原文:【原创】开源Math.NET基础数学类库使用(08)C#进行数值积分
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前言
在数值计算的需求中，数值积分也是比较常见的一个。我们也知道像Matlab，Mathematics等软件的积分求解功能非常高大上，不仅能求解定积分，还能求解不定积分，甚至多重积分等等。而Math.NET这个组件没有如此高级的功能，目前也只提供了比较件的闭区间上的定积分求解功能。今天就一起来看看，因为不定积分涉及到符号计算，因此其背后的原理和实现要复杂得多。就连Matlab这种软件暂时也不支持混编编程求解符号计算相关的功能。
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1.定积分
很多人可能已经淡忘了定积分的概念，当然需要用到的朋友看到这里，也基本不用看本段的内容，比较简单，高等数学已经是10多年前学过的东西了，虽然以前很精通，现在也只能凭印象理解和网络来对这个概念稍微进行整理，可能有些不完整或小错误，还请谅解。
数学定义：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点xi将区间[a,b]分为n 个小区间，在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ri（i=1,2,3„,n） ，作和式f(r1)+...+f(rn) ，当n趋于无穷大时，上述和式无限趋近于某个常数A，这个常数叫做y=f(x) 在区间上的定积分. 记作/ab f(x) dx 即 /ab f(x) dx ＝limn>00 [f(r1)+...+f(rn)]， 这里，a 与 b叫做积分下限与积分上限，区间[a,b] 叫做积分区间，函数f(x) 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式。
几何定义：可以理解为在 Oxy坐标平面上，由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b以及x轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。
详细的可以参考以下链接：
定积分的计算公式和性质：http://www.shuxuecheng.com/gaosuzk/content/lljx/wzja/5/5-2.htm
2.Math.NET关于定积分的实现
Math.NET中对定积分的实现都在MathNet.Numerics.Integration命名空间以及Integrate.cs中,Integrate静态类其实是对Integration命名空间下几个近似积分方法的实现。Math.NET定积分的近似求解主要是用到了“梯形法则”，详细的内容可以参考以下：链接，其原理非常简单。这里我们只介绍经常用到的Integrate静态类的实现，很简单，其他内部实现过程可以查源码：
using System;
using MathNet.Numerics.Integration; namespace MathNet.Numerics
{
/// <summary>
/// 数值积分类
/// </summary>
public static class Integrate
{
/// <summary>
/// 近似解析光滑函数在闭区间上的定积分
/// </summary>
/// <param name="f">The analytic smooth function to integrate.</param>
/// <param name="intervalBegin">Where the interval starts, inclusive and finite.</param>
/// <param name="intervalEnd">Where the interval stops, inclusive and finite.</param>
/// <param name="targetAbsoluteError">The expected relative accuracy of the approximation.</param>
/// <returns>Approximation of the finite integral in the given interval.</returns>
public static double OnClosedInterval(Func<double, double> f, double intervalBegin, double intervalEnd, double targetAbsoluteError)
{
return DoubleExponentialTransformation.Integrate(f, intervalBegin, intervalEnd, targetAbsoluteError);
} /// <summary>
/// 近似解析光滑函数在闭区间上的定积分
/// </summary>
/// <param name="f">The analytic smooth function to integrate.</param>
/// <param name="intervalBegin">Where the interval starts, inclusive and finite.</param>
/// <param name="intervalEnd">Where the interval stops, inclusive and finite.</param>
/// <returns>Approximation of the finite integral in the given interval.</returns>
public static double OnClosedInterval(Func<double, double> f, double intervalBegin, double intervalEnd)
{
return DoubleExponentialTransformation.Integrate(f, intervalBegin, intervalEnd, 1e-);
}
}
}
下面的例子就是直接调用该类进行的。
3.C#使用Math.NET求解定积分的例子
使用比较简单，直接看源码：
// 1. Integrate x*x on interval [0, 10]
Console.WriteLine(@"1.函数 x*x 在闭区间 [0, 10] 上的积分");
var result = Integrate.OnClosedInterval(x => x * x, , );
Console.WriteLine(result);
Console.WriteLine(); // 2. Integrate 1/(x^3 + 1) on interval [0, 1]
Console.WriteLine(@"2.函数 1/(x^3 + 1) 在闭区间 [0, 1] 上的积分");
result = Integrate.OnClosedInterval(x => / (Math.Pow(x, ) + ), , );
Console.WriteLine(result);
Console.WriteLine(); // 3. Integrate f(x) = exp(-x/5) (2 + sin(2 * x)) on [0, 10]
Console.WriteLine(@"3.函数 f(x) = exp(-x/5) (2 + sin(2 * x)) 在 [0, 10]上的积分");
result = Integrate.OnClosedInterval(x => Math.Exp(-x / ) * ( + Math.Sin( * x)), , );
Console.WriteLine(result);
Console.WriteLine(); // 4. Integrate target function with absolute error = 1E-4
Console.WriteLine(@"4. 对目标函数进行积分，绝对误差= 1E-4 ,区间 [0, 10]");
Console.WriteLine(@"public static double TargetFunctionA(double x)
{
return Math.Exp(-x / 5) * (2 + Math.Sin(2 * x));
}");
result = Integrate.OnClosedInterval(TargetFunctionA, , , 1e-);
Console.WriteLine(result);
Console.WriteLine();
参数主要有3个：函数，积分下限，积分上限，其他的就是附带一个绝对误差了，看看运行结果：
.函数 x*x 在闭区间 [, ] 上的积分
333.333333333332 .函数 /(x^ + ) 在闭区间 [, ] 上的积分
0.835648848264702 .函数 f(x) = exp(-x/) ( + sin( * x)) 在 [, ]上的积分
10.4950494839272 . 对目标函数进行积分，绝对误差= 1E- ,区间 [, ]
public static double TargetFunctionA(double x)
{
return Math.Exp(-x / ) * ( + Math.Sin( * x));
}
10.4950494839276
4.资源
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