#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long int64;
int ca,top,prim[];
int64 A,B,K,pi,pk,ans,ti,q;
int64 ksm(int64 x,int64 y){
if (y==) return ;
if (y==) return x;
int64 d=ksm(x,y/);
if (y%==) return d*d*x;
else return d*d;
}
int64 exgcd(int64 a,int64 b,int64 &x,int64 &y){
if (b==){
x=,y=;
return a;
}
int64 temp=exgcd(b,a%b,x,y),tmp;
tmp=x,x=y,y=tmp-a/b*y;
return temp;
}
int64 YuanGen(int64 x){
bool flag;
top=;
int64 temp=x-;
for (int i=;i<=sqrt(x-);i++){
if (temp%i==){
prim[++top]=i;
while (temp%i==) temp/=i;
}
}
if (temp>) prim[++top]=temp;
for (int i=;;i++){
flag=;
for (int j=;j<=top;j++){
if (ksm(i,(x-)/prim[j])%x==){
flag=;
break;
}
}
if (flag) return i;
}
}
#define maxn 100005
#define maxm 400005
int now[maxn],prep[maxm];
int64 val[maxm];
void insert(int x,int64 y){
int64 pos=y%maxn;
prep[x]=now[pos],now[pos]=x,val[x]=y;
}
int find(int64 x){
int64 pos=x%maxn; int ans=maxm*;
for (int i=now[pos];i!=-;i=prep[i]){
if (val[i]==x) ans=min(ans,i);
}
if (ans==maxm*) return -;
else return ans;
}
int64 BSGS(int64 A,int64 B,int64 C){
memset(now,-,sizeof(now));
int64 pos,temp=ceil(sqrt(C*1.0)),D=,R=;
for (int i=;i<temp;i++){
insert(i,D);
D=D*A%C;
}
int64 tmp,x,y;
for (int i=;i<temp;i++){
tmp=exgcd(R,C,x,y);
x=(x*(B/tmp)%C+C)%C;
pos=find(x);
if (pos!=-) return i*temp+pos;
R=R*D%C;
}
return -;
}
int64 calc(int64 A,int64 B,int64 C){
q=YuanGen(pi);
int64 a,b,t,x,y,c=C-C/pi;
b=BSGS(q,B,C);
t=exgcd(A,c,x,y);
c/=t;
x=(x*(b/t)%c+c)%c;
int sum=;
for (int i=x;i<c*t;) sum++,i+=c;
return sum;
}
int64 work(int64 A,int64 B){
B%=pk; int64 a,b,c,x;
if (B==){
a=(ti-)/A+;
return pk/ksm(pi,a);
}
b=,c=;
while (B%pi==){
b++,c*=pi;
B/=pi;
}
if (b%A!=) return ;
x=b/A;
return calc(A,B,pk/c)*ksm(pi,b-x);
}
int main(){
int64 temp;
scanf("%d",&ca);
while (ca--){
scanf("%lld%lld%lld",&A,&B,&K);
K=K*+,temp=K; ans=;
for (int i=;i<=sqrt(K);i++){
if (temp%i==){
pi=i,pk=,ti=;
while (temp%i==){
pk*=i; ti++;
temp/=i;
}
ans*=work(A,B);
}
}
if (temp>){
pi=pk=temp; ti=;
ans*=work(A,B);
}
printf("%lld\n",ans);
}
return ;
}
题目链接:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2219
题目大意:在ACM_DIY群中,有一位叫做“傻崽”的同学由于在数论方面造诣很高,被称为数轮之神!对于任何数论问题,他都能瞬间秒杀!一天他在群里面问了一个神题: 对于给定的3个非负整数 A,B,K 求出满足 (1) X^A = B(mod 2*K + 1) (2) X 在范围[0, 2K] 内的X的个数!自然数论之神是可以瞬间秒杀此题的,那么你呢?
第一行有一个正整数T,表示接下来的数据的组数( T <= 1000) 之后对于每组数据,给出了3个整数A,B,K (1 <= A, B <= 10^9, 1 <= K <= 5 * 10^8)
输出一行,表示答案。
做法:这题很像之前写过的一个题,用原根+指标+bsgs即可,但是那一题B,C互质,且C一定存在原根。这题不一样了,设C=2*k+1,C不一定存在原根,但是我们可以将其标准分解,这些pi^ti一定存在原根,因为C%2==1,一定不会有2的幂,而奇素数的a次幂,a>=1,一定存在原根。我们对每个x^A=B(mod pi^ti)(0=<x<pi^ti)求出解的个数后乘起来就是原来的解,至于为什么,右转百度搜中国剩余定理推论。
怎么求x^A=B(mod pi^ti)(0=<x<pi^ti)的解的个数呢?我们将B%pi^ti,为了一些边界情况,我们要分情况讨论,当B=0时,那么x^A一定是pi^ti的倍数,我们x中存在因子p^a,且a*A>=ti,那么只要是p^a的倍数就行,可以手推式子。
当B>0时,我们将B分解为pi^b * T,我们要想办法把pi^b约去,那么x^A中也要刚好有pi^b次方,否则之后同余不成立,所以当A不整除b时无解,令k=b/A,那么x=p^k * G,G属于[0,p^(ti-k)),约去后化简为G^A = T (mod pi^(ti-b)),G属于[0,pi^(ti-b)),mod数存在原根,T与mod数互质,转化为了弱化版,可以用bsgs+原根求解,设解数为ans,最后应该ans*=p^(b-k),因为定义域缩小了,且存在大小为p^(ti-b)的循环节,除一下就知道最后要扩大的倍数了。
那么怎么求x^A=B(mod C)呢? C存在原根,且(B,C)=1。我们找到C的原根g,找到B在原根g下modC的指标,x也必定为原根g的若干次方%C,式子变为
g^(aA)=g^b(mod C),由于循环节phi(C),变为aA=b(mod phi(C)),0=<a<phi(C),用扩展欧几里得算法即可实现。