前言
声明，此 NeHe OpenGL教程系列文章由51博客yarin翻译（2010-08-19），本博客为转载并稍加整理与修改。对NeHe的OpenGL管线教程的编写，以及yarn的翻译整理表示感谢。
NeHe OpenGL第三十课：碰撞检测
碰撞检测:
这是一课激动的教程，你也许等待它多时了。你将学会碰撞剪裁，物理模拟太多的东西，慢慢期待吧。
碰撞检测和物理模拟(作者:Dimitrios Christopoulos (christop@fhw.gr))
碰撞检测
这是一个我遇到的最困难的题目,因为它没有一个简单的解决办法.对于每一个程序都有一种检测碰撞的方法.当然这里有一种蛮力,它适用于各种不同的应用,当它非常的费时.
我们将讲述一种算法,它非常的快,简单并易于扩展.下面我们来看看这个算法包含的内容:
1) 碰撞检测
移动的球-平面
移动的球-圆柱
移动的球-移动的球
2) 基于物理的建模
碰撞表示
应用重力加速度
3) 特殊效果
爆炸的表示，利用互交叉的公告板形式
声音使用Windows声音库
4) 关于代码
代码被分为以下5个部分
Lesson30.cpp : 主程序代码l
Image.cpp, Image.h : 加载图像
Tmatrix.cpp, Tmatrix.h : 矩阵
Tray.cpp, Tray.h : 射线
Tvector.cpp, Tvector.h : 向量
1) 碰撞检测
我们使用射线来完成相关的算法，它的定义为:
射线上的点 = 射线的原点+ t * 射线的方向
t 用来描述它距离原点的位置，它的范围是[0, 无限远).
现在我们可以使用射线来计算它和平面以及圆柱的交点了。
射线和平面的碰撞检测：
平面被描述为：
Xn dot X = d
Xn 是平面的法线.
X 是平面上的一个点.
d 是平面到原点的距离.
现在我们得到射线和平面的两个方程:
PointOnRay = Raystart + t * Raydirection
Xn dot X = d
如果他们相交，则上诉方程组有解，如下所示：
Xn dot PointOnRay = d
(Xn dot Raystart) + t * (Xn dot Raydirection) = d
解得 t:
t = (d - Xn dot Raystart) / (Xn dot Raydirection)
t代表原点到与平面相交点的参数,把t带回原方程我们会得到与平面的碰撞点.如果Xn*Raydirection=0。则说明它与平面平行，则将不产生碰撞。如果t为负值，则说明交点在射线的相反方向，也不会产生碰撞。
//判断是否和平面相交，是则返回1，否则返回0int TestIntersionPlane(const Plane&
plane,const TVector& position,const TVector& direction,
double& lamda, TVector&
pNormal){
double DotProduct=direction.dot(plane._Normal);
double l2;
//判断是否平行于平面
if ((DotProduct<ZERO)&&(DotProduct>-ZERO))
return 0;
l2=(plane._Normal.dot(plane._Position-position))/DotProduct;
if (l2<-ZERO)
return 0;
pNormal=plane._Normal;
lamda=l2;
return 1;
}
射线-圆柱的碰撞检测
计算射线和圆柱方程组得解。
int TestIntersionCylinder(const Cylinder& cylinder,const
TVector& position,const TVector& direction, double& lamda,
TVector& pNormal,TVector& newposition)
球-球之间的碰撞检测
球被表示为中心和它的半径，决定两个球是否相交就是求出它们之间的距离是否小于它们的直径。
在处理两个移动的球是否相交时，有一个bug就是，当它们的移动速度太快，回出现它们相交，但在相邻的两步检测不出它们是否相交的情况，如下图所示：
有一个替代的办法就是细分相邻的时间片断，如果在这之间发生了碰撞，则确定有效。我们把这个细分时间段设置为3，代码如下：
//判断球和球是否相交，是则返回1，否则返回0int FindBallCol(TVector& point, double&
TimePoint, double Time2, int& BallNr1, int& BallNr2){ TVector
RelativeV; TRay rays; double MyTime=0.0, Add=Time2/150.0,
Timedummy=10000, Timedummy2=-1; TVector posi; //判断球和球是否相交 for (int
i=0;i<NrOfBalls-1;i++) { for (int j=i+1;j<NrOfBalls;j++) {
RelativeV=ArrayVel[i]-ArrayVel[j]; rays=TRay(OldPos[i],TVector::unit(RelativeV)); MyTime=0.0;
if ( (rays.dist(OldPos[j])) > 40) continue;
while (MyTime<Time2)
{
MyTime+=Add;
posi=OldPos[i]+RelativeV*MyTime;
if (posi.dist(OldPos[j])<=40) {
point=posi;
if (Timedummy>(MyTime-Add)) Timedummy=MyTime-Add;
BallNr1=i;
BallNr2=j;
break;
}
}
}
}
if (Timedummy!=10000) { TimePoint=Timedummy;
return 1;
}
return 0;
}
怎样应用我们的知识
现在我们已经可以决定射线和平面/圆柱的交点了,如下图所示:
当我们找到了碰撞位置后,下一步我们需要知道它是否发生在当前这一步中.如果距离碰撞点的位置小于这一步球体运动的间隔,则碰撞发生.我们使用如下的方程计算运动到碰撞时所需的时间:
Tc= Dsc*T / Dst
接着我们知道碰撞点位置,如下面公式所示:
Collision point= Start + Velocity*Tc
2) 基于物理的模拟
碰撞反应
为了计算对于一个静止物体的碰撞,我们需要知道以下信息:碰撞点,碰撞法线,碰撞时间.
它是基于以下物理规律的,碰撞的入射角等于反射角.如下图所示:
R 为反射方向
I 为入射方向
N 为法线方向
反射方向有以下公式计算 :
R= 2*(-I dot N)*N + I
rt2=ArrayVel[BallNr].mag(); // 返回速度向量的模
ArrayVel[BallNr].unit(); // 归一化速度向量
// 计算反射向量
ArrayVel[BallNr]=TVector::unit( (normal*(2*normal.dot(-ArrayVel[BallNr]))) + ArrayVel[BallNr] );
ArrayVel[BallNr]=ArrayVel[BallNr]*rt2;
球体之间的碰撞
由于它很复杂，我们用下图来说明这个原理. 
U1和U2为速度向量，我们用X_Axis表示两个球中心连线的轴，U1X和U2X为U1和U2在这个轴上的分量。U1y和U2y为垂直于X_Axis轴的分量。M1和M2为两个球体的分量。V1和V2为碰撞后的速度，V1x,V1y,V2x,V2y为他们的分量。
在我们的例子里，所有球的质量都相等，解得方程为，在垂直轴上的速度不变，在X_Axis轴上互相交换速度。代码如下：
TVector pb1,pb2,xaxis,U1x,U1y,U2x,U2y,V1x,V1y,V2x,V2y;
double a,b;
pb1=OldPos[BallColNr1]+ArrayVel[BallColNr1]*BallTime; // 球1的位置
pb2=OldPos[BallColNr2]+ArrayVel[BallColNr2]*BallTime; // 球2的位置
xaxis=(pb2-pb1).unit(); // X-Axis轴
a=xaxis.dot(ArrayVel[BallColNr1]); // X_Axis投影系数
U1x=xaxis*a; // 计算在X_Axis轴上的速度
U1y=ArrayVel[BallColNr1]-U1x; // 计算在垂直轴上的速度
xaxis=(pb1-pb2).unit();
b=xaxis.dot(ArrayVel[BallColNr2]);
U2x=xaxis*b;
U2y=ArrayVel[BallColNr2]-U2x;
V1x=(U1x+U2x-(U1x-U2x))*0.5; // 计算新的速度
V2x=(U1x+U2x-(U2x-U1x))*0.5;
V1y=U1y;
V2y=U2y;
for (j=0;j<NrOfBalls;j++) // 更新所有球的位置
ArrayPos[j]=OldPos[j]+ArrayVel[j]*BallTime;
ArrayVel[BallColNr1]=V1x+V1y; // 设置新的速度
ArrayVel[BallColNr2]=V2x+V2y;
万有引力的模拟
我们使用欧拉方程来模拟万有引力，如下所示：
Velocity_New = Velovity_Old + Acceleration*TimeStep
Position_New = Position_Old + Velocity_New*TimeStep
在每次模拟中，我们用上面公式计算的速度取代旧的速度
3) 特殊效果
爆炸
最好的表示爆炸效果的就是使用两个互相垂直的平面，并使用alpha混合在窗口中显示它们。接着让alpha变为0，设定爆炸效果不可见。代码如下所示：
// 渲染/混合爆炸效果
glEnable(GL_BLEND); // 使用混合
glDepthMask(GL_FALSE); // 禁用深度缓存
glBindTexture(GL_TEXTURE_2D, texture[1]); // 设置纹理
for(i=0; i<20; i++) // 渲染20个爆炸效果
{
if(ExplosionArray[i]._Alpha>=0)
{
glPushMatrix();
ExplosionArray[i]._Alpha-=0.01f; // 设置alpha
ExplosionArray[i]._Scale+=0.03f; // 设置缩放
// 设置颜色
glColor4f(1,1,0,ExplosionArray[i]._Alpha);
glScalef(ExplosionArray[i]._Scale,ExplosionArray[i]._Scale,ExplosionArray[i]._Scale);
// 设置位置
glTranslatef((float)ExplosionArray[i]._Position.X()/ExplosionArray[i]._Scale,
(float)ExplosionArray[i]._Position.Y()/ExplosionArray[i]._Scale,
(float)ExplosionArray[i]._Position.Z()/ExplosionArray[i]._Scale);
glCallList(dlist); // 调用显示列表绘制爆炸效果
glPopMatrix();
}
}
声音
在Windows下我们简单的调用PlaySound()函数播放声音。
4) 代码的流程
如果你成功的读完了理论部分，在你开始运行程序并播放声音以前。我们将用伪代码向你介绍一些整个流程，以便你能成功的看懂代码。
While (Timestep!=0)
{
对每一个球
{
计算最近的与平面碰撞的位置;
计算最近的与圆柱碰撞的位置;
如果碰撞发生，则保存并替换最近的碰撞点;
}
检测各个球之间的碰撞;
如果碰撞发生，则保存并替换最近的碰撞点;
If (碰撞发生)
{
移动所有的球道碰撞点的时间;
(We already have computed the point, normal and collision time.)
计算碰撞后的效果;
Timestep-=CollisonTime;
}
else
移动所有的球体一步
}
下面是对上面伪代码的实现：
//模拟函数，计算碰撞检测和物理模拟void idle(){ double rt,rt2,rt4,lamda=10000; TVector
norm,uveloc; TVector normal,point,time; double RestTime,BallTime;
TVector Pos2; int BallNr=0,dummy=0,BallColNr1,BallColNr2; TVector Nc;
//如果没有锁定到球上，旋转摄像机
if (!hook_toball1)
{
camera_rotation+=0.1f;
if (camera_rotation>360)
camera_rotation=0;
}
RestTime=Time;
lamda=1000;
//计算重力加速度
for (int j=0;j<NrOfBalls;j++)
ArrayVel[j]+=accel*RestTime;
//如果在一步的模拟时间内(如果来不及计算，则跳过几步)
while (RestTime>ZERO)
{
lamda=10000;
//对于每个球，找到它们最近的碰撞点
for (int i=0;i<NrOfBalls;i++)
{
//计算新的位置和移动的距离
OldPos[i]=ArrayPos[i];
TVector::unit(ArrayVel[i],uveloc);
ArrayPos[i]=ArrayPos[i]+ArrayVel[i]*RestTime;
rt2=OldPos[i].dist(ArrayPos[i]);
//测试是否和墙面碰撞
if (TestIntersionPlane(pl1,OldPos[i],uveloc,rt,norm))
{
//计算碰撞的时间
rt4=rt*RestTime/rt2;
//如果小于当前保存的碰撞时间，则更新它
if (rt4<=lamda)
{
if (rt4<=RestTime+ZERO)
if (! ((rt<=ZERO)&&(uveloc.dot(norm)>ZERO)) )
{
normal=norm;
point=OldPos[i]+uveloc*rt;
lamda=rt4;
BallNr=i;
}
}
}
if (TestIntersionPlane(pl2,OldPos[i],uveloc,rt,norm))
{
rt4=rt*RestTime/rt2;
if (rt4<=lamda)
{
if (rt4<=RestTime+ZERO)
if (! ((rt<=ZERO)&&(uveloc.dot(norm)>ZERO)) )
{
normal=norm;
point=OldPos[i]+uveloc*rt;
lamda=rt4;
BallNr=i;
dummy=1;
}
}
}
if (TestIntersionPlane(pl3,OldPos[i],uveloc,rt,norm))
{
rt4=rt*RestTime/rt2;
if (rt4<=lamda)
{
if (rt4<=RestTime+ZERO)
if (! ((rt<=ZERO)&&(uveloc.dot(norm)>ZERO)) )
{
normal=norm;
point=OldPos[i]+uveloc*rt;
lamda=rt4;
BallNr=i;
}
}
}
if (TestIntersionPlane(pl4,OldPos[i],uveloc,rt,norm))
{
rt4=rt*RestTime/rt2;
if (rt4<=lamda)
{
if (rt4<=RestTime+ZERO)
if (! ((rt<=ZERO)&&(uveloc.dot(norm)>ZERO)) )
{
normal=norm;
point=OldPos[i]+uveloc*rt;
lamda=rt4;
BallNr=i;
}
}
}
if (TestIntersionPlane(pl5,OldPos[i],uveloc,rt,norm))
{
rt4=rt*RestTime/rt2;
if (rt4<=lamda)
{
if (rt4<=RestTime+ZERO)
if (! ((rt<=ZERO)&&(uveloc.dot(norm)>ZERO)) )
{
normal=norm;
point=OldPos[i]+uveloc*rt;
lamda=rt4;
BallNr=i;
}
}
}
//测试是否与三个圆柱相碰
if (TestIntersionCylinder(cyl1,OldPos[i],uveloc,rt,norm,Nc))
{
rt4=rt*RestTime/rt2;
if (rt4<=lamda)
{
if (rt4<=RestTime+ZERO)
if (! ((rt<=ZERO)&&(uveloc.dot(norm)>ZERO)) )
{
normal=norm;
point=Nc;
lamda=rt4;
BallNr=i;
}
}
}
if (TestIntersionCylinder(cyl2,OldPos[i],uveloc,rt,norm,Nc))
{
rt4=rt*RestTime/rt2;
if (rt4<=lamda)
{
if (rt4<=RestTime+ZERO)
if (! ((rt<=ZERO)&&(uveloc.dot(norm)>ZERO)) )
{
normal=norm;
point=Nc;
lamda=rt4;
BallNr=i;
}
}
}
if (TestIntersionCylinder(cyl3,OldPos[i],uveloc,rt,norm,Nc))
{
rt4=rt*RestTime/rt2;
if (rt4<=lamda)
{
if (rt4<=RestTime+ZERO)
if (! ((rt<=ZERO)&&(uveloc.dot(norm)>ZERO)) )
{
normal=norm;
point=Nc;
lamda=rt4;
BallNr=i;
}
}
}
}
//计算每个球之间的碰撞，如果碰撞时间小于与上面的碰撞，则替换它们
if (FindBallCol(Pos2,BallTime,RestTime,BallColNr1,BallColNr2))
{
if (sounds)
PlaySound("Data/Explode.wav",NULL,SND_FILENAME|SND_ASYNC);
if ( (lamda==10000) || (lamda>BallTime) )
{
RestTime=RestTime-BallTime;
TVector pb1,pb2,xaxis,U1x,U1y,U2x,U2y,V1x,V1y,V2x,V2y;
double a,b;
pb1=OldPos[BallColNr1]+ArrayVel[BallColNr1]*BallTime;
pb2=OldPos[BallColNr2]+ArrayVel[BallColNr2]*BallTime;
xaxis=(pb2-pb1).unit();
a=xaxis.dot(ArrayVel[BallColNr1]);
U1x=xaxis*a;
U1y=ArrayVel[BallColNr1]-U1x;
xaxis=(pb1-pb2).unit();
b=xaxis.dot(ArrayVel[BallColNr2]);
U2x=xaxis*b;
U2y=ArrayVel[BallColNr2]-U2x;
V1x=(U1x+U2x-(U1x-U2x))*0.5;
V2x=(U1x+U2x-(U2x-U1x))*0.5;
V1y=U1y;
V2y=U2y;
for (j=0;j<NrOfBalls;j++)
ArrayPos[j]=OldPos[j]+ArrayVel[j]*BallTime;
ArrayVel[BallColNr1]=V1x+V1y;
ArrayVel[BallColNr2]=V2x+V2y;
//Update explosion array
for(j=0;j<20;j++)
{
if (ExplosionArray[j]._Alpha<=0)
{
ExplosionArray[j]._Alpha=1;
ExplosionArray[j]._Position=ArrayPos[BallColNr1];
ExplosionArray[j]._Scale=1;
break;
}
}
continue;
}
}
//最后的测试，替换下次碰撞的时间，并更新爆炸效果的数组
if (lamda!=10000)
{
RestTime-=lamda;
for (j=0;j<NrOfBalls;j++)
ArrayPos[j]=OldPos[j]+ArrayVel[j]*lamda;
rt2=ArrayVel[BallNr].mag();
ArrayVel[BallNr].unit();
ArrayVel[BallNr]=TVector::unit( (normal*(2*normal.dot(-ArrayVel[BallNr]))) + ArrayVel[BallNr] );
ArrayVel[BallNr]=ArrayVel[BallNr]*rt2;
for(j=0;j<20;j++)
{
if (ExplosionArray[j]._Alpha<=0)
{
ExplosionArray[j]._Alpha=1;
ExplosionArray[j]._Position=point;
ExplosionArray[j]._Scale=1;
break;
}
}
}
else
RestTime=0;
}
}
原文及其个版本源代码下载：