线性代数---之正交向量

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正交向量

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“正交向量”是一个数学术语，指点积为零的两个或多个向量。几何向量的概念在 线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为 向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。在三维 向量空间中， 两个向量的 内积如果是零， 那么就说这两个向量是正交的。正交最早出现于三维空间中的向量分析。 换句话说， 两个向量正交意味着它们是相互垂直的。若向量α与β正交，则记为α⊥β。 ^[1] 

中文名

正交向量

外文名

orthogonal vectors

类    型

数学术语

向    量

既有大小又有方向的量

正    交

垂直

目录

1. 1定义
2. ▪向量
3. ▪欧几里得空间
4. ▪正交

1. 2性质
2. ▪性质1
3. ▪性质2
4. 3定理

1. ▪定理1
2. ▪定理2

定义

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向量

在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指既有大小又有方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。

箭头所指：代表向量的方向；

线段长度：代表向量的大小。

与向量对应的只有大小，没有方向的量叫做 数量（物理学中称 标量）。

向量的记法：印刷体记作粗体的字母（如 a、 b、 u、 v），或者

（即从起点A出发指向终点B的向量）。在 空间直角坐标系中，也能把向量以 数对形式表示，例如Oxy平面中用(2,3)表示向量。

在物理学和 工程学 中，几何向量更常被称为矢量。许多 物理量都是矢量，比如一个物体的 位移，球撞向墙而对其施加的 力等等。与之相对的是 标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的 势能。 ^[1] 

欧几里得空间

设

是实数域R上的有限维线性空间，在

上定义有被称为内积的满足一下四条公理的实函数

，

：

（1）对称性：

，

=（

，

）；

（2）关于向量加法的线性性质：

，

，

，

；

（3）关于标量乘法的线性性质：

，

，

；

（4）正定性：

，

，而且等号成立当且仅当

。

这里

，

，

是

的任意向量，k是任意实数。则称

为 欧几里得空间（Euclidean space），简称 欧式空间。

欧几里得空间中两个非零向量

，

的夹角<

，

>定义为<

，

>=

，因而

。所以向量的内积为

。 ^[2] 

正交

如果

=0，则称向量

与

正交(orthogonal)，也称 垂直(perpendicular)，记为

。 ^[2] 

性质

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性质1

对两个向量x和y有内积性质(x,ky)=k(x,y)。 ^[3] 

性质2

设

为n单位正交向量组，则有

。 ^[3] 

定理

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定理1

对于欧式空间

的任一基

都可以找到一个标准正交基

。即 任一非零欧式空间都有正交基和标准正交基。 ^[3] 

定理2

（勾股定理）如果

，则有

。 ^[2]