Laplace分布的概率密度函数的形式是这样的:
$p(x) = \frac{1}{2 \lambda} e^{-\frac{\vert x –\mu \vert}{\lambda}}$ 一般$\mu$的取值为0,所以形式如下:
$p(x) = \frac{1}{2 \lambda} e^{-\frac{\vert x \vert}{\lambda}}$
它是由两个指数函数组成的,所以又叫做双指数函数分布(double exponential distribution)
均值和方差
均值的求解,若X的概率密度函数为f(X),那么X的均值为 $E(X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} xf(x) dx$,代入以后可以发现里面的积分函数为奇函数,所以均值为0.
方差根据$D(X) = E(X^2)-(E(X))^2$,因为后面一项为0,所以主要求前一项$E(X^2)$,$E(X^2) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x^2f(x)dx$ 根据积分公式$\int udv = uv-vdu$进行求解,得到方差为$2{\lambda}^2$
使用pyplot画概率分布图
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np def laplace_function(x, lambda_): return (1/(2*lambda_)) * np.e**(-1*(np.abs(x)/lambda_)) x = np.linspace(-5,5,10000) y1 = [laplace_function(x_,1) for x_ in x] y2 = [laplace_function(x_,2) for x_ in x] y3 = [laplace_function(x_,0.5) for x_ in x] plt.plot(x, y1, color='r', label="lambda:1") plt.plot(x, y2, color='g', label="lambda:2") plt.plot(x, y3, color='b', label="lambda:0.5") plt.title("Laplace distribution") plt.legend() plt.show()
使用np.random.laplace获得随机样本的值
np.random.laplace可以获得拉普拉斯分布的随机值,参数主要如下:
loc:就是上面的$\mu$,控制偏移。
scale: 就是上面的$\lambda$控制缩放。
size: 是产生数据的个数
print(np.random.laplace(0,1,10))
产生结果如下:
[-0.56017859 -2.11417277 -1.05903743 1.7220117 0.68025748 -0.10421514 -0.61471549 0.96146946 -3.40181804 -0.89675566]
下面我们产生很多数据,然后用直方图把它们画出来,可以看出来它们符合Laplace分布。
import numpy as np laplace1 = np.random.laplace(0, 1, 10000) laplace2 = np.random.laplace(0, 2, 10000) import matplotlib.pyplot as plt fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1,2, sharex=True, sharey=True) ax1.hist(laplace1,bins=1000, label="lambda:1") ax1.legend() ax2.hist(laplace2, bins=1000, label="lambda:2") ax2.legend() plt.show()