计算机视觉基础5——本质矩阵与基本矩阵(Essential and Fundamental Matrices)

本质矩阵和基础矩阵的区别是什么？修改

本质矩阵和基础矩阵的区别是什么？各自是个什么东西？用大白话或者非专业性的语言来解释。 修改

先了解下 对极几何，两个相机在不同位置(实际要求光心位置不同即可)拍摄两张图，这个模型就是对极几何，如下图(摘自《计算机视觉中的多视图几何》)：

两摄像机光心分别是C和C'，图像平面是两白色的平面，空间中某一个点X在两张图的投影点分别是x和x'。这样的模型就是对极几何，空间点和两光心组成的平面叫做对极面。简言之，不同视点拍摄的两个场景满足对极几何关系。

再讲下 基本矩阵，存在这么一个矩阵F，使得空间中不在两图像平面上的任意点X分别在两图像的投影坐标x,x'满足等式(x')T*F*x=0，即x'的转置乘以F，再乘以x的结果为0，那么F就是左边图像到右边图像的基本矩阵，从公式上可以看出基本矩阵是有方向的，右图到左图的基本矩阵就是F的转置。F矩阵有如下性质：
1、秩为2；
2、F矩阵是一个7个*度的3*3矩阵(3*3矩阵本身9个*度，因为相差一个常数因子和行列式值为0两个条件，减掉2个*度)，相差一个常数因此的意思是：kF(k!=0)也是基本矩阵，也就是说如果F是基本矩阵，那么kF也是基本矩阵，所以基本矩阵不唯一，在相差一个倍数的前提下是唯一的，也就是我们可以固定矩阵中某一个非零元素的值，这样自然少一个*度。
这里讲下自己对基本矩阵的理解：很简单，基本矩阵提供了三维点到二维的一个约束条件。举个例子，现在假设我们不知道空间点X的位置，只知道X在左边图上的投影x的坐标位置，也知道基本矩阵，首先我们知道的是X一定在射线Cx上，到底在哪一点是没法知道的，也就是X可能是Cx上的任意一点(也就是轨迹的意思)，那么X在右图上的投影肯定也是一条直线。也就是说，如果我们知道一幅图像中的某一点和两幅图的基本矩阵，那么就能知道其对应的右图上的点一定是在一条直线上，这样就约束了两视角下的图像中的空间位置一定是有约束的，不是任意的。基本矩阵是很有用的一个工具，在三维重建和特征匹配上都可以用到。

最后带下 本质矩阵，本质矩阵就是在归一化图像坐标下的基本矩阵。不仅具有基本矩阵的所有性质，而且还可以估计两相机的相对位置关系，具体内容可参考《计算机视觉中的多视图几何》。

计算机视觉基础5——本质矩阵与基本矩阵(Essential and Fundamental Matrices)

(2015-07-30 16:31:16)

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标签：  机器视觉

分类： 机器视觉/OpenCV

回顾本质矩阵的定义

 

本质矩阵的基本性质：

结合成像的几何关系

　　　　　　

Longuet-Higgins equation

注意大小写的区别哦，大小表示物点矢量，小与表示像点矢量。

像平面上的一点可以看作：

? (u,v) 2D film point(局限于像平面上来考虑)

? (u,v,f) 3D point on film plane(相机坐标系中来考虑)

? k(u,v,f) viewing ray into the scene(透过像点和原点射线上点的像，相机坐标系中来考虑)

? k(X, Y, Z) ray through point P in the scene(在世界坐标系中来考虑)

设 l 为像平面上的一直线： au+bv+c=0

由点线结合关系可得：

因此有

这样就可以用几何的观点来解释上述方程：左像平面上的一点 pl 乘以本质矩阵 E ，结果为一条直线，该直线就是 pl 的极线，且过 pl 在右像平面上的对应点 pr 。这个结论十分喜人。

同理有

? Remember: epipoles belong to the epipolar lines

? And they belong to all the epipolar lines

关于本质矩阵的关系总结如下：

本质矩阵采用的是相机的外部参数，也就是说采用相机坐标(The essential matrix uses CAMERA coordinates)，如果要分析数字图像，则要考虑坐标(u,v)，此时需要用到内部参数(To use image coordinates we must consider the INTRINSIC camera parameters)

从像素级来考虑，有如下关系

short version: The same equation works in pixel coordinates too!

矩阵 F 称为基本矩阵: F=M?TrRSM?1l

? has rank 2

? depends on the INTRINSIC and EXTRINSIC Parameters (f, etc ; R & T)

Analogous to essential matrix. The fundamental matrix also tells how pixels (points) in each image are related to epipolar lines in the other image.

例子：

 

 

 

由 F?el=0 ，并根据下图，where is the epipole? vector in the right nullspace of matrix  F ，即 F 的右零空间。当然 el 是非零向量，也就是说 F?el=0 有非零解，说明矩阵 F 不是满秩的，或者说它是奇异的，However, due to noise,F may not be singular.So instead, next best thing is eigenvector associated with smallest eigenvalue of F。

>> [u,d] = eigs(F’ * F)
u =
-0.0013 0.2586 -0.9660
0.0029 -0.9660 -0.2586
1.0000 0.0032 -0.0005
d = 1.0e8*
-1.0000 0 0
0 -0.0000 0
0 0 -0.0000
eigenvector associated with smallest eigenvalue
>> uu = u(:,3)
uu = ( -0.9660 -0.2586 -0.0005)
>> uu / uu(3) : to get pixel coords
(1861.02 498.21 1.0)

 

where is the epipole?