判断一个数是否为质数的三种方法

因为看了上面这篇文章，感觉思路很棒，但原文是用C++写的，所以想写个python的版本。本文的大体结构与原文类似。

质数的定义：在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。

1）直观判断法

最直观的方法，根据定义，因为质数除了1和本身之外没有其他约数，所以判断n是否为质数，根据定义直接判断从2到n-1是否存在n的约数即可。

def isPrime(num):
    for i in range(num):
        for j in range(2, num):
            if i % j == 0:
                break
        else:
            return True

2）直观判断法改进

上述判断方法，明显存在效率极低的问题。对于每个数n，其实并不需要从2判断到n-1，我们知道，一个数若可以进行因数分解，那么分解时得到的两个数一定是一个小于等于sqrt(n)，一个大于等于sqrt(n)，据此，上述代码中并不需要遍历到n-1，遍历到sqrt(n)即可，因为若sqrt(n)左侧找不到约数，那么右侧也一定找不到约数。

from math import sqrt
def isPrime(num):
    for i in range(num):
        for j in range(2, int(sqrt(num))):
            if i % j == 0:
                break
        else:
            return True

3）质数规律判断法

首先看一个关于质数分布的规律：大于等于5的质数一定和6的倍数相邻。例如5和7，11和13,17和19等等；

证明：令x≥1，将大于等于5的自然数表示如下：

······6x-2，6x-1，6x，6x+1，6x+2，6x+3，6x+4，6x+5，6x+6，6x+7······

也就是

······2(3x-1)，6x-1，6x，6x+1，2(3x+1)，3(2x+1)，2(3x+2)，6x+5，6(x+1)，6(x+1)+1······

可以看到，不在6的倍数两侧，即6x两侧的数为6x+2，6x+3，6x+4，由于2(3x+1)，3(2x+1)，2(3x+2)，所以它们一定不是素数，再除去6x本身，显然，素数要出现只可能出现在6x的相邻两侧。这里要注意的一点是，在6的倍数相邻两侧并不是一定就是质数。

根据以上规律，判断质数可以6个为单元快进，即将方法（2）循环中i++步长加大为6，加快判断速度，代码如下：

from math import sqrt

def isPrime(num):
    if num == 2 or num == 3:   # 两个较小的数进行处理
        return True
    if num % 6 != 1 and num % 6 != 5:  # 不在6的倍数的两侧的一定不是质数
        return False
    tmp = int(sqrt(num))
    for i in range(5, tmp+1):  # 在6的倍数两侧的也可能不是质数
        if num % i == 0 or num % (i+2) == 0:
            return False
    return True  # 剩下的全是质数

调用函数的代码如下：

for i in range(2, 200):  # 这里的range函数起始值必须为2，否则第3种方法运行时会把1当作质数输出
    if isPrime(i):
        print(i, end=' ')

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