作者：桂。
时间：2017-09-09 16:44:12
链接：http://www.cnblogs.com/xingshansi/p/7413133.html
主要理论空间平滑算法，首先分析相干信号特性。
〇、相干信号特性
以两个信号为例
求相关矩阵
如果两个信号的相关系数ρ满足：
1）ρ=0，则认为两信号不相关；
2）0<ρ<1，则认为两信号相关；
3）ρ = 1，则两信号相干。
当两信号相干时，ρ=1，对于相关矩阵：
秩为1，这就造成了秩亏，对于子空间等空间谱估计算法便不再适用。
也可以换个角度理解：
两信号相干时，有
，此时
b称为广义阵列流行或广义导向矢量。可以看出它通常并不对应两个来波方向，而是二者的矢量叠加方向。一般的思路是希望将秩亏缺加以恢复。
这里主要记录空间平滑算法。对于宽带信号，如果利用聚焦矩阵的思想，是不需要空间平滑的，具体可以参考宽带信号的处理思路。结合前文的时、空对偶特性，可以更好地理解前向、后项平滑算法。
平滑算法主要基于均匀线阵。
一、前向平滑算法
对于具有Vandermonde结构的阵列信号，接收单元的信号可表示为：
其中D为：
第l个子阵前向的相关矩阵：
平滑后的相关
只要满足：快排数snap>=信号个数K，且子阵阵元数M>K，子阵个数N>=K即可。
这是通过信号到达不同子阵的相位差不同，利用平滑恢复秩，降低了有效孔径个数。
二、后向平滑算法
从时域角度来看：实数信号对应的傅里叶变换，共轭对称，其实后向平滑本质也是这个思路。
也可以简单分析一下：假设入射方向r = （sin(theta)cos(phi)，sin(theta)sin(phi)，cos(theta)），真实阵元的坐标为(x,y,0)，则对应镜像对称的坐标为(-x,-y,0)，从而距离就是相反的关系，也就是相位相反，体现在数据上就是共轭。有镜像之后，顺序是反过来的，所以后向平滑等价于：前向平滑的镜像对称。虽然镜像并没有创造新的振元，但是镜像之后相当于创造了新的入射方向，从而增加了子阵个数，镜像是布阵非常有用的思想。
只要满足：快排数snap>=信号个数K，且子阵阵元数M>K，子阵个数N>=K即可。
也就容易得出，后项平滑的思路：
三、前后项平滑算法
前向是利用了阵元，后向平滑是利用了镜像，前后项则二者都使用。
只要满足：快排数snap>=信号个数K，且子阵阵元数M>K，子阵个数2N>=K（易证子阵具有中心对称特性才有该特性，否则需要2N-1>=K）即可。
四、空间平滑的思路延展
其实布阵结构不限于Vandermonde形式，一种思路是利用虚拟变换，
例如UCA（均匀圆阵）便不具备Vandermonde形式，
可以对其进行变换：
可以使得变换之后的导向矢量具有Vandermonde的形式：
这就创造了可以空间平滑的基础。
即使不用虚拟变换，通过上面的思路分析，可以得出结论：任意阵列都可以利用空间平滑算法解相干，这一点将另写一篇文章介绍思路。