http://poj.org/problem?id=2409 (题目链接)
题意
一个n个珠子的项链，每个珠子可以被染成t种颜色。项链可以翻转和旋转，问不同的染色方案数。
Solution
Pólya定理。
旋转：如果逆时针旋转i颗珠子的间距，则珠子0，i，2i，······构成一个循环。这个循环有n/gcd(n,i)个元素。根据对称性，所有循环的长度相同，因此一共有gcd(n,i)个循环。这些置换的不动点总数为${\sum_{i=0}^{n-1} t^{gcd(i,n)}}$种，其中t为颜色数。
翻转：需要分两种情况讨论。当n为奇数时，对称轴有n条，每条对称轴形成${\frac{n-1}{2}}$个长度为2的循环和1个长度为1的循环，即一共${\frac{n+1}{2}}$个循环。这些置换的不动点总数为${b = n t^{ \frac{n+1}{2} }}$。当n为偶数时，有两种对称轴。穿过柱子的对称轴有${\frac{n}{2}}$条，各形成${\frac{n}{2}-1}$个长度为2的循环和两个长度为1的循环；不穿过珠子的对称轴有${\frac{n}{2}}$条，各形成${\frac{n}{2}}$个长度为2的循环。这些置换的不动点总数为${b=\frac{n}{2} (t^{\frac{n}{2}+1}+t^{\frac{n}{2}})}$。
代码
// poj2409
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define LL long long
#define inf 1<<30
#define Pi acos(-1.0)
#define free(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);
using namespace std; LL gcd(LL a,LL b) {
return b==0 ? a : gcd(b,a%b);
}
LL power(LL a,LL b) {
LL res=1;
while (b) {
if (b&1) res*=a;
b>>=1;a*=a;
}
return res;
}
int main() {
LL n,t;
while (scanf("%lld%lld",&t,&n)!=EOF && n && t) {
LL a=0,b=0;
for (int i=0;i<n;i++) a+=power(t,gcd(n,i));
if (n&1) b=n*power(t,(n+1)/2);
else b=n/2*(power(t,n/2+1)+power(t,n/2));
printf("%lld\n",(a+b)/2/n);
}
return 0;
}