PCA的过程结束后,还有一个与之相关的预处理步骤,白化(whitening)
对于输入数据之间有很强的相关性,所以用于训练数据是有很大冗余的,白化的作用就是降低输入数据的冗余,通过白化可以达到(1)降低特征之间的相关性(2)所有特征同方差,白化是需要与平滑与PCA结合的,下边来看如何结合。
对于训练数据{},找到其所有特征组成的新基U,计算在新基的坐标 ,这里就会消除数据的相关性:
这个数据的协方差矩阵如下:
协方差矩阵对角元素的值为 和 ,且非对角线元素取值为0,课件不同纬度的特征之间是不相关的,对应的 和 是不相关的,这便满足白化的第一个要求,降低相关性,下面就要使特征之间同方差(注意是变化后的特征同方差)中每个特征 i 的方差为 我们可以直接使用 作为缩放因子来缩放每个特征 。具体地,我们定义白化后的数据 如下:
绘制出 ,可以得到:
这些数据现在的协方差矩阵为单位矩阵 。 是数据经过PCA白化后的版本: 中不同的特征之间不相关并且具有单位方差。
白化与降维相结合。 如果你想要得到经过白化后的数据,并且比初始输入维数更低,可以仅保留 中前 个成分。当我们把PCA白化和正则化结合起来时(在稍后讨论), 中最后的少量成分将总是接近于0,因而舍弃这些成分不会带来很大的问题。
最后要说明的是,使数据的协方差矩阵变为单位矩阵 的方式并不唯一。具体地,如果 是任意正交矩阵,即满足 (说它正交不太严格, 可以是旋转或反射矩阵), 那么 仍然具有单位协方差。在ZCA白化中,令 。定义ZCA白化的结果为:
绘制 ,得到:
可以证明,对所有可能的 ,这种旋转使得 尽可能地接近原始输入数据 。
当使用 ZCA白化时(不同于 PCA白化),我们通常保留数据的全部 个维度,不尝试去降低它的维数。
实践中需要实现PCA白化或ZCA白化时,有时一些特征值 在数值上接近于0,这样在缩放步骤时我们除以 将导致除以一个接近0的值;这可能使数据上溢 (赋为大数值)或造成数值不稳定。因而在实践中,我们使用少量的正则化实现这个缩放过程,即在取平方根和倒数之前给特征值加上一个很小的常数 :
当 在区间 上时, 一般取值为 。
对图像来说, 这里加上 ,对输入图像也有一些平滑(或低通滤波)的作用。这样处理还能消除在图像的像素信息获取过程中产生的噪声,改善学习到的特征。