摘要： 使用动态规划法求解0/1背包问题。
难度： 初级
0/1背包问题的动态规划法求解，前人之述备矣，这里所做的工作，不过是自己根据理解实现了一遍，主要目的还是锻炼思维和编程能力，同时，也是为了增进对动态规划法机制的理解和掌握。
值得提及的一个问题是，在用 JAVA 实现时， 是按算法模型建模，还是用对象模型建模呢？ 如果用算法模型，那么 背包的值、重量就直接存入二个数组里；如果用对象模型，则要对背包以及背包问题进行对象建模。思来想去，还是采用了对象模型，尽管心里感觉算法模型似乎更好一些。有时确实就是这样，对象模型虽然现在很主流，但也不是万能的，采用其它的模型和视角，或许可以得到更好的解法。
背包建模：
package algorithm.dynamicplan;
public class Knapsack { /** 背包重量 */
private int weight; /** 背包物品价值 */
private int value;
/***
* 构造器
*/
public Knapsack(int weight, int value) {
this.value = value;
this.weight = weight;
}
public int getWeight() {
return weight;
} public int getValue() {
return value;
} public String toString() {
return "[weight: " + weight + " " + "value: " + value + "]";
}
}
背包问题求解：
/**
* 求解背包问题：
* 给定 n 个背包，其重量分别为 w1,w2,……,wn, 价值分别为 v1,v2,……,vn
* 要放入总承重为 totalWeight 的箱子中，
* 求可放入箱子的背包价值总和的最大值。
*
* NOTE: 使用动态规划法求解 背包问题
* 设 前 n 个背包，总承重为 j 的最优值为 v[n,j], 最优解背包组成为 b[n];
* 求解最优值：
* 1. 若 j < wn, 则 ： v[n,j] = v[n-1,j];
* 2. 若 j >= wn, 则：v[n,j] = max{v[n-1,j], vn + v[n-1,j-wn]}。
*
* 求解最优背包组成：
* 1. 若 v[n,j] > v[n-1,j] 则 背包 n 被选择放入 b[n],
* 2. 接着求解前 n-1 个背包放入 j-wn 的总承重中，
* 于是应当判断 v[n-1, j-wn] VS v[n-2,j-wn], 决定 背包 n-1 是否被选择。
* 3. 依次逆推，直至总承重为零。
*
* 重点： 掌握使用动态规划法求解问题的分析方法和实现思想。
* 分析方法： 问题实例 P(n) 的最优解S(n) 蕴含 问题实例 P(n-1) 的最优解S(n-1);
* 在S(n-1)的基础上构造 S(n)
* 实现思想： 自底向上的迭代求解 和 基于记忆功能的自顶向下递归
*/
package algorithm.dynamicplan;
import java.util.ArrayList;
public class KnapsackProblem { /** 指定背包 */
private Knapsack[] bags; /** 总承重 */
private int totalWeight; /** 给定背包数量 */
private int n; /** 前 n 个背包，总承重为 totalWeight 的最优值矩阵 */
private int[][] bestValues; /** 前 n 个背包，总承重为 totalWeight 的最优值 */
private int bestValue; /** 前 n 个背包，总承重为 totalWeight 的最优解的物品组成 */
private ArrayList<Knapsack> bestSolution; public KnapsackProblem(Knapsack[] bags, int totalWeight) {
this.bags = bags;
this.totalWeight = totalWeight;
this.n = bags.length;
if (bestValues == null) {
bestValues = new int[n+1][totalWeight+1];
}
} /**
* 求解前 n 个背包、给定总承重为 totalWeight 下的背包问题
*
*/
public void solve() { System.out.println("给定背包：");
for(Knapsack b: bags) {
System.out.println(b);
}
System.out.println("给定总承重: " + totalWeight); // 求解最优值
for (int j = 0; j <= totalWeight; j++) {
for (int i = 0; i <= n; i++) { if (i == 0 || j == 0) {
bestValues[i][j] = 0;
}
else
{
// 如果第 i 个背包重量大于总承重，则最优解存在于前 i-1 个背包中，
// 注意：第 i 个背包是 bags[i-1]
if (j < bags[i-1].getWeight()) {
bestValues[i][j] = bestValues[i-1][j];
}
else
{
// 如果第 i 个背包不大于总承重，则最优解要么是包含第 i 个背包的最优解，
// 要么是不包含第 i 个背包的最优解， 取两者最大值，这里采用了分类讨论法
// 第 i 个背包的重量 iweight 和价值 ivalue
int iweight = bags[i-1].getWeight();
int ivalue = bags[i-1].getValue();
bestValues[i][j] =
Math.max(bestValues[i-1][j], ivalue + bestValues[i-1][j-iweight]);
} // else
} //else
} //for
} //for // 求解背包组成
if (bestSolution == null) {
bestSolution = new ArrayList<Knapsack>();
}
int tempWeight = totalWeight;
for (int i=n; i >= 1; i--) {
if (bestValues[i][tempWeight] > bestValues[i-1][tempWeight]) {
bestSolution.add(bags[i-1]); // bags[i-1] 表示第 i 个背包
tempWeight -= bags[i-1].getWeight();
}
if (tempWeight == 0) { break; }
}
bestValue = bestValues[n][totalWeight];
} /**
* 获得前 n 个背包， 总承重为 totalWeight 的背包问题的最优解值
* 调用条件： 必须先调用 solve 方法
*
*/
public int getBestValue() {
return bestValue;
} /**
* 获得前 n 个背包， 总承重为 totalWeight 的背包问题的最优解值矩阵
* 调用条件： 必须先调用 solve 方法
*
*/
public int[][] getBestValues() { return bestValues;
} /**
* 获得前 n 个背包， 总承重为 totalWeight 的背包问题的最优解值矩阵
* 调用条件： 必须先调用 solve 方法
*
*/
public ArrayList<Knapsack> getBestSolution() {
return bestSolution;
} }
背包问题测试：
package algorithm.dynamicplan;
public class KnapsackTest {
public static void main(String[] args) {
Knapsack[] bags = new Knapsack[] {
new Knapsack(2,13), new Knapsack(1,10),
new Knapsack(3,24), new Knapsack(2,15),
new Knapsack(4,28), new Knapsack(5,33),
new Knapsack(3,20), new Knapsack(1, 8)
};
int totalWeight = 12;
KnapsackProblem kp = new KnapsackProblem(bags, totalWeight);
kp.solve();
System.out.println(" -------- 该背包问题实例的解: --------- ");
System.out.println("最优值：" + kp.getBestValue());
System.out.println("最优解【选取的背包】: ");
System.out.println(kp.getBestSolution());
System.out.println("最优值矩阵：");
int[][] bestValues = kp.getBestValues();
for (int i=0; i < bestValues.length; i++) {
for (int j=0; j < bestValues[i].length; j++) {
System.out.printf("%-5d", bestValues[i][j]);
}
System.out.println();
}
}
}
动态规划法总结：
1. 动态规划法用于求解非最优化问题：
当问题实例P(n)的解由子问题实例的解构成时，比如 P(n) = P(n-1) + P(n-2) [斐波那契数列] ，而 P(n-1) 和 P(n-2)可能包含重合的子问题，可以使用动态规划法，通过自底向上的迭代，求解较小子问题实例的解，并作为求解较大子问题实例的解的基础。关键思想是： 避免对子问题重复求解。
比如： 求斐波那契数 F(5)：
F(5) = F(4) + F(3);
子问题： F(4) = F(3) + F(2) ;
F(3) = F(2) + F(1);
F(2) = F(1) + F(0)
F(2) = F(1) + F(0);
子问题： F(3) = F(2) + F(1)
F(2) = F(1) + F(0)
由上面的计算过程可知，如果单纯使用递归式，则子问题 F(2) 被重复计算了2次；当问题实例较大时，这些重复的子问题求解就会耗费大量不必要的时间。 若使用动态规划法，将 F(2) 的值存储起来，当后续计算需要的时候，直接取出来， 就可以节省不少时间。
另一个比较典型的例子是： 求解二项式系数 C(n, k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1)
2. 动态规划法求解最优化问题：
当问题实例P(n) 的最优解 可以从 问题实例 P(n-1) 的最优解 构造出来时，可以采用动态规划法，一步步地构造最优解。
关键是掌握动态规划法求解问题时的分析方法，如何从问题导出 解的递推式。 实际上，当导出背包问题的递归式后，后来的工作就简单多了，如何分析背包问题，导出其最优解的递推式，我觉得，这才是最关键的地方！问题分析很重要！