bzoj3224: Tyvj 1728 普通平衡树（平衡树）

时间：2022-05-27 23:14:46

bzoj3224: Tyvj 1728 普通平衡树（平衡树）

总结

a. cout<<(x=3)<<endl;这句话输出的值是3，那么对应的，在splay操作中，当父亲不为0的时候，就一直向上旋转

3224: Tyvj 1728 普通平衡树

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Description

您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一些数，其中需要提供以下操作：
1. 插入x数
2. 删除x数(若有多个相同的数，因只删除一个)
3. 查询x数的排名(若有多个相同的数，因输出最小的排名)
4. 查询排名为x的数
5. 求x的前驱(前驱定义为小于x，且最大的数)
6. 求x的后继(后继定义为大于x，且最小的数)

Input

第一行为n，表示操作的个数,下面n行每行有两个数opt和x，opt表示操作的序号(1<=opt<=6)

Output

对于操作3,4,5,6每行输出一个数，表示对应答案

Sample Input

10
1 106465
4 1
1 317721
1 460929
1 644985
1 84185
1 89851
6 81968
1 492737
5 493598

Sample Output

106465
84185
492737

HINT

1.n的数据范围：n<=100000
2.每个数的数据范围：[-2e9,2e9]

Source

变量声明：f[i]表示i的父结点，ch[i][0]表示i的左儿子，ch[i][1]表示i的右儿子，key[i]表示i的关键字（即结点i代表的那个数字），cnt[i]表示i结点的关键字出现的次数（相当于权值），size[i]表示包括i的这个子树的大小；sz为整棵树的大小，root为整棵树的根。

再介绍几个基本操作：

【clear操作】：将当前点的各项值都清0（用于删除之后）

  1. inline void clear(int x){
  2. ch[x][0]=ch[x][1]=f[x]=cnt[x]=key[x]=size[x]=0;
  3. }

【get操作】：判断当前点是它父结点的左儿子还是右儿子

  1. inline int get(int x){
  2. return ch[f[x]][1]==x;
  3. }

【update操作】：更新当前点的size值（用于发生修改之后）

  1. inline void update(int x){
  2. if (x){
  3. size[x]=cnt[x];
  4. if (ch[x][0]) size[x]+=size[ch[x][0]];
  5. if (ch[x][1]) size[x]+=size[ch[x][1]];
  6. }
  7. }

下面boss来了：

【rotate操作图文详解】

bzoj3224: Tyvj 1728 普通平衡树（平衡树）

这是原来的树，假设我们现在要将D结点rotate到它的父亲的位置。

step 1：

找出D的父亲结点（B）以及父亲的父亲（A）并记录。判断D是B的左结点还是右结点。

step 2：

我们知道要将Drotate到B的位置，二叉树的大小关系不变的话，B就要成为D的右结点了没错吧？

咦？可是D已经有右结点了，这样不就冲突了吗？怎么解决这个冲突呢？

我们知道，D原来是B的左结点，那么rotate过后B就一定没有左结点了对吧，那么正好，我们把G接到B的左结点去，并且这样大小关系依然是不变的，就完美的解决了这个冲突。

bzoj3224: Tyvj 1728 普通平衡树（平衡树）bzoj3224: Tyvj 1728 普通平衡树（平衡树）

这样我们就完成了一次rotate，如果是右儿子的话同理。step 2的具体操作：

我们已经判断了D是B的左儿子还是右儿子，设这个关系为K；将D与K关系相反的儿子的父亲记为B与K关系相同的儿子（这里即为D的右儿子的父亲记为B的左儿子）；将D与K关系相反的儿子的父亲即为B（这里即为把G的父亲记为B）；将B的父亲即为D；将D与K关系相反的儿子记为B（这里即为把D的右儿子记为B）；将D的父亲记为A。

最后要判断，如果A存在（即rotate到的位置不是根的话），要把A的儿子即为D。

显而易见，rotate之后所有牵涉到变化的父子关系都要改变。以上的树需要改变四对父子关系，BG DG BD AB，需要三个操作（BG BD AB）。

step 3：update一下当前点和各个父结点的各个值

【代码】

  1. inline void rotate(int x){
  2. int old=f[x],oldf=f[old],which=get(x);
  3. ch[old][which]=ch[x][which^1];f[ch[old][which]]=old;
  4. f[old]=x;ch[x][which^1]=old;
  5. f[x]=oldf;
  6. if (oldf)
  7. ch[oldf][ch[oldf][1]==old]=x;
  8. update(old);update(x);
  9. }

【splay操作】

其实splay只是rotate的发展。伸展操作只是在不停的rotate，一直到达到目标状态。如果有一个确定的目标状态，也可以传两个参。此代码直接splay到根。

splay的过程中需要分类讨论，如果是三点一线的话（x，x的父亲，x的祖父）需要先rotate x的父亲，否则需要先rotate x本身（否则会形成单旋使平衡树失衡）

  1. inline void splay(int x){
  2. for (int fa;(fa=f[x]);rotate(x))
  3. if (f[fa])
  4. rotate((get(x)==get(fa)?fa:x));
  5. root=x;
  6. }

【insert操作】

其实插入操作是比较简单的，和普通的二叉查找树基本一样。

step 1：如果root=0，即树为空的话，做一些特殊的处理，直接返回即可。

step 2：按照二叉查找树的方法一直向下找，其中：

如果遇到一个结点的关键字等于当前要插入的点的话，我们就等于把这个结点加了一个权值。因为在二叉搜索树中是不可能出现两个相同的点的。并且要将当前点和它父亲结点的各项值更新一下。做一下splay。

如果已经到了最底下了，那么就可以直接插入。整个树的大小要+1，新结点的左儿子右儿子（虽然是空）父亲还有各项值要一一对应。并且最后要做一下他父亲的update（做他自己的没有必要）。做一下splay。

  1. inline void insert(int v){
  2. if (root==0) {sz++;ch[sz][0]=ch[sz][1]=f[sz]=0;key[sz]=v;cnt[sz]=1;size[sz]=1;root=sz;return;}
  3. int now=root,fa=0;
  4. while (1){
  5. if (key[now]==v){
  6. cnt[now]++;update(now);update(fa);splay(now);break;
  7. }
  8. fa=now;
  9. now=ch[now][key[now]<v];
  10. if (now==0){
  11. sz++;
  12. ch[sz][0]=ch[sz][1]=0;key[sz]=v;size[sz]=1;
  13. cnt[sz]=1;f[sz]=fa;ch[fa][key[fa]<v]=sz;
  14. update(fa);
  15. splay(sz);
  16. break;
  17. }
  18. }
  19. }

【find操作】查询x的排名

初始化：ans=0，当前点=root

和其它二叉搜索树的操作基本一样。但是区别是：

如果x比当前结点小，即应该向左子树寻找，ans不用改变（设想一下，走到整棵树的最左端最底端排名不就是1吗）。

如果x比当前结点大，即应该向右子树寻找，ans需要加上左子树的大小以及根的大小（这里的大小指的是权值）。

不要忘记了再splay一下

  1. inline int find(int v){
  2. int ans=0,now=root;
  3. while (1){
  4. if (v<key[now])
  5. now=ch[now][0];
  6. else{
  7. ans+=(ch[now][0]?size[ch[now][0]]:0);
  8. if (v==key[now]) {splay(now);return ans+1;}
  9. ans+=cnt[now];
  10. now=ch[now][1];
  11. }
  12. }
  13. }

【findx操作】找到排名为x的点

初始化：当前点=root

和上面的思路基本相同：

如果当前点有左子树，并且x比左子树的大小小的话，即向左子树寻找；

否则，向右子树寻找：先判断是否有右子树，然后记录右子树的大小以及当前点的大小（都为权值），用于判断是否需要继续向右子树寻找。

  1. inline int findx(int x){
  2. int now=root;
  3. while (1){
  4. if (ch[now][0]&&x<=size[ch[now][0]])
  5. now=ch[now][0];
  6. else{
  7. int temp=(ch[now][0]?size[ch[now][0]]:0)+cnt[now];
  8. if (x<=temp)
  9. return key[now];
  10. x-=temp;now=ch[now][1];
  11. }
  12. }
  13. }

【求x的前驱（后继），前驱（后继）定义为小于（大于）x，且最大（最小）的数】

这类问题可以转化为将x插入，求出树上的前驱（后继），再将x删除的问题。

其中insert操作上文已经提到。

【pre/next操作】

这个操作十分的简单，只需要理解一点：在我们做insert操作之后做了一遍splay。这就意味着我们把x已经splay到根了。求x的前驱其实就是求x的左子树的最右边的一个结点，后继是求x的右子树的左边一个结点（想一想为什么？）

  1. inline int pre(){
  2. int now=ch[root][0];
  3. while (ch[now][1]) now=ch[now][1];
  4. return now;
  5. }
  6. inline int next(){
  7. int now=ch[root][1];
  8. while (ch[now][0]) now=ch[now][0];
  9. return now;
  10. }

【del操作】

删除操作是最后一个稍微有点麻烦的操作。

step 1：随便find一下x。目的是：将x旋转到根。

step 2：那么现在x就是根了。如果cnt[root]>1，即不只有一个x的话，直接-1返回。

step 3：如果root并没有孩子，就说名树上只有一个x而已，直接clear返回。

step 4：如果root只有左儿子或者右儿子，那么直接clear root，然后把唯一的儿子当作根就可以了（f赋0，root赋为唯一的儿子）

剩下的就是它有两个儿子的情况。

step 5：我们找到新根，也就是x的前驱（x左子树最大的一个点），将它旋转到根。然后将原来x的右子树接到新根的右子树上（注意这个操作需要改变父子关系）。这实际上就把x删除了。不要忘了update新根。

  1. inline void del(int x){
  2. int whatever=find(x);
  3. if (cnt[root]>1) {cnt[root]--;return;}
  4. //Only One Point
  5. if (!ch[root][0]&&!ch[root][1]) {clear(root);root=0;return;}
  6. //Only One Child
  7. if (!ch[root][0]){
  8. int oldroot=root;root=ch[root][1];f[root]=0;clear(oldroot);return;
  9. }
  10. else if (!ch[root][1]){
  11. int oldroot=root;root=ch[root][0];f[root]=0;clear(oldroot);return;
  12. }
  13. //Two Children
  14. int leftbig=pre(),oldroot=root;
  15. splay(leftbig);
  16. f[ch[oldroot][1]]=root;
  17. ch[root][1]=ch[oldroot][1];
  18. clear(oldroot);
  19. update(root);
  20. return;
  21. }

【总结】

平衡树的本质其实是二叉搜索树，所以很多操作是基于二叉搜索树的操作。

splay的本质是rotate，旋转其实只是为了保证二叉搜索树的平衡性。

所有的操作一定都满足二叉搜索树的性质，所有改变父子关系的操作一定要update。

关键是理解rotate，splay的原理以及每一个操作的原理。

所有的操作均来自bzoj3224 普通平衡树  附链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3224

完整代码：http://blog.csdn.net/clove_unique/article/details/50636361

 #include<iostream>

 #include<cstring>

 #include<cstdio>

 using namespace std;

 #define MAXN 1000000

 int ch[MAXN][],f[MAXN],size[MAXN],cnt[MAXN],key[MAXN];

 int sz,root;

 inline void clear(int x){

     ch[x][]=ch[x][]=f[x]=size[x]=cnt[x]=key[x]=;

 }

 //输入的x是查询的节点，输出1的话表示右孩子，0的话表示左孩子

 //f[x]是x节点的父亲 ，ch[f[x]][1]是x父亲节点的右孩子

 //ch[f[x]][1]==x,如果父亲的右孩子等于自己，自己就是右孩子

 inline bool get(int x){

     return ch[f[x]][]==x;

 }

 inline void update(int x){

     if (x){

         size[x]=cnt[x];

         if (ch[x][]) size[x]+=size[ch[x][]];

         if (ch[x][]) size[x]+=size[ch[x][]];

     }

 }

 //这个旋转操作是将左旋和右旋结合起来了 ，将孩子旋转到父亲的位置上面去

 inline void rotate(int x){

     //图中x是D，old是B，oldf是A，whichx是0，表示左孩子

     int old=f[x],oldf=f[old],whichx=get(x);

     //相当于图中把G赋值给B

     ch[old][whichx]=ch[x][whichx^]; //^是异或，相同为0，不同为1

     //设置修改后G的父亲是B

     f[ch[old][whichx]]=old;

     //想当予图中将B作为D的孩子

     ch[x][whichx^]=old;

     //设置B的父亲为D

     f[old]=x;

     //将D的父亲设置为A

     f[x]=oldf;

     //

     if (oldf)

         ch[oldf][ch[oldf][]==old]=x;//设置D是A的左孩子还是右孩子

     //更新B节点的大小和D节点的大小（节点个数）

     update(old); update(x);

 }

 inline void splay(int x){

     //fa是x的父亲 ，旋转两次

     for (int fa;fa=f[x];rotate(x))

     //如果fa的父亲节点存在

     if (f[fa])

     //如果x和fa同是左孩子或者又孩子（同为链），就旋转fa，否则旋转x

         rotate((get(x)==get(fa))?fa:x);

     //一直旋转到x为根节点

     root=x;

 }

 inline void insert(int x){

     //如果之前没有节点，初始化根

     if (root==){sz++; ch[sz][]=ch[sz][]=f[sz]=; root=sz; size[sz]=cnt[sz]=; key[sz]=x; return;}

     //先找到位置然后再插入，从根节点开始

     int now=root,fa=;

     while(){

         if (x==key[now]){//找到

             cnt[now]++; update(now); update(fa); splay(now); break;

         }

         //从根节点开始向下找

         fa=now;

         //这一步确定是找左孩子还是右孩子， key[now]<x用来确定找哪个孩子

         now=ch[now][key[now]<x];

         //直到没找到，也就是找到插入的位置

         if (now==){

             //找到插入的位置后就是一系列的赋值修改

             sz++;

             ch[sz][]=ch[sz][]=;

             f[sz]=fa;

             size[sz]=cnt[sz]=;

             //确定是左孩子还是右孩子

             ch[fa][key[fa]<x]=sz;

             key[sz]=x;

             update(fa);

             //伸展操作

             splay(sz);

             break;

         }

     }

 }

 inline int find(int x){

     //从根节点开始找

     int now=root,ans=;

     while(){

         if (x<key[now])

           now=ch[now][];

         else{

             //加上左孩子

             ans+=(ch[now][]?size[ch[now][]]:);

             //找到

             if (x==key[now]){

                 splay(now); return ans+;

             }

             //加上根

             ans+=cnt[now];

             //继续向右孩子循环

             now=ch[now][];

         }

     }

 }

 inline int findx(int x){

     int now=root;

     while(){

         if (ch[now][]&&x<=size[ch[now][]])

           now=ch[now][];

         else{

             int temp=(ch[now][]?size[ch[now][]]:)+cnt[now];

             if (x<=temp) return key[now];

             x-=temp; now=ch[now][];

         }

     }

 }

 //因为有伸展操作，所以求前驱后继很方便

 inline int pre(){//左子树中最大

     int now=ch[root][];

     while (ch[now][]) now=ch[now][];

     return now;

 }

 inline int next(){//右子树中最小

     int now=ch[root][];

     while (ch[now][]) now=ch[now][];

     return now;

 }

 inline void del(int x){

     int whatever=find(x);

     if (cnt[root]>){cnt[root]--; update(root); return;}

     if (!ch[root][]&&!ch[root][]) {clear(root); root=; return;}

     if (!ch[root][]){

         int oldroot=root; root=ch[root][]; f[root]=; clear(oldroot); return;

     }

     else if (!ch[root][]){

         int oldroot=root; root=ch[root][]; f[root]=; clear(oldroot); return;

     }

     //因为我们要操作的节点已经旋转到根，所以，求左右子树的话就是直接求根的，所以都不需要传参数

     int leftbig=pre(),oldroot=root;

     splay(leftbig);

     //因为我们找的前驱节点，右子树没有变化，直接给就好

     ch[root][]=ch[oldroot][];

     //设置父亲

     f[ch[oldroot][]]=root;

     clear(oldroot);//清除老根节点

     update(root);

 }

 int main(){

     int n,opt,x;

     scanf("%d",&n);

     for (int i=;i<=n;++i){

         scanf("%d%d",&opt,&x);

         switch(opt){

             case : insert(x); break;

             case : del(x); break;

             case : printf("%d\n",find(x)); break;

             case : printf("%d\n",findx(x)); break;

             case : insert(x); printf("%d\n",key[pre()]); del(x); break;

             case : insert(x); printf("%d\n",key[next()]); del(x); break;

         }

     }

 }

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