看完了ICA的一整套原理介绍后，感觉完整的介绍和andrew ng的课程中的ICA特征提取关系不是很大；在ICA的理论中，主要用于盲源分离的，也就是混合的观测数据X，通过一个正交的且其范数为1的分离矩阵W（其实是实现旋转变换），分解为相互独立的原始信号数据S=WX。（这里要求S，W，X都为n*n的矩阵）
学习完成后自己有一些理解和不解。
数据处理
在实际的造作过程中，先通过均值削减和白化操作（也可通过PCA降维），把观测数据X变为一个，各个维数之间相互独立的新数据Z；让Z通过矩阵W分解为S，S=WZ；这样处理数据可以加快数据的收敛性；减低计算的复杂度。
模型转化
1，感觉利用极大似然估计算法时，利用sigmoid函数特有的性质，来近似代替原始数据的的概率分布Ps（t），感觉这个很神奇，以前只知道期望均值，可以用平均数来代替，例如本例中也通过均值来近似估计对数似然期望；没想到连概率密度函数都可以“蒙”；通过转化把一个函数优化问题，最后通过梯度下降算法来求解最优值。
2，利用负熵转化时，感觉这个也很神奇，通过信息论中熵的概念，中心极限定理，最大熵原理，KL散度，互信息定义出了变量间相互独立行的度量，通过度量目标函数，来优化找到最佳W。
ICA进行图像特征提取
下面该进入正题了，就是利用ICA进行图像特征提取了；在ICA提取提取图像特征，这里先引用一段tornadomeet的介绍：
在sparse coding模型中，学习到的基是超完备集的，也就是说基集中基的个数比数据的维数还要大，那么对一个数据而言，将其分解为基的线性组合时，这些基之间本身就是线性相关的。如果我们想要得到线性无关的基集，那么基集中元素的个数必须小于或等于样本的维数，本节所讲的ICA（Independent Component Analysis，独立成分分析）模型就可以完成这一要求，它学习到的基之间不仅保证线性无关，还保证了相互正交。
ICA特征提取本质上是对原始数据X，通过矩阵W，来实现一个线性变换；这里要求W为正交阵，变换后数据Y（Y=WX）之间线性无关，且正交；而且可以通过变换W矩阵的维度，来控制学习的特征的个数。
在模型变换上面，ICA特征提取并没有用上面提到的似然估计，熵等方法，而是通过类似autoencoder的方式，让自己和自己比较，是原始数据和重构数据误差达到最小；然后通过变换W矩阵，是W正交化。我们知道autoencoder是通过simoid（WX+B）来重构数据的，这个过程有两个变换，线性变换部分：WX+b；非线性部分：sigmoid部分；由于sigmoid非线性变换的存在，所以最后没有约束权值矩阵W必须为正交阵；所以通过autoencoder学习到的特征之间有相关性的。
所以利用ICA提取特征应该叫做，ICA autoencoder 或者 正交线性 autoencoder
ICA图像特征提取过程，由于tornadomeet大牛写的很好就直接copy了。
给出的代价函数却为：
代价函数的偏导公式（这样实现时，可以偷懒不用推导了），只不过它给出的公式有一个小小的错误，我把正确的公式整理如下：
错误就是公式右边第一项最左边的那个应该是W，而不是它的转置W’，否则程序运行时是有矩阵维数不匹配的情况。
4. 最后就是对参数W进行迭代优化了，由于要使W满足正交性这一要求，所以不能直接像以前那样采用lbfgs算法，而是每次直接使用梯度下降法进行迭代，迭代完成后采用正交化步骤让W变成正交矩阵。只是此时文章中所说的学习率alpha是个动态变化的，是按照线性搜索来找到的。W正交性公式为：
5. 如果采用上面的代价函数和偏导公式时，用Ng给的code是跑不起来的，程序在线搜索的过程中会陷入死循环。（线搜索没有研究过，所以完全不懂）。最后在Deep Learning高质量交流群内网友”蜘蛛小侠”的提议下，将代价函数的W加一个特征稀疏性的约束，（注意此时的特征为Wx），然后把Ng的code中的迭代次数改大，比如5000，
其它程序不用更改，即可跑出结果来。
稀疏代价函数：
偏导为：
其中一定要考虑样本的个数m，否则即使通过了代价函数和其导数的验证，也不一定能通过W正交投影的验证。
程序代码：
参见tornadomeet的博客
http://www.cnblogs.com/tornadomeet/archive/2013/04/25/3041963.html
其中有个错误：就是在orthonormalICACost.m函数中，grad项的后面忘记除以样本总数num_samples了;如果不处理程序会陷入死循环。
应该是:
grad = ……+...
(weightMatrix*patches./sqrt((weightMatrix*patches).^2+epsilon))*patches'/ num_samples