博弈论基础入门

时间：2022-09-07 23:20:41

博弈论入门

有一种很有意思的游戏，就是有物体若干堆，可以是火柴棍或是围棋子等等均可。两个人轮流从堆中取物体若干，规定最后取光物体者取胜。这是我国民间很古老的一个游戏，别看这游戏极其简单，却蕴含着深刻的数学原理。下面我们来分析一下要如何才能够取胜。

(一)巴什博奕（Bash Game）

定义：

只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。

首先分析子局面，当剩下m+1个时，无论先取者拿走多少个物品，后取者一定能一次取走所有物品，所以在剩下m+1个物品时，后取者一定能够获胜。

因此局面可分为两种情况：n=（m+1）r+s

  • 0< s <= m ： 只要先取者取走s个石子。当后取者取走k个石子的时候，先取者只要取走m+1-k个石子即可。因此，先取者一定获胜
  • s=0 ：类似上面的分析方法。先取者一定失败

例题HDU - 4764 Stone

题目大意：Tang和Jiang轮流写数字，Tang先写，每次写的数x满足1<=x<=k，Jiang每次写的数y满足1<=y-x<=k，谁先写到不小于n的数算输。

结论：r=（n-1）%（k+1），r=0时Jiang胜，否则Tang胜。原因在于对于取最后输的情况，可以考虑局面少了一子，然后在这种情况下先取完即赢，也就是说给对方剩下了一子。

代码：

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<set>
#include<list>
#include<deque>
#include<map>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

#define REP(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)

int N,k;

int main(){
    while(~scanf("%d %d",&N,&k)){
        if(N==0&&k==0)  break;
        if((N-1)%(k+1)==0){
            printf("Jiang\n");
        }else{
            printf("Tang\n");
        }
    }
    return 0;
}

(二)威佐夫博奕（Wythoff Game）

定义

有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是： （0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。

可以看出这样一个规律，a0=b0=0，ak是前面未出现过的最小自然数，而bk = ak + k，奇异局势有如下性质：

  1. 任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性质1。成立。

  2. 任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。事实上，若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。

  3. 采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。

假设面对的局势是（a,b），若 b = a，则同时从两堆中取走 a 个物体，就变为了奇异局势（0，0）；如果a = ak ，b > bk，那么，取走b - bk个物体，即变为奇异局势；如果 a = ak ， b < bk ,则同时从两堆中拿走 ak - ab - ak个物体,变为奇异局势（ ab - ak , ab - ak+ b - ak）；如果a > ak ，b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k,分两种情况，第一种，a=aj （j < k）,从第二堆里面拿走 b - bj 即可；第二种，a=bj （j < k）,从第二堆里面拿走 b - aj 即可。

从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。 那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式： ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，...,n 方括号表示取整函数) 奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1。618...,因此,由ak，bk组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若 a=[j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1+ j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。

例题HDU - 1527 取石子游戏

代码

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<set>
#include<list>
#include<deque>
#include<map>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

#define REP(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)

int N,M;

int main(){
    while(~scanf("%d %d",&N,&M)){
        int a = min(N,M);
        int b = max(N,M);
        double k = b-a;
        int fir = k*(1+sqrt(5))/2;
        if(fir==a){
            printf("0\n");
        }else{
            printf("1\n");
        }
    }
    return 0;
}

(三)尼姆博弈（Nimm Game）

定义

有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的 物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

从取石子游戏（Bash Game）到多堆的尼姆博弈是一个大进步，尼姆博弈的就是把取石子中的 1 堆变成了多堆。游戏者轮流从某一堆棋子中取走一个或者多个（这里暂时不限定每次最多能取几个），最后不能再取的就是输家。当指定相应数量时，一堆这样的棋子称作一个尼姆堆。

这里假定是 3 堆。
其实现在这个问题的一部分解决了——任意多堆的相同个数的 Nim 堆。而且很容易知道，（0,N,N）一定是必败态，如果有仔细尝试的话，可以发现（1,2,3）也是必败态，那到底有什么规律呢？

命题：(a,b,c) 是必败态等价于 p(a, b, c) = a xor b xor c = 0 ( xor 是异或运算)
如果我们面对的是一个非奇异局势 (a，b，c)，要如何变为奇异局势呢？假设 a < b< c,我们只要将 c 变为 a xor b,即可，因为有如下的运算结果: 要将 c 变为 a xor b，只要从 c 中减去 c - (a xor b)即可。

推广到多个堆也是类似的办法。

例题HDU - 1907 John

题意

标准Nim博弈，只是最后取光者输。

思路

除了判断异或和性质以外，还要判断如果堆的石子个数全为1时的情况，所以有两个条件。实际上对于博弈局面来讲，先取胜利或先取失败的主要原因相差多半与1个石子相关。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<set>
#include<list>
#include<deque>
#include<map>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

const int MAXN = 50;
int A[MAXN];

int main(){
    int T=0,N=0;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d",&N);
        int flag = 1;
        for(int i=0;i<N;i++){
            scanf("%d",&A[i]);
        }
        for(int i=0;i<N;i++){
            if(A[i]!=1) flag = 0;
        }
        int sav =0;
        for(int i=0;i<N;i++){
            sav^=A[i];
        }
        if(flag==1){
            if(N%2==0){
                printf("John\n");
            }else{
                printf("Brother\n");
            }
        }else{
            if(sav==0){
                printf("Brother\n");
            }else{
                printf("John\n");
            }
        }
    }
    
    return 0;
}
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