初中的数学题

这个问题，我想了很久，到了大学一样是想不出来，到了很多论坛一样无法解答，希望这个论坛可以帮帮我：
我们可以求证三角形ABC与三角形A'B'C'三条中线或三条高相同的时候，两个三角形全等，但是没有证明过三条角平分线相同的时候，结果如何？如果能证明在这个时候，全等，试证明之，否则请举出反例

50 个解决方案

#1

好象应该不能吧。继续思考……

#2

好像是不全等

#3

能不能举出反例??

#4

想想再说！

#5

想想

#6

我要up了！

#7

好象是不全等的！例子还没想到！：）

#8

你看看角平分线长度的公式你就会知道

#9

用解析方法，放在坐标系里就知道了。

#10

角平分线的长度公式在那里？
如果化为定值解可以列出以下方程：

bSin(A+B/2)/Sin(C)=cSin(A+C/2)/Sin(B)
aSin(A/2+B)/Sin(C)=cSin(B+C/2)/Sin(A)
A+B+C=180
0<A<180,0<B<180,0<C<180

abc分别是3个角平分线的长度.如果这个解只有一个证明，全等，否则不一定全等

#11

关注。

#12

To congling,
还要使用正弦定理将a,b,c转化为sinA,sinB,sinC.

#13

to mathe,
已经不用转了，abc的意义已经在上面了！
to csz_cmy,
角平分线的长度公式我记得了，好像是

c'=ab(1-[c/(a+b)]^2)/[(a+b)^2]的算式，但是同样可以列出三个方程:

a=xy[1-[z/(x+y)]^2)/[(x+y)^2]
b=yz[1-[x/(z+y)]^2)/[(z+y)^2]
c=xz[1-[y/(x+z)]^2)/[(x+z)^2]

你要证明这个四次方程有多个解，你的命题才成立.

#14

to mathe,
我的那个方法是只要能求出ABC三个角只有唯一解，即可以证明三角形全等。

#15

写错算式了!
a=xy(1-[z/(x+y)]^2)
b=yz(1-[x/(z+y)]^2)
c=xz[1-[y/(x+z)]^2)
应该是这个

#16

我的想法是给定三角形ABC，延长BC到C',然后证明三角形ABC在角C的角平分比三角形ABC'在角C'的角平分线短（至少看上去是成立的）。
然后将原题中两个三角形的一条相同的角平分线相重合，可以看出，至少有一个三角形的另外两个点中的一个点落在另一个三角形的内部或边上。比如将A，A'已经对应的角平分线重合，假设B'在三角形ABC内部。延长A'B'交BC于点E,这角B'在三角形A'B'C'的角平分线小于三角行A'EC在角E的角平分线长小于三角形ABC在角B的角平分线长，结果就矛盾了，所以两个三角形相似了。

#17

如果congling公式成立，那么容易证明在角C<90度是，延长BC以后，边AB不变，BC和CA都边长，所以这两边的和和积都变大，对角线就长了。

#18

那个三角公式的算式abc分别是三条角平分线，而不是三角形的三条边。

#19

你的第二个假设不一定能成立：如下面的图:

    C'C
A
     BB'

#20

初中数学题，没那么难

#21

这条题目是我在初中的时候想到的，因为书上的证明题中有高/中线的求证，唯独没有角平分线的求证，因此感到奇怪。

另，CSDN怎么搞的，为什么老连不上

#22

第二个假设是没错的，注意，要将角A的角平分线相重合。也就是如果AB'在AB的上面，AC'必定在AC的下面，倒是后面的使用部分有点问题，不过可以很简单的利用其它东东做一个中间过度，主要还是假设1，我认为还有一些特殊情况不成立。不过好在我们总可以选到一个公共的锐角做为角C，所以结论应该是没有问题的。

#23

是呀，我贴到CSDN中的贴就丢掉好多份了。

#24

你只用了两条角平分线，不可能证得出来的！

#25

我用的是反证法。不过
〉〉如果congling公式成立，那么容易证明在角C<90度是，延长BC以后，边AB不变，BC和CA都边长，所以这两边的和和积都变大，角平分线就长了。
倒是对于上面这句话我把握不是很大，我的计算结果是对于大多数情况，即使没有C<90度的假设，角平分线都是随着BC的延长而变长的，只有极少数情况例外，不过由于角A我们有三种选择，我们总可以将这个例外情况选择为角A的，所以我偏向于认为全等是成立的。

#26

我认为初中不涉及这个证明是因为它的证明是要用到更高等的数学知识。
所以我从这一点出发，大致想了想，
证法如下：

三条角平分线交点即三角形内心，是三角形内接圆圆心，三边就相当于内接圆的三条切线。
如果三条角分线等，则这个圆是唯一的（半径唯一），
根据高二解析几何知识，过圆周上一点的切线唯一，所以过圆周上三点所围成的三角形也唯一。

则可证，
所有与已知三角形三条角分线等的三角形都应与这个定圆相切，内心为定圆圆心。
即所有与已知三角形三条角分线等的三角形都是在绕着定圆的圆周转动，且形状不发生改变，只是三个顶点以定圆圆心为圆心，在已知平面内做圆周运动。

所以得证，符合上述条件的三角形全等。


我觉得应该是没有重漏的现象，不知道大家看法如何。

阿新(Seraph Chutium) -- http://com.6to23.com/

#27

落水了。
 

#28

mark

#29

以下命题只是假设，没有经过证明
如果三条角分线等，则这个圆是唯一的（半径唯一）

一个论述错误:
过圆周上一点的切线唯一，所以过圆周上三点所围成的三角形也唯一

如果这样成立的，那么就是说只要内切园半径相同，三角形等，这根本不成立！

#30

to chutium:
以下命题只是假设，没有经过证明
如果三条角分线等，则这个圆是唯一的（半径唯一）

一个论述不完备:
过圆周上一点的切线唯一，所以过圆周上三点所围成的三角形也唯一.
这个论断不可以推断出下面的论断，两个具有相同公切园的三角形，的三个切点可以旋转在一起的。

我觉得很多人只能给出方案，没有人能够真正的解决这个问题。我希望能有人写出完整的论述，而不是只言片语的方案。

#31

首先证明一个引理：
给定一个ΔABC,如果延长BC到C'，则ΔABC在∠C的角平分线比ΔABC'在∠C'的角平分线短。
证明：
经计算可得ΔABC在∠C的角平分线p(c)长度为
     b sinA / (sinC sin(A+C/2))
    = c sinB sinA / (sinC sin(A+C/2))
由于在只延长BC到C'时，c和sinB保持不变，C和A变化相反，即dC/dA=-1；我们要证明1/p(c)关于A的导数为负数。

c sinB*d(1/p(c))/dA= d (sin C sin (A+C/2)/sinA)
即要证明：
d(sin C sin(A+C/2)/sinA)/dA= d(sinC cos(C/2) + sinC sin(C/2)ctgA)/dA
= - cos C cos(C/2) + (1/2)*sinC sin(C/2)-cosCsin(C/2)ctgA -(1/2)sinCcos(C/2)ctgA-sinCsin(C/2)csc(A)csc(A)
<=0
由于sinCsin(C/2)>=0，可以两边同时除以sinCsin(C/2),得
-ctgCctg(C/2)+1/2 - ctgCctgA-(1/2)ctg(C/2)ctgA <=csc(A)csc(A)

ctgC=(ctg(C/2)ctg(C/2)-1)/(2ctg(C/2))
故要证明
-ctg(C/2)ctg(C/2)/2+1 -ctg(C/2)ctgA + tg(C/2)(ctgA)/2 <=csc(A)csc(A).
即
 -ctg(C/2)ctg(A) + (1/2)tg(C/2)ctgA <= ctg(A)ctg(A)+ctg(C/2)ctg(C/2)
在∠A为钝角时，由于C/2<90度，ctg(C/2)>0
 左边<=-ctg(C/2)ctg(A)<=-2ctg(C/2)ctg(A)<=ctg(A)ctg(A)+ctg(C/2)ctg(C/2)
在∠A为锐角时，
由于C<Pi-A, C/2 < (Pi-A)/2, tg(C/2) < ctg(A/2) ,ctg(C/2) > tg(A/2)
只要证明-ctg(C/2)ctg(A)+(1/2)tg(C/2)ctgA<=ctg(A)ctg(A)
即 -ctg(C/2) + (1/2) tg(C/2) < ctg(A) =ctg(A/2)/2 - tg(A/2) /2
 -ctg(C/2) + (1/2) tg(C/2) < -1/2 ctg(C/2) + (1/2) tg(C/2) < -1/2 tg(A/2) + (1/2） ctg(A/2)
得证，不过证明太冗长了。

#32

此外，我们还需要证明另一个引理，
给定ΔABC,ΔABC在∠A的角平分线为AD,
在AB上任取点B'，连接并延长B'D交AC的延长线于C'.
则ΔABC在∠B的角平分线比ΔAB'C'在∠B'的角平分线长。
我也同样是用微积分证明，
先计算出∠A的角平分线长和∠B的角平分线长，计算两者比例，
由于两个三角形在∠A的角平分线长相等，只要证明这个比例关于∠B单调减就可以了
过程也和上面的差不多，挺长的。

#33

yao如果三角形的一个角的对顶角和这个角共用一条平分线,算步算平分线相同?
要是算的话,你的答案好象不对,这两个三角形相似,不一定全等.
想想一个内接圆且对角线平分对角的四边形,
                         

#34

  我不会画图,见笑了                   
                            Q
                          Q | Q
                        Q   |   Q
                      Q ____|_____Q
                       Q    |    Q    
                        Q   |   Q   
                         Q  |  Q
                          Q | Q
                            Q

#35

人家说的是长度相同，而不是重合。

#36

现在在贴一下第二个引理的证明过程：
角A的平分线长为
p(A)=cSinB/sin(B+A/2)
角B的平分线长为
p(B)=cSinA/sin(A+B/2)
两式相除消去c,得到
p(A)/p(B)=sinBsin(A+B/2)/(sinAsin(B+A/2))
所以在保持p(A)和A不变时
计算d(p(A)/p(B))/dB，得
sinA sin(B+A/2)^3 sin(B+A/2) sin(A+B/2) d(p(A)/p(B))/dB=
  ctgB+1/2 ctg(A+B/2)-ctg(B+A/2)
我们需要证明 d(p(A)/p(B))/dB>=0
即 ctgB+1/2 ctg(A+B/2)-ctg(B+A/2)>=0
通过区分 B<Pi/2<B+A/2和其它两种情况可以证明上面的不等式。

有了这两个引理，通过反证法证明角平分线都相等的两个三角形必须全等就非常容易了。

#37

告诉我余弦定理，就是cosA=f(a,b,c)的那一个，我给你证明。E_Mail:billqin163.com.

#38

让我拿去问一问全国数学初中联赛金牌得主。

#39

to mathe:
你的两条引理仅仅足以证明，两条角平分线相同以及其中一条的一个对应角相同的时候，这两个三角性全等，但是角度不同的时候如何证明，使用你的引理好像无从下手！

如果能证明其中一个角相同，那么也不需要这样的证明就可以证明出结果

#40

将原题中两个三角形的一条相同的角平分线相重合（而且对应边分布在角平分线同侧），可以看出，至少有一个三角形的另外两个点中的一个点落在另一个三角形的内部或边上。比如将A，A'已经对应的角平分线重合，并且B'在三角形ABC内部。延长C'B'交AB于点B'',于是由引理1角B'在三角形A'B'C'的角平分线小于三角形AB''C'在角B''的角平分线长。延长B'C'交AC的延长线于C'',于是三角形AB''C'在角B''的角平分线长小于三角形AB''C''在角B''的角平分线长。由引理2,三角形AB''C''在角B''的角平分线长小于三角形ABC在角B的角平分线长，所以就可以得出矛盾了，于是就全等了。不过这证明实在是太冗长了，而且使用了大量的微积分，实在是不够漂亮，但总算是一个证明吧。

#41

这段话不一定能证明下一段话:
        延长B'C'交AC的延长线于C''
如果B'C'交CA(AC的反向延长线)是可能的。
这样，AB''C''和AB''C'是在AB''的两端（非同一端），你的引理没有证明这一点

#42

倒也由道理，不过我们还可以先延长AB'交BC于B'',设AC'交BC于C'',然后对三角形ABC和AB''C''使用引理2，在将这个交平分线放大到三角形AB''C,然后再对三角形ABC和AB''C使用引理1，也就行了。问题不在于这里，而是证明这两个引理的方法不太好。

#43

to mathe:
我始终认为你的方法是错误的，实际上你的方法只是使用了两个角平分线相等，就可以证明出其中一个角平分线的角相等出来，我觉得是不可能的。
如果能证明出一个角相同，使用的信息量只需要两条角平分线。

#44

其实已经使用了另一个角平分线的信息了，“可以看出，至少有一个三角形的另外两个点中的一个点落在另一个三角形的内部或边上”这句话已经使用了另一条角平分线的信息了。

#45

按照你的证明命题等价与：
 ABC与A'B'C'中，AD/A'D',BE/B'E'分别是两个三角形的角平分线，AD=A'D',BE=B'E'，
角A>=A',角ADC>角A'D'C'，求证两个三角形全等。

你的证明可以证明出A=A'，接下来的证明就可以证明三角形全等了！

#46

其实也没什么大惊小怪的呀，
应该是角ADC<=角A'D'C'

#47

这是使用不确定因数代替确定因数的解法，对于特殊的三角形可能可以，但是对于一般性，我始终觉得不可以。

对于引理2的证明，我觉得应该是有问题的.

#48

实在觉得有问题，你可以用计算机取穷举一下（对于引理2，并不复杂，只要使用两个参数就够了），看一看有没有反例呀。其实引理2的证明过程要比引理1简单。

#49

引理2的穷举证明：
//P(A)= sinC *b /sin(B+A/2)
//P(B) = sinC*a/sin(A+B/2)
//P(B)/P(A) = sinA * sin(B+A/2) / (sinB*sin(A+B/2)).

#include <math.h>
#include <stdio.h>

#define Pi 3.14159265358979
#define N 1000

int main(){
double A;
double B;
int proved=1;
for(A=Pi/N;A<Pi;A+=Pi/N){
double pr=tan(A/2);
for(B=Pi-A-Pi/N;B>0;B-=Pi/N){
double r=sin(A)*sin(B+A/2)/(sin(B)*sin(A+B/2));
if(r<pr){
printf("Disproved, while A=%f,B=%f,C=%f\n",A,B,Pi-A-B);
proved=0;
}
pr=r;
}
}
if(proved){
printf("Proved\n");
}
return 0;
}

#50

我也没辙！看来角平分线所带来的信息量比高线和中线要多