【UOJ Round #1】

时间：2023-01-04 23:12:37

枚举/DP+排列组合

缩进优化

　　QAQ我当时一直在想：$min\{ \sum_{i=1}^n (\lfloor\frac{a[i]}{x}\rfloor + a[i] \ mod\ x) \}$

　　然而并不会做啊……一点思路也没有……主要是后面那个取模非常难受……

　　其实正解有点逆向思维的感觉：$ans=\sum_{i=1}^n a[i] - max\{ \sum_{i=1}^n \lfloor \frac{a[i]}{x}\rfloor *(x-1) \} $

　　也就是先将a[i]全部加起来，然后再使得被缩掉的部分最大。

　　然后……枚举x，枚举x的倍数，数一下除以x为 i 的有多少个就可以了……$O(nlogn)$

 //UOJ Round #1 A

 #include<vector>

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #include<cstdlib>

 #include<iostream>

 #include<algorithm>

 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)

 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)

 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)

 #define pb push_back

 using namespace std;

 inline int getint(){

     int v=,sign=; char ch=getchar();

     while(ch<''||ch>''){ if (ch=='-') sign=-; ch=getchar();}

     while(ch>=''&&ch<=''){ v=v*+ch-''; ch=getchar();}

     return v*sign;

 }

 const int N=1e6+,INF=~0u>>;

 typedef long long LL;

 /******************tamplate*********************/

 int a[N],c[N],n;

 int main(){

 #ifndef ONLINE_JUDGE

     freopen("A.in","r",stdin);

     freopen("A.out","w",stdout);

 #endif

     n=getint();

     LL sum=,ans=;

     int mx=;

     F(i,,n) a[i]=getint(),c[a[i]]++,sum+=a[i],mx=max(mx,a[i]);

     D(i,mx,) c[i]+=c[i+];

     F(x,,mx){

         LL tmp=; int i;

         for(i=;(i+)*x<=mx;i++)

             tmp+=(c[i*x]-c[(i+)*x])*i;

         tmp+=c[i*x]*i;

         ans=max(ans,tmp*(x-));

     }

     printf("%lld\n",sum-ans);

     return ;

 }

外星人

　　Orz 题解

　　我只想到如果 x<a[i] ，那么a[i]之后放到哪里都不会有影响了……

　　对，我们只需要$f[i]$作为状态就够了。用$f[i]$表示$x=i$且只考虑手指数小于等于$i$的外星人的情况下的最优解与方案数。

　　怎么转移呢？我们在手指数小于等于$i$的外星人中选一个$a_k$作为下一个发送信息的外星人，显然这个外星人一定是有效外星人。那么考虑手指数介于$(i\ mod\ a_k , i]$的外星人，我们发现只要把他们随便插入到$f[i \ mod\ a_k]$的最优解排列中去就可以了。这个显然可以用最简单的组合数学解决。方案数即$\frac{(N_i -1)!}{N_{i\ mod\ a_k}!}$。其中$N_c$表示手指数不超过$c$的外星人个数。

 //UOJ Round #1 B

 #include<vector>

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #include<cstdlib>

 #include<iostream>

 #include<algorithm>

 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)

 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)

 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)

 #define pb push_back

 using namespace std;

 inline int getint(){

     int v=,sign=; char ch=getchar();

     while(ch<''||ch>''){ if (ch=='-') sign=-; ch=getchar();}

     while(ch>=''&&ch<=''){ v=v*+ch-''; ch=getchar();}

     return v*sign;

 }

 const int N=,INF=~0u>>,P=;

 typedef long long LL;

 /******************tamplate*********************/

 int n,m,a[N],c[N],f[N][],fac[N],inv[N];

 int main(){

 #ifndef ONLINE_JUDGE

     freopen("B.in","r",stdin);

     freopen("B.out","w",stdout);

 #endif

     n=getint(); m=getint();

     int mx=m;

     F(i,,n) a[i]=getint(),c[a[i]]++,mx=max(mx,a[i]);

     sort(a+,a+n+);

     F(i,,mx) c[i]+=c[i-];

     fac[]=;

     F(i,,mx) fac[i]=(LL)fac[i-]*i%P;

     inv[]=inv[]=;

     F(i,,mx) inv[i]=P-(LL)(P/i)*inv[P%i]%P;

     F(i,,mx) inv[i]=(LL)inv[i]*inv[i-]%P;

     F(i,,m){

         if (c[i]==) {f[i][]=i,f[i][]=;continue;}

         for(int j=;a[j]<=i && j<=n;j++)

             if (f[i%a[j]][]>f[i][]){

                 f[i][]=f[i%a[j]][];

                 f[i][]=(LL)fac[c[i]-]*inv[c[i%a[j]]]%P*f[i%a[j]][]%P;

             }else if (f[i%a[j]][]==f[i][]){

                 f[i][]=(f[i][]+(LL)fac[c[i]-]*inv[c[i%a[j]]]%P*f[i%a[j]][]%P)%P;

             }

     }

     f[m][]=(LL)f[m][]*fac[c[mx]]%P*inv[c[m]]%P;

     printf("%d\n%d\n",f[m][],f[m][]);

     return ;

 }

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