B样条曲线曲面（附代码）

1 B样条曲线

1.1 B样条曲线方程

B样条方法具有表示与设计*型曲线曲面的强大功能，是形状数学描述的主流方法之一，另外B样条方法是目前工业产品几何定义国际标准——有理B样条方法 (NURBS)的基础。B样条方法兼备了Bezier方法的一切优点，包括几何不变性，仿射不变性等等，同时克服了Bezier方法中由于整体表示带来不具有局部性质的缺点（移动一个控制顶点将会影响整个曲线）。B样条曲线方程可表示为

B样条曲线曲面（附代码）

其中，d_i(i=0,1...n)为控制顶点（坐标），N_i_,_k(i=0,1...n)为k次规范B样条基函数，最高次数是k。基函数是由一个称为节点矢量的非递减参数u的序列U：u₀≤u₁≤...≤u_n₊_k₊₁所决定的k次分段多项式。

B样条的基函数通常采用Cox-deBoor递推公式：

B样条曲线曲面（附代码） (2)

式中i为节点序号，k是基函数的次数，共有n+1个控制顶点。注意区分节点和控制顶点，节点是在节点矢量U中取得，控制顶点则是坐标点，决定B样条的控制多边形。Cox-deBoor递推公式是B样条曲线的定义的核心，该公式在程序中的实现可采用递归的方式：

 function Nik_u = BaseFunction(i, k , u, NodeVector)

 % 计算基函数Ni,k(u),NodeVector为节点向量

 if k == 0       % 0次B样条

     if (u >= NodeVector(i+1)) && (u < NodeVector(i+2))

         Nik_u = 1.0;

     else

         Nik_u = 0.0;

     end

 else

     Length1 = NodeVector(i+k+1) - NodeVector(i+1);

     Length2 = NodeVector(i+k+2) - NodeVector(i+2);      % 支撑区间的长度

     if Length1 == 0.0       % 规定0/0 = 0

         Length1 = 1.0;

     end

     if Length2 == 0.0

         Length2 = 1.0;

     end

     Nik_u = (u - NodeVector(i+1)) / Length1 * BaseFunction(i, k-1, u, NodeVector) ...

         + (NodeVector(i+k+2) - u) / Length2 * BaseFunction(i+1, k-1, u, NodeVector);

 end

Cox-deBoor递推公式

所给程序可用于计算基函数N_i_,_k(u)的值，程序中对不同类型的B样条曲线区别在于节点矢量 NodeVector 的取值不同。

1.2 B样条曲线的分类

根据节点矢量中节点的分布情况不同，可以划分4中类型的B样条曲线。不同类型的B样条曲线区别主要在于节点矢量，对于具有n+1个控制顶点 B样条曲线曲面（附代码）的 k 次B样条曲线，无论是哪种类型都具有n+k+2个节点。

B样条曲线曲面（附代码）

均匀B样条曲线

节点矢量中节点为沿参数轴均匀或等距分布。

对应的节点矢量： B样条曲线曲面（附代码）

B样条曲线曲面（附代码）

准均匀B样条曲线

其节点矢量中两端节点具有重复度k+1，即u₀=u₁=...=u_k，u_n+1=u_n+2=...=u_n+k+1，所有的内节点均匀分布，具有重复度1。

对应的节点矢量： B样条曲线曲面（附代码）

B样条曲线曲面（附代码）

分段Bezier曲线

其节点矢量中两端节点的重复度与类型2相同，为k+1。不同的是内节点重复度为k。该类型有限制条件，控制顶点数减1必须等于次数的正整数倍，即必须满足 B样条曲线曲面（附代码） 正整数。

对应的节点矢量： B样条曲线曲面（附代码）

B样条曲线曲面（附代码）

一般非均匀B样条曲线

对任意分布的节点矢量 B样条曲线曲面（附代码），只要在数学上成立都可选取。

这里给出准均匀B样条和分段Bezier曲线的生成节点矢量的代码，均匀B样条的很简单就不列出了。假设共n+1个控制顶点，k次B样条，输入参数为 n, k ，输出节点矢量到NodeVector中。

 function NodeVector = U_quasi_uniform(n, k)

 % 准均匀B样条的节点向量计算，共n+1个控制顶点，k次B样条

 NodeVector = zeros(1, n+k+2);

 piecewise = n - k + 1;       % 曲线的段数

 if piecewise == 1       % 只有一段曲线时，n = k

     for i = n+2 : n+k+2

         NodeVector(1, i) = 1;

     end

 else

     flag = 1;       % 不止一段曲线时

     while flag ~= piecewise

         NodeVector(1, k+1+flag) = NodeVector(1, k + flag) + 1/piecewise;

         flag = flag + 1;

     end

     NodeVector(1, n+2 : n+k+2) = 1;

 end

准均匀B样条节点向量

 function NodeVector = U_piecewise_Bezier(n, k)

 % 分段Bezier曲线的节点向量计算，共n+1个控制顶点，k次B样条

 % 分段Bezier端节点重复度为k+1，内间节点重复度为k,且满足n/k为正整数

 if ~mod(n, k) && (~mod(k, 1) && k>=1)   % 满足n是k的整数倍且k为正整数

     NodeVector = zeros(1, n+k+2);   % 节点矢量长度为n+k+2

     NodeVector(1, n+2 : n+k+2) = ones(1, k+1);  % 右端节点置1

     piecewise = n / k;      % 设定内节点的值

     Flg = 0;

     if piecewise > 1

         for i = 2 : piecewise

             for j = 1 : k

                 NodeVector(1, k+1 + Flg*k+j) = (i-1)/piecewise;

             end

             Flg = Flg + 1;

         end

     end

 else

     fprintf('error!\n');

 end

分段Bezier曲线的节点向量