快速幂运算
除数学问题之外，也有许多地方用到了幂运算。在此给大家介绍一种能够非常高效的计算幂运算的快速幂运算算法——反复平方法。
Carmichael Number
我们把对任意的1<x<n都有x^n=x(mod n)成立的合数n称为Carmichael Number。对于给定的整数n,判断是不是Carmichael Number。
限制条件：
2<n<6500
输入 17 输出 No（17是素数）
输入 561 输出 Yes
在这里mod，也可用%代替:
mod运算，即求余运算，是在整数运算中求一个整数x除以另一个整数y的余数的运算，且不考虑运算的商。 在计算机程序设计中都有MOD运算，它的含义是 取得两个整数相除后结果的余数 如：7 mod 3 = 1 因为7 除以 3 商2余1，余数1即MOD运算后的结果。 这有一个定理 ： 两个数相乘取余等于分别取余的余数相乘再取余。与四则运算有许多相似之处| 结合律 | ((a+b) mod p + c)mod p = (a + (b+c) mod p) mod p((a*b) mod p * c)mod p = (a * (b*c) mod p) mod p |
| 交换律 | (a + b) mod p = (b+a) mod p(a × b) mod p = (b × a) mod p |
| 分配律 | ((a +b)mod p × c) mod p = ((a × c) mod p + (b × c) mod p) mod p(a×b) mod c=(a mod c * b mod c) mod c(a+b) mod c=(a mod c+ b mod c) mod c(a-b) mod c=(a mod c- b mod c) mod c |
我们先从简单的例子入手：求x^n % mod 。
算法1.首先直接地来设计这个算法：
int mod1(int x,int n,int mod)
{
int ans=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
ans*=x;
}
return ans%mod;
}
这个算法的时间复杂度体现在for循环中，为O（n）.这个算法存在着明显的问题，如果x和n过大，很容易就会溢出。
那么，我们先来看看第一个改进方案：在讲这个方案之前，要先有这样一个公式：
(a*b)%c = ((a%c)*b)%c
这个公式大家在离散数学或者数论当中应该学过，即积的取余等于取余的积的取余。
证明了以上的公式以后，我们可以先让a关于c取余，这样可以大大减少a的大小，溢出的可能性会大大减小
于是上面的程序进行了改进：
**算法2： *
int mod2(int x,int n,int mod)
{
x=x%mod;///这里就是改进的那一步
int ans=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
ans*=x;
}
return ans%mod;
}
聪明的读者应该可以想到，既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变，那么新算得的ans也可以进行取余，所以得到比较良好的改进版本。
算法3：
int mod3(int x,int n,int mod)
{
x=x%mod;///这里就是改进的那一步
int ans=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
ans=(ans*x)%mod;///又一次改进
}
return ans%mod;
}
这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(n)，不过已经好很多的，但是在mod过大的条件下，还是很有可能超时，所以，我们推出以下的快速幂算法。
快速幂算法依赖于以下明显的公式，我就不证明了。
a^b mod c=(a^2)^(b/2) mod c (b为偶数)；
a^b mod c=((a^2)^(b div 2)*a) mod c (b为奇数)
有了上述两个公式后，我们可以得出以下的结论：
1.如果b是偶数，我们可以记k = a^2 mod c，那么求(k)^b/2 mod c就可以了。
2.如果b是奇数，我们也可以记k = a^2 mod c，那么求
((k)^b/2 mod c × a ) mod c =((k)^b/2 mod c × a) mod c 就可以了。
那么我们可以得到以下算法：
算法4：
int mod4(int x,int n,int mod)
{
int ans = 1;
x = x % mod;
if(n%2==1)
ans = (ans * x) % mod; //如果是奇数，要多求一步，可以提前算到ans中
int k = (x*x) % mod; //我们取a2而不是a
for(int i = 1; i<=n/2; i++)
{
ans = (ans * k) % mod;
}
ans = ans % mod;
return ans;
}
我们可以看到，我们把时间复杂度变成了O(n/2).当然，这样子治标不治本。但我们可以看到，当我们令k = (x × x) % mod 时，状态已经发生了变化，我们所要求的最终结果即为(k)^(n/2 ) % mod 而不是原来的(x^n) % mod ，所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然，对于奇数的情形会多出一项x % mod ，所以为了完成迭代，当n是奇数时，我们通过
ans = (ans * x) % mod;来弥补多出来的这一项，此时剩余的部分就可以进行迭代了。
形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。于是便可以在O（log b）的时间内完成了。于是，有了最终的算法：快速幂算法。
算法5：快速幂算法
int mod5(int x,int n,int mod)
{
int ans = 1;
x = x % mod;
while(n>0)
{
if(n % 2 == 1)
ans = (ans * x) % mod;
n = n/2;
x = (x * x) % mod;
}
return ans;
}
本算法的时间复杂度为O（logn），能在几乎所有的程序设计（竞赛）过程中通过，是目前最常用的算法之一。
以下内容仅供参考：
扩展：有关于快速幂的算法的推导，还可以从另一个角度来想。
求解这个问题，我们也可以从进制转换来考虑：
将10进制的b转化成2进制的表达式：
那么，实际上，.例如：x^22=x^16 × x^4 × x^2;
（而22转换为二进制数是10110）
所以，注意此处的要么为0，要么为1，如果某一项，那么这一项就是1，这个对应了上面算法过程中b是偶数的情况，为1对应了b是奇数的情况[不要搞反了，读者自己好好分析，可以联系10进制转2进制的方法]，我们从依次乘到。对于每一项的计算，计算后一项的结果时用前一项的结果的平方取余。对于要求的结果而言，为时ans不用把它乘起来，[因为这一项值为1]，为1项时要乘以此项再取余。
当然，这里对于n的控制也可以用二进制的思想来比较好理解
算法6：
ll mod_pow(ll x,ll n,ll mod)还可以递归来实现
{
ll res=1;
while(n>0)
{
if(n&1)
res=res*x%mod;
x=x*x%mod;
n>>=1;
}
return res;
}
算法6：
ll mod_pow1(ll x,ll n,ll mod)
{
if(n==0) return 1;
ll res=mod_pow1(x*x%mod,n/2,mod);
if(n&1) res=res*x%mod;
return res;
}