f" % C)

    l1_plot.set_xticks(())
    l1_plot.set_yticks(())
    l2_plot.set_xticks(())
    l2_plot.set_yticks(())

plt.show()

逻辑斯蒂回归（Logistic Regression）

程序运行结果：

C=100.00
L1惩罚项得到的参数的稀疏性: 4.69%
L1惩罚项的模型性能: 0.9098
L2惩罚项得到的参数的稀疏性: 4.69%
L2惩罚项的模型性能: 0.9098
C=1.00
L1惩罚项得到的参数的稀疏性: 9.38%
L1惩罚项的模型性能: 0.9098
L2惩罚项得到的参数的稀疏性: 4.69%
L2惩罚项的模型性能: 0.9093
C=0.01
L1惩罚项得到的参数的稀疏性: 85.94%
L1惩罚项的模型性能: 0.8614
L2惩罚项得到的参数的稀疏性: 4.69%
L2惩罚项的模型性能: 0.8915

由上面的运行结果可以看出，随着C的不断减小，L1惩罚项带来的参数的稀疏性越来越大，而L2惩罚项的参数的稀疏性并没有特别大的改变。所以，在之前的Lasso Regression中也提到过，可以使用L1正则化来进行特征选择。关于L1和L2正则化带来的结果上的稀疏性的区别，在RPML中是这么解释的：下面左边是L2正则化，右边是L1正则化，可以看出由于L1正则化的最小点或者说是最优解，一般会直接走到坐标轴上，这样其他坐标轴的数值就直接为0了，而那些为0 的坐标轴对应的就是不重要的特征，比如下图右边图中的 w1 ；右图中的 w2 就是重要的特征。而L2正则化由于其解的约束空间是一个圆形，所以最优解很难落到坐标轴上，所以其并不用于做特征选择。
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