我们接着《Python数据分析之numpy学习（一）》继续讲解有关numpy方面的知识！
统计函数与线性代数运算
统计运算中常见的聚合函数有：最小值、最大值、中位数、均值、方差、标准差等。首先来看看数组元素级别的计算：
In [94]: arr11 = 5-np.arange(1,13).reshape(4,3)
In [95]: arr12 = np.random.randint(1,10,size = 12).reshape(4,3)
In [96]: arr11
Out[96]:
array([[ 4, 3, 2],
[ 1, 0, -1],
[-2, -3, -4],
[-5, -6, -7]])
In [97]: arr12
Out[97]:
array([[1, 3, 7],
[7, 3, 7],
[3, 7, 4],
[6, 1, 2]])
In [98]: arr11 ** 2 #计算每个元素的平方
Out[98]:
array([[16, 9, 4],
[ 1, 0, 1],
[ 4, 9, 16],
[25, 36, 49]])
In [99]: np.sqrt(arr11) #计算每个元素的平方根
Out[99]:
array([[ 2. , 1.73205081, 1.41421356],
[ 1. , 0. , nan],
[ nan, nan, nan],
[ nan, nan, nan]])
由于负值的平方根没有意义，故返回nan。
In [100]: np.exp(arr11) #计算每个元素的指数值
Out[100]:
array([[ 5.45981500e+01, 2.00855369e+01, 7.38905610e+00],
[ 2.71828183e+00, 1.00000000e+00, 3.67879441e-01],
[ 1.35335283e-01, 4.97870684e-02, 1.83156389e-02],
[ 6.73794700e-03, 2.47875218e-03, 9.11881966e-04]])
In [101]: np.log(arr12) #计算每个元素的自然对数值
Out[101]:
array([[ 0. , 1.09861229, 1.94591015],
[ 1.94591015, 1.09861229, 1.94591015],
[ 1.09861229, 1.94591015, 1.38629436],
[ 1.79175947, 0. , 0.69314718]])
In [102]: np.abs(arr11) #计算每个元素的绝对值
Out[102]:
array([[4, 3, 2],
[1, 0, 1],
[2, 3, 4],
[5, 6, 7]])
相同形状数组间元素的操作：
In [103]: arr11 + arr12 #加
Out[103]:
array([[ 5, 6, 9],
[ 8, 3, 6],
[ 1, 4, 0],
[ 1, -5, -5]])
In [104]: arr11 - arr12 #减
Out[104]:
array([[ 3, 0, -5],
[ -6, -3, -8],
[ -5, -10, -8],
[-11, -7, -9]])
In [105]: arr11 * arr12 #乘
Out[105]:
array([[ 4, 9, 14],
[ 7, 0, -7],
[ -6, -21, -16],
[-30, -6, -14]])
In [106]: arr11 / arr12 #除
Out[106]:
array([[ 4. , 1. , 0.28571429],
[ 0.14285714, 0. , -0.14285714],
[-0.66666667, -0.42857143, -1. ],
[-0.83333333, -6. , -3.5 ]])
In [107]: arr11 // arr12 #整除
Out[107]:
array([[ 4, 1, 0],
[ 0, 0, -1],
[-1, -1, -1],
[-1, -6, -4]], dtype=int32)
In [108]: arr11 % arr12 #取余
Out[108]:
array([[0, 0, 2],
[1, 0, 6],
[1, 4, 0],
[1, 0, 1]], dtype=int32)
接下来我们看看统计运算函数：
In [109]: np.sum(arr11) #计算所有元素的和
Out[109]: -18
In [110]: np.sum(arr11,axis = 0) #对每一列求和
Out[110]: array([ -2, -6, -10])
In [111]: np.sum(arr11, axis = 1) #对每一行求和
Out[111]: array([ 9, 0, -9, -18])
In [112]: np.cumsum(arr11) #对每一个元素求累积和（从上到下，从左到右的元素顺序）
Out[112]: array([ 4, 7, 9, 10, 10, 9, 7, 4, 0, -5, -11, -18], dtype=int32)
In [113]: np.cumsum(arr11, axis = 0) #计算每一列的累积和，并返回二维数组
Out[113]:
array([[ 4, 3, 2],
[ 5, 3, 1],
[ 3, 0, -3],
[ -2, -6, -10]], dtype=int32)
In [114]: np.cumprod(arr11, axis = 1) #计算每一行的累计积，并返回二维数组
Out[114]:
array([[ 4, 12, 24],
[ 1, 0, 0],
[ -2, 6, -24],
[ -5, 30, -210]], dtype=int32)
In [115]: np.min(arr11) #计算所有元素的最小值
Out[115]: -7
In [116]: np.max(arr11, axis = 0) #计算每一列的最大值
Out[116]: array([4, 3, 2])
In [117]: np.mean(arr11) #计算所有元素的均值
Out[117]: -1.5
In [118]: np.mean(arr11, axis = 1) #计算每一行的均值
Out[118]: array([ 3., 0., -3., -6.])
In [119]: np.median(arr11) #计算所有元素的中位数
Out[119]: -1.5
In [120]: np.median(arr11, axis = 0) #计算每一列的中位数
Out[120]: array([-0.5, -1.5, -2.5])
In [121]: np.var(arr12) #计算所有元素的方差
Out[121]: 5.354166666666667
In [122]: np.std(arr12, axis = 1) #计算每一行的标准差
Out[122]: array([ 2.49443826, 1.88561808, 1.69967317, 2.1602469 ])
numpy中的统计函数运算是非常灵活的，既可以计算所有元素的统计值，也可以计算指定行或列的统计指标。还有其他常用的函数，如符号函数sign，ceil(>=x的最小整数)，floor(<>
让我很兴奋的一个函数是where()，它类似于Excel中的if函数，可以进行灵活的变换：
In [123]: arr11
Out[123]:
array([[ 4, 3, 2],
[ 1, 0, -1],
[-2, -3, -4],
[-5, -6, -7]])
In [124]: np.where(arr11 < 0,="">
Out[124]:
array([['positive', 'positive', 'positive'],
['positive', 'positive', 'negtive'],
['negtive', 'negtive', 'negtive'],
['negtive', 'negtive', 'negtive']],
dtype='<>< span=''><>
当然，np.where还可以嵌套使用，完成复杂的运算。
其它函数
unique(x):计算x的唯一元素，并返回有序结果
intersect(x,y)：计算x和y的公共元素，即交集
union1d(x,y):计算x和y的并集
setdiff1d(x,y):计算x和y的差集，即元素在x中，不在y中
setxor1d(x,y):计算集合的对称差，即存在于一个数组中，但不同时存在于两个数组中
in1d(x,y):判断x的元素是否包含于y中
线性代数运算
同样numpu也跟R语言一样，可以非常方便的进行线性代数方面的计算，如行列式、逆、迹、特征根、特征向量等。但需要注意的是，有关线性代数的函数并不在numpy中，而是numpy的子例linalg中。
In [125]: arr13 = np.array([[1,2,3,5],[2,4,1,6],[1,1,4,3],[2,5,4,1]])
In [126]: arr13
Out[126]:
array([[1, 2, 3, 5],
[2, 4, 1, 6],
[1, 1, 4, 3],
[2, 5, 4, 1]])
In [127]: np.linalg.det(arr13) #返回方阵的行列式
Out[127]: 51.000000000000021
In [128]: np.linalg.inv(arr13) #返回方阵的逆
Out[128]:
array([[-2.23529412, 1.05882353, 1.70588235, -0.29411765],
[ 0.68627451, -0.25490196, -0.7254902 , 0.2745098 ],
[ 0.19607843, -0.21568627, 0.07843137, 0.07843137],
[ 0.25490196, 0.01960784, -0.09803922, -0.09803922]])
In [129]: np.trace(arr13) #返回方阵的迹（对角线元素之和），注意迹的求解不在linalg子例程中
Out[129]: 10
In [130]: np.linalg.eig(arr13) #返回由特征根和特征向量组成的元组
Out[130]:
(array([ 11.35035004, -3.99231852, -0.3732631 , 3.01523159]),
array([[-0.4754174 , -0.48095078, -0.95004728, 0.19967185],
[-0.60676806, -0.42159999, 0.28426325, -0.67482638],
[-0.36135292, -0.16859677, 0.08708826, 0.70663129],
[-0.52462832, 0.75000995, 0.09497472, -0.07357122]]))
In [131]: np.linalg.qr(arr13) #返回方阵的QR分解
Out[131]:
(array([[-0.31622777, -0.07254763, -0.35574573, -0.87645982],
[-0.63245553, -0.14509525, 0.75789308, -0.06741999],
[-0.31622777, -0.79802388, -0.38668014, 0.33709993],
[-0.63245553, 0.580381 , -0.38668014, 0.33709993]]),
array([[-3.16227766, -6.64078309, -5.37587202, -6.95701085],
[ 0. , 1.37840488, -1.23330963, -3.04700025],
[ 0. , 0. , -3.40278524, 1.22190924],
[ 0. , 0. , 0. , -3.4384193 ]]))
In [132]:np.linalg.svd(arr13) #返回方阵的奇异值分解
Out[132]:
(array([[-0.50908395, 0.27580803, 0.35260559, -0.73514132],
[-0.59475561, 0.4936665 , -0.53555663, 0.34020325],
[-0.39377551, -0.10084917, 0.70979004, 0.57529852],
[-0.48170545, -0.81856751, -0.29162732, -0.11340459]]),
array([ 11.82715609, 4.35052602, 3.17710166, 0.31197297]),
array([[-0.25836994, -0.52417446, -0.47551003, -0.65755329],
[-0.10914615, -0.38326507, -0.54167613, 0.74012294],
[-0.18632462, -0.68784764, 0.69085326, 0.12194478],
[ 0.94160248, -0.32436807, -0.05655931, -0.07050652]]))
In [133]: np.dot(arr13,arr13) #方阵的正真乘积运算
Out[133]:
array([[18, 38, 37, 31],
[23, 51, 38, 43],
[13, 25, 32, 26],
[18, 33, 31, 53]])
In [134]:arr14 = np.array([[1,-2,1],[0,2,-8],[-4,5,9]])
In [135]: vector = np.array([0,8,-9])
In [136]: np.linalg.solve(arr14,vector)
Out[136]: array([ 29., 16., 3.])
随机数生成
统计学中经常会讲到数据的分布特征，如正态分布、指数分布、卡方分布、二项分布、泊松分布等，下面就讲讲有关分布的随机数生成。
正态分布直方图
In [137]: import matplotlib #用于绘图的模块
In [138]: np.random.seed(1234) #设置随机种子
In [139]: N = 10000 #随机产生的样本量
In [140]: randnorm = np.random.normal(size = N) #生成正态随机数
In [141]: counts, bins, path = matplotlib.pylab.hist(randnorm, bins = np.sqrt(N), normed = True, color = 'blue') #绘制直方图
以上将直方图的频数和组距存放在counts和bins内。
In [142]: sigma = 1; mu = 0
In [143]: norm_dist = (1/np.sqrt(2*sigma*np.pi))*np.exp(-((bins-mu)**2)/2) #正态分布密度函数
In [144]: matplotlib.pylab.plot(bins,norm_dist,color = 'red') #绘制正态分布密度函数图
使用二项分布进行赌博
同时抛弃9枚硬币，如果正面朝上少于5枚，则输掉8元，否则就赢8元。如果手中有1000元作为赌资，请问赌博10000次后可能会是什么情况呢？
In [146]: np.random.seed(1234)
In [147]: binomial = np.random.binomial(9,0.5,10000) #生成二项分布随机数
In [148]: money = np.zeros(10000) #生成10000次赌资的列表
In [149]: money[0] = 1000 #首次赌资为1000元
In [150]: for i in range(1,10000):
...: if binomial[i] <>
...: money[i] = money[i-1] - 8
#如果少于5枚正面，则在上一次赌资的基础上输掉8元
...: else:
...: money[i] = money[i-1] + 8
#如果至少5枚正面，则在上一次赌资的基础上赢取8元
In [151]: matplotlib.pylab.plot(np.arange(10000), money)
使用随机整数实现随机游走
一个醉汉在原始位置上行走10000步后将会在什么地方呢？如果他每走一步是随机的，即下一步可能是1也可能是-1。
In [152]: np.random.seed(1234) #设定随机种子
In [153]: position = 0 #设置初始位置
In [154]: walk = [] #创建空列表
In [155]: steps = 10000 #假设接下来行走10000步
In [156]: for i in np.arange(steps):
...: step = 1 if np.random.randint(0,2) else -1 #每一步都是随机的
...: position = position + step #对每一步进行累计求和
...: walk.append(position) #确定每一步所在的位置
In [157]: matplotlib.pylab.plot(np.arange(10000), walk) #绘制随机游走图
上面的代码还可以写成（结合前面所讲的where函数，cumsum函数）：
In [158]: np.random.seed(1234)
In [159]: step = np.where(np.random.randint(0,2,10000)>0,1,-1)
In [160]: position = np.cumsum(step)
In [161]: matplotlib.pylab.plot(np.arange(10000), position)
避免for循环，可以达到同样的效果。
使用Python进行数据分析，一般都会使用到numpy，pandas，scipy和matplotlib等模块，而numpy是最为基础的模块，其他模块的使用都是以numpy为核心，所以这里讲解了有关numpy的方方面面，这部分的学习非常重要，希望感兴趣的朋友多看看这方面的文档和动手操作。在接下来Python一期中将会讲到pandas模块的学习。