2008 年在一个 PS 讨论群里，有网友不解 Photoshop 的高斯模糊中的半径是什么含义，因此当时我写了这篇文章：
在那篇文章中，主要讲解了高斯模糊中的半径的含义，是二维正态分布的方差的平方根，并且给出了算法的理论描述。现在我又打算把该算法用 c++ 实现出来，于是有了下面的这个 DEMO。
起初我是按照算法理论直接实现，即使用了二维高斯模板，结果发现处理时间很长，对一个图片竟然能达到大约数分钟之久。这样肯定是不对的，所以我百度了一下，发现这个问题应该采用分别进行两次一维高斯模糊就可以了[1]，这样算法的时间复杂度的一个系数，就从 O ( σ ^2 ) 降低到了 O ( σ )。这样算法于是速度提高到了毫秒级。下表给出分别用二维模糊的原始方法，和两次一维模糊累加的方法的算法成本比较：
| 算法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 |
|---|---|---|
| (1) 二维高斯模糊 | O(σ ^ 2) * O(n) （慢） | O(σ ^ 2) （较小） |
| (2) 两次一维高斯模糊的累加 | O(σ) * O(n) （快） | O(n) + O(σ) ≈ O(n) （较大） |
其中：σ ：方差平方根（Photoshop 中的高斯模糊半径）；n = w * h （图片的像素数量）。具体时间和图片大小和高斯半径的大小有关，一个粗略的大概情况为，算法（1）的耗时为分钟级，算法（2）的耗时为毫秒到秒级。可见算法（2）比算法（1）速度更快，但相比算法（1）来说算法（2）具有较高的空间需求。
注：当然上面的空间复杂度并不是绝对的，例如，可以通过对图像进行串行的切片处理，既可减小算法（2）的空间需求。
两种算法在高斯半径为常数条件下，都是关于图片大小的线性算法，区别在于常数系数的大小不同，前者是高斯半径（模板尺寸）的平方级，后者是高斯半径（模板尺寸）的线性级别。这个改进，非常类似于我此前有一篇博客中给出的，对一个油画效果滤镜的算法改进，也是通过把常数系数，从模板尺寸的平方级别降低到线性级别，使算法速度获得提高的。
在理论上，高斯模板是无边界和无限扩展的一个二维曲面，在实现时，就必须对这个曲面截断为有限大的二维模板。那么在哪里截断呢？根据下图所示的一维正态分布贡献：
图1. 正态分布的贡献比
此图来自参考资料 [1]，根据资料文中叙述，此图实际来源于（Maybe blocked by the GFW）：
http://zh.wikipedia.org/wiki/File:Standard_deviation_diagram.svg。
从图 1 中可以看到，在 3σ 以外的贡献比例非常小，为 0.1 %，因此我们截断模板时，对模板边界定义为 3σ ；
int r = ( int ) ( sigma * + 0.5 ); // 完整模板的逻辑尺寸：( 2 * r + 1 ) * ( 2 * r + 1 );
二维高斯模板的计算公式是：
下图给出了二维模板的可视化结果。采用的可视化方法是，根据上面的公式和模板边界，生成二维高斯模板，然后取一个缩放因子 f = 255 / 模板中心点的数据，以此缩放因子把模板数据等比缩放，然后绘制成灰度图片，这样中心点的亮度就被提高到最亮。可视化效果中，每个单元格对应着一个模板数据，单元格大小为 8 * 8 或者 16 * 16 像素。
图 2. 二维模板的可视化结果
图 2 中，左侧是人们常见的 3 x 3 模板（σ ≈ 0.849），围绕中心点的 3 x 3 的浮点数据为：
sigma = 0.849: 0.055 0.110 0.055
0.110 0.221 0.110
0.055 0.110 0.055
采用算法（2），要完成高斯模糊，对图片分别进行两个方向的一维高斯模糊即可。例如，先对图片进行水平方向的模糊，得到中间结果，然后再对这个中间结果进行垂直方向的模糊，即得到最终结果。下图是一个演示图，给出了原图在两个方向上分别单独进行一维高斯模糊的结果，以及最终的结果：
图3. 算法（2）中一维模糊的中间结果
仅在这个图片的例子中，我把我写的算法的处理结果，在 Photoshop 中打开和 Photoshop 自带的高斯模糊的处理结果做差值对比，发现两者是相同的。
我实现的 DEMO 程序（Windows 平台）的界面如下所示：
图4. DEMO 程序的主窗口 UI
通过点击菜单 - 可视化 - 二维高斯模板可以在右侧的视图中生成一个灰度图片，即二维高斯模板的可视化结果。
在程序界面的客户区下方有一个控制面板，可以选择高斯模糊的算法参数，高斯半径的意义和 Photoshop 中的高斯模糊半径的意义相同，都是算法中的 σ。
算法参数中：
（1）支持多线程处理。根据我的观察，线程数设置为和 CPU 核心数相同是比较合适的。线程数比 CPU 核心数更多，也是没有什么意义的，因为算法执行时，CPU 已经满负荷运转了。开启更多线程，也不能再提高速度了。
假设 CPU 核数为 p，开启的多线程数量 >= p，则算法速度大约为单线程处理的 p 倍。（当 CPU 满负荷时，线程数量取得更大，也没有提高速度的意义了）
注：此处的 CPU 核心数应该为 CPU 的物理核心数，而非模拟出来的多核数目。
（2）浮点类型：支持 float 和 double。它是高斯模板的数据的类型，也是进行像素加权累加时的数据类型，根据我的观察，float 和 double 的速度相差不大。基本相同。
（3）高斯半径：即 σ。算法的常数系数为 O(σ)。很显然，σ 的值取得越大，算法耗时将会越长。在 DEMO 中，其允许范围和 Photoshop 的要求一致，是 [0.1, 250]。
在实现算法时，我也尝试了对 255 个灰度值 * 模板数据的结果进行缓存和查表处理，但是发现不能有效提高速度，所以最终我放弃了这种方法。这可能是因为，算法的计算只是一个浮点乘法，对数据的读取动作，并不能做到比浮点乘法更快。所以这里采用缓存也就显得没有必要了。
在本 DEMO 中，滤镜处理是放在 UI 线程中进行的，这使得在滤镜处理时间较长时（例如高斯半径取值很大，图片也很大），界面会有些卡，可以把滤镜处理动作放在一个新建的后台线程中执行。这是比较容易实现的。
对算法的使用方法：
在 C++ 程序中，使用我写的这个算法是非常简单的，例如：
#include "GaussBlurFilter.hpp" CGaussBlurFilter<double> _filter;
_filter.SetSigma(3.5); // 设置高斯半径
_filter.SetMultiThreads(true, ); // 开启多线程，用户建议的线程数为 4； // lpSrcBits / lpDestBits: 像素数据的起始地址，必须以 4 bytes 对齐，
// 注意：不论高度为正或者负，lpBits 都必须为所有像素中地址值最低的那个像素的地址。
// bmWidth, bmHeight: 图像宽度和高度（像素），高度允许为负值；
// bpp: 位深度，支持 8（灰度）, 24（真彩色）， 32
_filter.Filter(lpSrcBits, lpDestBits, bmWidth, bmHeight, bpp);
需要注意的是，在多线程处理中，我使用了 Windows API （例如 CreateThread）等，这使得 GaussBlurFilter.hpp 目前只能用在 Windows 平台，如果要在其他平台使用，应当修改和多线程有关的 API 函数调用。
高度值可以为正也可以为负，但像素数据的地址 lpBits 都必须是所有像素中，地址值最小的那个像素的地址。即，假设图片左上角点的坐标为原点，如果图片高度为正数（bottom - up），则 lpBits 是左下角像素 （col = 0，row = height - 1）的地址。如果图片高度为负数（top-down），则 lpBits 是左上角像素（col = 0，row = 0） 的地址。图像数据的扫描行宽度必须以 4 Bytes 对齐，即通过下面的公式计算扫描行宽度：
int stride = ( bmWidth * bpp + 31 ) / 32 * 4; //扫描行宽度，对齐到 4 Bytes
（上式为编程语言表达，非数学表达，即利用了整数除法对小数部分的截断性。）
bpp：图像的像素位深度。只支持 8 （灰度索引图像），24，32 这几个值。对于 32 bpp 的图像来说，最后一个像素通道是表征像素的不透明度，也就是 alpha，对于 alpha 如何参与到算法中，我想了下，有多种处理方法，但都好像没有什么容易理解的物理意义，所以在代码里我忽略了 alpha 通道。
【相关下载】：
（1）Demo 可执行文件（包含 GaussBlurFilter.hpp）：GaussBlurDemo_Bin.zip
（2）Demo 完整源码（包含 GaussBlurFilter.hpp 和 可执行文件）：GaussBlurDemo_Src.zip
【参考资料】
[1]. 高斯模糊算法的实现和优化；
[注] 文中的公式，采用如下网址生成：http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php。
参考自：博客中插入公式——之在线数学公式生成;