双曲函数系列

时间:2021-11-21 19:09:03

定义

  双曲函数(Hyperbolic Function)包括下列六种函数:

  sinh / 双曲正弦: sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2

  cosh / 双曲余弦: cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2

  tanh / 双曲正切: tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]

  coth / 双曲余切: coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)]

  sech / 双曲正割: sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)]

  csch / 双曲余割: csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)]

  其中,

  e是自然对数的底

  e≈2.71828 18284 59045...= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5!...+ 1/n! +...

  e^x 表示 e的x次幂,展开成无穷幂级数是:

  e^x=x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5!...+ x^n/n! +...

  如同点 (cost,sint) 定义一个圆,点 (cosh t, sinh t) 定义了右半直角双曲线 x^2 − y^2 = 1。这基于了很容易验证的恒等式

  cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1

  和性质 t > 0 对于所有的 t。

  双曲函数是带有复周期 2πi 的周期函数。

  参数 t 不是圆角而是双曲角,它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点 (cosh t, sinh t) 的直线之间的面积的两倍。

  函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。

  函数 sinh x 是奇函数,就是说 -sinh x = sinh -x 且 sinh 0 = 0。

实变双曲函数图像的基本性质

  y=sinh(x).定义域:R.值域:R.奇函数.函数图像为过原点并且穿越Ⅰ,Ⅲ象限的严格单调递增曲线,当x->+∞时是(1/2)e^x的等价无穷大.函数图像关于原点对称.

  y=cosh(x).定义域:R.值域:[1,+∞).偶函数.函数图像是悬链线,最低点是(0,1),在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲线,当x->+∞时是(1/2)e^x的等价无穷大.函数图像关于y轴对称.

  y=tanh(x).定义域:R.值域:(-1,1).奇函数.函数图像为过原点并且穿越Ⅰ,Ⅲ象限的严格单调递增曲线.其图像被限制在两渐近线y=1和y=-1之间.lim[x->+∞,tanh(x)=1],lim[x->-∞,tanh(x)=-1].

  y=coth(x).定义域:{x|x≠0}.值域:{x||x|>1}.奇函数.函数图像分为两支,分别在Ⅰ,Ⅲ象限,函数在(-∞,0)和(0,+∞)分别单调递减.垂直渐近线为y轴,两水平渐近线为y=1和y=-1.lim[x->+∞,coth(x)=1],lim[x->-∞,coth(x)=-1].

  y=sech(x).定义域:R.值域:(0,1].偶函数.最高点是(0,1),函数在(0,+∞)严格单调递减.x轴是其渐近线.lim[x->∞,sech(x)]=0.

  y=csch(x).定义域:{x|x≠0}.值域:{x|x≠0}.奇函数.函数图像分为两支,分别在Ⅰ,Ⅲ象限,函数在(-∞,0)和(0,+∞)分别单调递减.垂直渐近线为y轴,两水平渐近线为x轴.lim[x->∞,csch(x)]=0.

与三角函数的关系

  双曲函数与三角函数有如下的关系:

  * sinh x = -i * sin(i * x)

  * cosh x = cos(i * x)

  * tanh x = -i * tan(i * x)

  * coth x = -i * cot(i * x)

  * sech x = sec(i * x)

  * csch x = i * csc(i * x)

  i 为虚数单位,即 i * i = -1

恒等式

  与双曲函数有关的恒等式如下:

  cosh^2(x) - sinh^2(x) =1

  coth^2(x)-csch^2(x)=1

  tanh^2(x)+sech^2(x)=1

  * 加法公式:

  sinh(x+y) = sinh(x) * cosh(y) + cosh(x) * sinh(y)

  cosh(x+y) = cosh(x) * cosh(y) + sinh(x) * sinh(y)

  tanh(x+y) = [tanh(x) + tanh(y)] / [1 + tanh(x) * tanh(y)]

  * 减法公式:

  sinh(x-y) = sinh(x) * cosh(y) - cosh(x) * sinh(y)

  cosh(x-y) = cosh(x) * cosh(y) - sinh(x) * sinh(y)

  tanh(x-y) = [tanh(x) - tanh(y)] / [1 - tanh(x) * tanh(y)]

  * 二倍角公式:

  sinh(2x) = 2 * sinh(x) * cosh(x)

  cosh(2x) = cosh^2(x) + sinh^2(x) = 2 * cosh^2(x) - 1 = 2 * sinh^2(x) + 1

  * 半角公式:

  cosh^2(x / 2) = (cosh(x) + 1) / 2

  sinh^2(x / 2) = (cosh(x) - 1) / 2

  双曲函数的恒等式都在圆三角函数有相应的公式。Osborn's rule指出:将圆三角函数恒等式中,圆函数转成相应的双曲函数,有两个sinh的积时(包括coth^2(x), tanh^2(x), csch^2(x), sinh(x) * sinh(y))则转换正负号,则可得到相应的双曲函数恒等式。如

  * 三倍角公式:

  sin(3 * x) = 3 * sin(x) − 4 * sin(2 * x)

  sinh(3 * x) = 3 * sinh(x) + 4 * sinh(2 * x)

反双曲函数

  反双曲函数是双曲函数的反函数. 它们的定义为:

  arsinh(x) = ln[x + sqrt(x^2 + 1)]

  arcosh(x) = ln[x + sqrt(x^2 - 1)]

  artanh(x) = ln[sqrt(1 - x^2) / (1 - x)] = ln[(1 + x) / (1 - x)] / 2

  arcoth(x) = ln[sqrt(x^2 - 1) / (x - 1)] = ln[(x + 1) / (x - 1)] / 2

  arsech(x) = ± ln[1 + sqrt(1 - x^2) / x]

  arcsch(x) = ln[1 - sqrt(1 + x^2) / x] , 如果 x < 0

  ln[1 + sqrt(1 + x^2) / x] , 如果 x > 0

  其中,

  sqrt 为 square root 的缩写 , 即平方根

双曲函数与反双曲函数的导数

  (sinh(x))'=cosh(x)

  (cosh(x))'=sinh(x)

  (tanh(x))'=sech^2(x)

  (coth(x))'=-csch^2(x)

  (sech(x))'=-sech(x)tanh(x)

  (csch(x))'=-csch(x)coth(x)

  (arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2+1)

  (arccosh(x))'=1/sqrt(x^2-1) (x>1)

  (arctanh(x))'=1/(1-x^2) (|x|<1)

  (arccoth(x))'=1/(1-x^2) (|x|>1)

双曲函数与反双曲函数的不定积分

  ∫sinh(x)dx=cosh(x)+c

  ∫cosh(x)dx=sinh(x)+c

  ∫sech^2(x)dx=tanh(x)+c

  ∫csch^2(x)dx=-coth(x)+c

  ∫sech(x)tanh(x)dx=-sech(x)+c

  ∫csch(x)coth(x)dx=-csch(x)+c

  ∫tanh(x)dx=ln(cosh(x))+c

  ∫coth(x)dx=ln|sinh(x)|+c

  ∫sech(x)dx=arctan(sinh(x))+c=2arctan(e^x)+c1=2arctan(tanh(x/2))+c2

  ∫csch(x)dx=ln|coth(x)-csch(x)+c=ln|tanh(x/2)|+c

  ∫[1/sqrt(x^2+1)]dx=arcsinh(x)+c=ln(x+sqrt(x^2+1))+c

  ∫[1/sqrt(x^2-1)]dx=sgn(x)arccosh|x|+c=ln|x+sqrt(x^2-1)|+c

  (sgn是符号函数.sgn(x)=x/|x|,x≠0;sgn(x)=0,x=0)

双曲函数与反双曲函数的级数表示

  sinh(z)=z+z^3/3!+z^5/5!+z^7/7!+...+z^(2k-1)/(2k-1)!+... (z∈C)

  cosh(z)=1+z^2/2!+z^4/4!+z^6/6!+...+z^(2k)/(2k)!+... (z∈C)

  arcsinh(z)=z-(1/6)z^3+(3/40)z^5-(5/112)z^7+...+(-1)^k[(2k-1)!!/(2k)!!][z^(2k+1)/(2k+1)]+... (|z|<1)

  arctanh(z)=z+z^3/3+z^5/5+z^7/7+...+z^(2k-1)/(2k-1)+... (|z|<1)