Luogu 1080 【NOIP2012】国王游戏 （贪心，高精度）

时间：2021-07-23 16:56:25

Luogu 1080 【NOIP2012】国王游戏 （贪心，高精度）

Description

恰逢H国国庆，国王邀请n位大臣来玩一个有奖游戏。首先，他让每个大臣在左、右手上面分别写下一个整数，国王自己也在左、右手上各写一个整数。然后，让这 n位大臣排成一排，国王站在队伍的最前面。排好队后，所有的大臣都会获得国王奖赏的若干金币，每位大臣获得的金币数分别是：排在该大臣前面的所有人的左手上的数的乘积除以他自己右手上的数，然后向下取整得到的结果。

国王不希望某一个大臣获得特别多的奖赏，所以他想请你帮他重新安排一下队伍的顺序，使得获得奖赏最多的大臣，所获奖赏尽可能的少。注意，国王的位置始终在队伍的最前面。

Input

第一行包含一个整数 n，表示大臣的人数。

第二行包含两个整数a和b，之间用一个空格隔开，分别表示国王左手和右手上的整数。

接下来n行，每行包含两个整数a和b，之间用一个空格隔开，分别表示每个大臣左手和右手上的整数。

Output

输出只有一行，包含一个整数，表示重新排列后的队伍中获奖赏最多的大臣所获得的金币数。

Sample Input

3

1 1

2 3

7 4

4 6

Sample Output

2

Http

Luogu:https://www.luogu.org/problem/show?pid=1080

Source

贪心，高精度

题目大意

给出若干组二元组(a,b)，对于一种排列方式，定义第i个二元组的花费为前面所有人的a之积除以第i个的b。现在要求求一种排列方式，使得其中最大的花费最小。

解决思路

我们来考虑排序方式。对于\(\forall\)两个人\(A,B\)，设\(A\)的左手为\(A_l\)，右手为\(A_r\)，\(B\)同理。现在假设\(A与B\)是相邻的，他们前面的所有人的左手乘积为\(P\)。则有

顺序 A的花费 B的花费
A在前 \(\frac{T}{A_r}\) \(\frac{T*A_l}{B_r}\)
B在前 \(\frac{T*B_l}{A_r}\) \(\frac{T}{B_r}\)

那么我们如何排列\(A和B\)呢？那一定取决于上面表格中的两行中的最大值。而因为所有的数都是整数，所以我们可以知道\(\frac{T}{A_r}\)与\(\frac{T}{B_r}\)是不可能成为最大值的。

所以我们考虑\(\frac{T*A_l}{B_r}\)和\(\frac{T*B_l}{A_r}\)。

当\(\frac{T*A_l}{B_r} > \frac{T*B_l}{A_r}\)时，经过恒等变换，我们可以得到\(A_l*A_r>B_l*B_r\)也就是说，当A的左右手乘积大于B的左右手乘积时，我们把B排在前面会更优。

那么\(\frac{T*A_l}{B_r} < \frac{T*B_l}{A_r}\)是否也满足呢？我们发现是满足的。

也就是说，最优的排列方式为将人按照左右手乘积升序排序。至于求解其中的最大值，只要从1开始做一遍就可以啦。

最后需要注意的是，本题需要高精度。

代码

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std;

#define mem(Arr,x) memset(Arr,x,sizeof(Arr))

const int maxN=2000;

const int maxNum=5000;

const int inf=2147483647;

#define ll long long

class People//定义一个关于人的结构体，方便按照左右手乘积排序

{

public:

	ll l,r;

};

bool operator < (People A,People B)//定义比较

{

	return A.l*A.r<B.l*B.r;

}

class BigInteger//定义高精度

{

public:

	int siz;

	ll Num[maxNum];

	BigInteger();

	BigInteger(int x);

	BigInteger(ll x);

	void operator = (int B);

	bool operator == (int B);

	bool operator == (BigInteger B);

	BigInteger operator + (BigInteger B);

	BigInteger operator * (ll B);

	BigInteger operator / (ll B);

};

ostream& operator << (ostream & os,BigInteger A)//重载输出运算符方便输出

{

	if (A.siz==0)

	{

		os<<0;

		return os;

	}

	for (int i=A.siz;i>=1;i--)

		os<<A.Num[i];

	return os;

}

bool operator < (BigInteger A,BigInteger B)//重载小于运算符

{

	if (A.siz<B.siz)

		return 1;

	if (A.siz>B.siz)

		return 0;

	for (int ii=A.siz;ii>=1;ii--)

	{

		if (A.Num[ii]>B.Num[ii])

			return 0;

		if (A.Num[ii]<B.Num[ii])

			return 1;

	}

}

ll n;

People P[maxN];

ll read();

int main()//主程序

{

	n=read();

	P[0].l=read();

	P[0].r=read();

	for (int i=1;i<=n;i++)

	{

		P[i].l=read();

		P[i].r=read();

	}

	sort(&P[1],&P[n+1]);//将人排序

	BigInteger ret=P[0].l;//ret即前面所有人左手的乘积

	BigInteger Ans=0;//Ans记录最大的

	for (int i=1;i<=n;i++)//依次计算

	{

		Ans=max(Ans,ret/P[i].r);

		ret=ret*P[i].l;

	}

	cout<<Ans<<endl;

	return 0;

}

ll read()

{

	ll x=0;

	char ch=getchar();

	while ((ch<'0')||(ch>'9'))

		ch=getchar();

	while ((ch>='0')&&(ch<='9'))

	{

		x=x*10+ch-48;

		ch=getchar();

	}

	return x;

}

//以下就是高精度的重载

BigInteger::BigInteger()

{

	siz=0;

	mem(Num,0);

}

BigInteger::BigInteger(int B)

{

	siz=0;

	mem(Num,0);

	while (B!=0)

	{

		siz++;

		Num[siz]=B%10;

		B=B/10;

	}

}

BigInteger::BigInteger(ll B)

{

	siz=0;

	mem(Num,0);

	while (B!=0)

	{

		siz++;

		Num[siz]=B%10;

		B=B/10;

	}

}

void BigInteger::operator = (int B)

{

	siz=0;

	mem(Num,0);

	while (B!=0)

	{

		siz++;

		Num[siz]=B%10;

		B=B/10;

	}

}

bool BigInteger::operator == (BigInteger B)

{

	if (siz!=B.siz)

		return 0;

	for (int ii=1;ii<=siz;ii++)

		if (Num[ii]!=B.Num[ii])

			return 0;

	return 1;

}

bool BigInteger::operator == (int B)

{

	BigInteger A(B);

	if (A==B)

		return 1;

	return 0;

}

BigInteger BigInteger::operator + (BigInteger B)

{

	BigInteger Ans;

	Ans.siz=max(siz,B.siz);

	for (int ii=1;ii<=Ans.siz;ii++)

		Ans.Num[ii]=Num[ii]+B.Num[ii];

	for (int ii=1;ii<Ans.siz;ii++)

	{

		Ans.Num[ii+1]+=Ans.Num[ii]/10;

		Ans.Num[ii]%=10;

	}

	while (Ans.Num[Ans.siz]>=10)

	{

		Ans.Num[Ans.siz+1]+=Ans.Num[Ans.siz]/10;

		Ans.Num[Ans.siz]%=10;

		Ans.siz++;

	}

	return Ans;

}

BigInteger BigInteger::operator * (ll B)

{

	BigInteger Ans;

	for (int ii=1;ii<=siz;ii++)

		Ans.Num[ii]=1ll*Num[ii]*(ll)(B);

	Ans.siz=siz;

	for (int ii=1;ii<Ans.siz;ii++)

	{

		Ans.Num[ii+1]+=Ans.Num[ii]/10;

		Ans.Num[ii]%=10;

	}

	while (Ans.Num[Ans.siz]>=10)

	{

		Ans.Num[Ans.siz+1]+=Ans.Num[Ans.siz]/10;

		Ans.Num[Ans.siz]%=10;

		Ans.siz++;

	}

	return Ans;

}

BigInteger BigInteger::operator / (ll B)

{

	BigInteger Ans;

	int res=0;

	for (int ii=siz;ii>=1;ii--)

	{

		res=res*10+Num[ii];

		Ans.Num[ii]=res/B;

		res=res%B;

	}

	Ans.siz=siz;

	while (Ans.Num[Ans.siz]==0)

		Ans.siz--;

	return Ans;

}

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