Re.多项式求逆

时间：2021-08-12 15:29:50

前言

emmm暂无

多项式求逆目的

顾名思义 就是求出一个多项式的摸xn时的逆

给定一个多项式F(x),请求出一个多项式G(x),满足F(x)∗G(x)≡1(modxn),系数对998244353取模。

多项式求逆主要思路

我们考虑用递推的做法

假设我们当前已知F(x)H(x)=1(mod xi/2)

要求的是F(x)Q(x)=1(mod xi)

因为F(x)Q(x)=1(mod xi)

所以F(x)Q(x)=1(mod xi/2)

可得F(x)(Q(x)-H(x))=0(mod xi/2)

显然可得Q(x)-H(x)=0(mod xi/2)

将上述式子两边平方得H(x)2-2Q(x)H(x)+Q(x)2=0(mod xi)

再将两边同时乘上F(x)

因为F(x)Q(x)=1(mod xi)

所以得F(x)H(x)2-2H(x)+Q(x)=0(mod xi)

移项最后得求的G(x)=2H(x)-F(x)H(x)2(mod xi)

那么就可以递推了

初始状态显然为i等于1的情况G(0)为F(0)的逆元

最后的递推式就为

1.if(x=0)-----G(0)=F(0)p-2(p为模数)

2.if(x>0)-----G(x)=2H(x)-F(x)H(x)2(mod xi)

代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long

#define C getchar()-48

inline ll read()

{

    ll s=0,r=1;

    char c=C;

    for(;c<0||c>9;c=C) if(c==-3) r=-1;

    for(;c>=0&&c<=9;c=C) s=(s<<1)+(s<<3)+c;

    return s*r;

}

const ll p=998244353,G=3,N=2100000;

ll n;

ll rev[N];

ll a[N],b[N],c[N];

inline ll ksm(ll a,ll b)

{

    ll ans=1;

    while(b)

    {

        if(b&1) ans=(ans*a)%p;

        a=(a*a)%p;

        b>>=1;

    }

    return ans;

}

inline void ntt(ll *a,ll n,ll kd)

{

    for(ll i=0;i<n;i++)

    if(i<rev[i])

      swap(a[i],a[rev[i]]);

    for(ll i=1;i<n;i<<=1)

    {

        ll gn=ksm(G,(p-1)/(i<<1));

        for(ll j=0;j<n;j+=(i<<1))

        {

            ll t1,t2,g=1;

            for(ll k=0;k<i;k++,g=1ll*g*gn%p)

            {

                t1=a[j+k],t2=1ll*g*a[j+k+i]%p;

                a[j+k]=(t1+t2)%p,a[j+k+i]=(t1-t2+p)%p;

            }

        }

    }

    if(kd==1) return;

    ll ny=ksm(n,p-2);

    reverse(a+1,a+n);

    for(ll i=0;i<n;i++) a[i]=1ll*a[i]*ny%p;

}

inline void work(ll deg,ll *a,ll *b)

{

    if(deg==1){b[0]=ksm(a[0],p-2);return;}

    work((deg+1)>>1,a,b);

    ll len=0,sum=1;

    for(;sum<(deg<<1);sum<<=1,len++);

    for(ll i=1;i<sum;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));

    for(ll i=0;i<deg;i++) c[i]=a[i];

    for(ll i=deg;i<sum;i++) c[i]=0;

    ntt(c,sum,1);ntt(b,sum,1);

    for(ll i=0;i<sum;i++) b[i]=1ll*(2-1ll*c[i]*b[i]%p+p)%p*b[i]%p;

    ntt(b,sum,-1);

    for(ll i=deg;i<sum;i++) b[i]=0;

}

int main()

{

    n=read();

    for(ll i=0;i<n;i++) a[i]=read();

    work(n,a,b);

    for(ll i=0;i<n;i++) printf("%lld ",b[i]);

    return 0;

}

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