[模板]LCA的倍增求法解析

时间:2021-04-14 23:23:55

题目描述

如题,给定一棵有根多叉树,请求出指定两个点直接最近的公共祖先。

输入输出格式

输入格式:

第一行包含三个正整数N、M、S,分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。

接下来N-1行每行包含两个正整数x、y,表示x结点和y结点之间有一条直接连接的边(数据保证可以构成树)。

接下来M行每行包含两个正整数a、b,表示询问a结点和b结点的最近公共祖先。

输出格式:

输出包含M行,每行包含一个正整数,依次为每一个询问的结果。

输入输出样例

输入样例#1:
5 5 4
3 1
2 4
5 1
1 4
2 4
3 2
3 5
1 2
4 5
输出样例#1:
4
4
1
4
4

说明

时空限制:1000ms,128M

数据规模:

对于30%的数据:N<=10,M<=10

对于70%的数据:N<=10000,M<=10000

对于100%的数据:N<=500000,M<=500000

样例说明:

该树结构如下:

[模板]LCA的倍增求法解析

第一次询问:2、4的最近公共祖先,故为4。

第二次询问:3、2的最近公共祖先,故为4。

第三次询问:3、5的最近公共祖先,故为1。

第四次询问:1、2的最近公共祖先,故为4。

第五次询问:4、5的最近公共祖先,故为4。

故输出依次为4、4、1、4、4。

Solution:

题目来源:Luogu P3379

我们来讲讲LCA的倍增求法,来自于LS学长神犇的教授,加上我自身的理解,可能对各位新人的帮助会更有理解作用,所以我决定分享一下。(蒟蒻一本正经)

LCA——最近公共祖先。最朴素的算法无疑是从两个点一个个往上走,出现的第一个两个点都走过的点即为两点的LCA。这个无需多加解释。

然而这样时间复杂度非常高。尤其是当树退化成一条链的时候,每次查询的复杂度将会飙到O(N)。

为此,倍增的作用就是将两点上升所需的复杂度减低。而原理就是,把两点往上跳,跳到LCA.-.

流程概括为:将深度不同的两点跳到同一层(深一点的跳到浅一点的一层),然后再将两点向上跳到LCA的下面一层,最后再向上跳一层。(后面一部分下面会解释,为什么不能直接跳到LCA。)

快速跳的方法,每次向上跳的层数都为2^i层。(i为非负整数),相当于把层数差转成2进制数,一位一位往上跳,使层数差快速减小。这样,每次查询复杂度最高就只会为log2(N)。

实现方法:

我们首先需要两个数组。f[i][j]代表从i点向上跳2^j层后所到达的点,dep[i]代表这棵树中点i的深度

dep数组可以在从根深度遍历整棵树的时候求得。

f数组利用了递推的思想。递推式为:f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]。初始化f[i][0]也可以在遍历整棵树的时候求得。

之后,我们处理LCA时,按照上面的流程。我们先将较深的点一次次往上逼近较浅的点,直至他们层数相同。(相当于把层数差的二进制一位一位减去,直至变成0)

然后,两点再同时向上逼近。i从最高位开始枚举,假设两点分别为x,y,那么能向上跳的判断式为:if f[x][i]!=f[y][i] then x=f[x][i],y=f[y][i]。翻译成人话就是如果两点向上跳了2^i层以后不到同一个点就接着往上跳。为什么这样?因为如果往上跳了2^i层,即使到了同一个点,它不一定是两点的LCA。(为什么?)

这样做,最终就会到达LCA的下面一层。随后,我们再将两点向上跳一层。LCA求得。

为什么最终会到达LCA的下面一层?

我们假设从a,b点开始,往上跳2^j层,跳到同一点。不跳。往上跳2^(j-1)层,不跳到同一点,往上跳,分别到了A',B'。显然,这种情况是一定会存在的。

那么,从A',B’再往上跳到原来那个决定不跳的点,显然要跳2^(j-1)层。那么,那个点有可能是LCA,也有可能不是,对吧?所以,从A',B'往上跳到LCA所需的层数,是≤2^(j-1)的。

[模板]LCA的倍增求法解析

所以,从A',B'跳到LCA的下面一层X的所需层数,会是<2^(j-1)的。换句话来说,A',B'到X的层数变成了一个j-2位的二进制数(可能会有前导零,也就是还可能会跳到点数相同的地方)。而此时,刚好枚举到j-2位。那么,前导零不减,再这么减下去,你发现,这个层数差最终会变成0,而你最终也会到达第X层。(为什么?)

如果不懂,也可以先放着。你只需要知道这么做可以到LCA的下面一层就OK了orz

请最好自己手画一棵树模拟一下整个算法的过程。

蒟蒻解释难免有错误,如果出现错误,请回复我,我将感激不尽orz

代码如下:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=,OP=log2()+;
int dpt[N][];
int dep[N]; int gi(){
int x=;
char ch=getchar();
while(ch<''||ch>'')ch=getchar();
while(ch>=''&&ch<='')x=x*+ch-'',ch=getchar();
return x;
} int h[N],to[N*],nexp[N*],p=;
inline void ins(int a,int b){
nexp[p]=h[a],h[a]=p,to[p]=b,p++;
} void dfs(int p,int x){
dep[x]=p;
for(int u=h[x];u;u=nexp[u]){
if(!dep[to[u]]){
dpt[to[u]][]=x;
dfs(p+,to[u]);
}
}
} int LCA(int a,int b){
if(dep[a]<dep[b])swap(a,b);
for(int j=OP;j>=;j--)
if(dep[a]-(<<j)>=dep[b])a=dpt[a][j];
if(a!=b){
for(int j=OP;j>=;j--)
if(dpt[a][j]!=dpt[b][j])a=dpt[a][j],b=dpt[b][j];
a=dpt[a][];
}
return a;
} int main(){
int n,q,r;
cin>>n>>q>>r;
int a,b;
for(int i=;i<n-;i++){
a=gi(),b=gi();
ins(a,b),ins(b,a);
}
dfs(,r);
for(int j=;j<=OP;j++)
for(int i=;i<=n;i++)
dpt[i][j]=dpt[dpt[i][j-]][j-];
for(int i=;i<q;i++){
a=gi(),b=gi();
printf("%d\n",LCA(a,b));
}
return ;
}

为什么与X层数差最终会变成0?

假设你已经会写这个算法了。

首先我们证明,前导零不会被减去。假设与X层的层数差为x',而你正准备往上跳y层。由于LCA的层数是X+1,而LCA往上的点它都不会跳,对吧?(反而,如果LCA往下的点,也就是层数<=X,也就是y<x'+1,它都会往上跳)所以如果y>=x'+1,那么就绝对不会往上跳。

显然,当x'的该位为0,且属于前导零,那么只需证明x'+1<=y。而这个非常易证(假设y为10000,而x'满足条件的最大值为01111)。所以保证,前导零是不会减去的。

接着我们证明,一旦枚举到了x'的第一个为1的位数,这个1绝对会被减去。按照同样的方法,假设y为10000,而x'满足条件的最小值为10000,所以y<x'+1.

两点合在一起,前导零不会减去,枚举到一个1位就减去,最终这个层数差就会变成0.证毕。