1、动作价值函数：
每个状态对应多种动作，我们考率在某个状态下执行不同动作所获得的价值，通过其大小，便可选择价值最大的来执行。Action-Value function：
。同样，也是用reward来表示，但是此处reward是执行动作以后获得的，之前state对应的reward则是多种动作对应的reward的期望。
动作-价值函数表示如下：
此处包含策略，即在策略下的动作价值。因为对于每一个动作，都需要由策略根据当前的状态生成。但价值函数不一定依赖于策略。
但因为动作价值函数更直观，更方便用于算法，所以更多的使用的是动作价值函数。
2、最优价值函数
如果能找到最优的价值函数，则自然找到策略（这是策略的求解方法之一，即Value-based approach，DQN就是Value-based，还有policy-based和model-based前者直接计算策略函数，后者是估计模型，计算出状态转移概率）
因为
所以
，最优Q值必然为最大，所以等式右侧的Q值必然为使a'取最大的Q值。（a‘使Q为最大）
3、策略迭代 policy iteration
通过迭代计算value function 使policy收敛到最优
策略迭代的本质是使用bellman方程得到的：
策略迭代分为两步：
1、策略评估。目的：更新value-function （更好地估计基于当前策略的价值）
2、策略改进。使用贪婪策略产生新的样本用于第一步的策略评估
具体算法：
policy-evaluation 中，需要知道转移概率，即依赖模型。且迭代中需要限制迭代次数。不论策略迭代还是值迭代，都是“上帝”视角推导出来的，本质上不能直接应用，因为是依赖模型的。
4、价值迭代
价值迭代是通过Bellman最优方程得到的：
变为迭代形式：
算法如下：
5、策略迭代和价值迭代的区别
policy iteration使用 bellman方程 来更新value，最后收敛的value 即
是当前policy下的value值（所以叫做对policy进行评估），目的是为了后面的policy improvement得到新的policy。
value iteration使用 bellman 最优方程 来更新value，最后收敛得到的value即
就是当前state状态下的最优的value值。因此，只要最后收敛，那么最优的policy也就得到的。因此这个方法是基于更新value的，所以叫value iteration。
从上面的分析看，value iteration较之policy iteration更直接。不过问题也都是一样，需要知道状态转移函数p才能计算。本质上依赖于模型，而且理想条件下需要遍历所有的状态，这在稍微复杂一点的问题上就基本不可能了。
上面引用的是价值函数的版本，那么如果是使用动作价值函数呢，公式基本是一样的：
每次根据新得到的reward和原来的Q值来更新现在的Q值。理论上可以证明这样的value iteration能够使Q值收敛到最优的action-value function。