113 个解决方案
#1
6个
#2
是不是6个?
#3
8
#4
9个！
#5
给8答案的朋友能说明下理由吗/
#6
12个求是没有问题的。
取边长为1的正20面体，共有12个顶点。
经计算可得，20面体顶点到中心的距离为d=0.95105651629515357211643933337938<1
如果取球的半径为d/2,
则我们可以将原球球心放在单位正20面体的中心，再将12个球的球心放在正20面体的12个顶点。这12个球的球心到原球球心的距离正好为d，所以这12个球同圆球相接触。12个球球心两两距离为1>2d,所以它们相互不相交。
取边长为1的正20面体，共有12个顶点。
经计算可得，20面体顶点到中心的距离为d=0.95105651629515357211643933337938<1
如果取球的半径为d/2,
则我们可以将原球球心放在单位正20面体的中心，再将12个球的球心放在正20面体的12个顶点。这12个球的球心到原球球心的距离正好为d，所以这12个球同圆球相接触。12个球球心两两距离为1>2d,所以它们相互不相交。
#7
可以放下12个球。
取正20面体（共12个顶点）
如果边长为1，则顶点到中心距离为0.95105651629515357211643933337938<1
或者如果顶点到中心的距离为1，则正20面体边长为1.0514622242382672120513381696958>1
容易看出放12个球没有问题了吧。能否放13个球倒是个问题，不过估计已经不能了，要证明可不容易。
取正20面体（共12个顶点）
如果边长为1，则顶点到中心距离为0.95105651629515357211643933337938<1
或者如果顶点到中心的距离为1，则正20面体边长为1.0514622242382672120513381696958>1
容易看出放12个球没有问题了吧。能否放13个球倒是个问题，不过估计已经不能了，要证明可不容易。
#8
现在我可以证明了最多是13，不过要用到球面三角形的面积公式。
如果我们讨论的球的半径为d,那么所有相接触的球的球心都在半径为2d的球上。
为方便下面的讨论，可以设2d==1.
对于三个相互相邻的球心,如果它们对应的球也两两相切，那么它们围成的球面三角形将最小（不然应该还要大一些，这是无法严格证明了）。
我们可以计算得到正四面体两个面之间夹角为2*arctan(1/sqrt(2))，也就是最小的球面三角形的三个角角度都是2*arctan(1/sqrt(2)),即三角形面积为3*(2*arctan(1/sqrt(2)))-Pi
=0.55128559843253080794214415146446.
而整个球面的面积为4*Pi,为上面极小值的22.794665142875323259999400916934倍，
所以球面被这些球心最多分成22个球面三角形。
而球面上三个点将一个球面分成2个球面三角形，以后每增加一个点，都将增加2个球面三角形，所以13个点将把一个球面分成10*2+2=22个球面三角形，14就超过了。
如果我们讨论的球的半径为d,那么所有相接触的球的球心都在半径为2d的球上。
为方便下面的讨论，可以设2d==1.
对于三个相互相邻的球心,如果它们对应的球也两两相切，那么它们围成的球面三角形将最小（不然应该还要大一些，这是无法严格证明了）。
我们可以计算得到正四面体两个面之间夹角为2*arctan(1/sqrt(2))，也就是最小的球面三角形的三个角角度都是2*arctan(1/sqrt(2)),即三角形面积为3*(2*arctan(1/sqrt(2)))-Pi
=0.55128559843253080794214415146446.
而整个球面的面积为4*Pi,为上面极小值的22.794665142875323259999400916934倍，
所以球面被这些球心最多分成22个球面三角形。
而球面上三个点将一个球面分成2个球面三角形，以后每增加一个点，都将增加2个球面三角形，所以13个点将把一个球面分成10*2+2=22个球面三角形，14就超过了。
#9
14个
#10
楼上的给个理由？
#11
如果将园看成平面，共有6个，不难想象，平面的两侧是对称的，所以考虑一面即可，进行换位思考，可知道，每一边4个，所以是14个，不知道对不对。
#12
to:zhaotao0982() “将园看成平面，共有6个“ 为何是6个？
#13
mathe():
//球面被这些球心最多分成22个球面三角形。
我觉得空间排列用面积分割很难，不会象你解释的那样。
试想一大堆相同的球可以叉空整齐的排列在一起，是最紧密的排列形式。其中每四个球的圆心都组成正四边形。问题化成正四边形的排列，求与一个顶点临近的顶点个数。
不如找20个大小相同的乒乓球排排：）
#14
上面的好象不通，呵呵
一大堆相同的球可以叉空整齐的排列在一起，是最紧密的排列形式。其中每四个球的球心都构成正四面体。问题化成正四面体的紧密排列，求与一个顶点临近的顶点个数。
一大堆相同的球可以叉空整齐的排列在一起，是最紧密的排列形式。其中每四个球的球心都构成正四面体。问题化成正四面体的紧密排列，求与一个顶点临近的顶点个数。
#15
哈哈！我猜想是26个。信不信有你了。反正我连相似行都没有学到。
#16
上面的答案纯属胡说八道。
#17
6个
#18
有意思，我算一算
#19
绝对是14个！zhaotao0982是对的！
#20
看来我没有说明白，
将空中悬这的球的球心即为O,半径为d,
那么所有那些同它接触的球的球心都正好在O为球心，半径为2d的球上，由于这些球都不相交，所以这些球心两两间的距离都不小于2d.也就是任意两个点在球面上的连线的弧度都不小于60度。现在的任务是想办法从每个点都只同它比较接近的点通过大圆弧连接，将球面划分成若干个球面三角形，如果再安排的很紧密时，每个三角形的三条边都应该比较接近，而且每条边都大于60度，这就是我的结果的来源了。
14个点是肯定不行了，我的估计是13个点也不行（因为除了理想情况，总有部分面积被浪费了)，只是很难证明罢了。
将空中悬这的球的球心即为O,半径为d,
那么所有那些同它接触的球的球心都正好在O为球心，半径为2d的球上，由于这些球都不相交，所以这些球心两两间的距离都不小于2d.也就是任意两个点在球面上的连线的弧度都不小于60度。现在的任务是想办法从每个点都只同它比较接近的点通过大圆弧连接，将球面划分成若干个球面三角形，如果再安排的很紧密时，每个三角形的三条边都应该比较接近，而且每条边都大于60度，这就是我的结果的来源了。
14个点是肯定不行了，我的估计是13个点也不行（因为除了理想情况，总有部分面积被浪费了)，只是很难证明罢了。
#21
我收回上一句话！好难呀！
#22
最少也是14个！mathe()，为什么不能等于60度？为什么这些球都不相交？如果都相交哪？
#23
To: xilimi10
如果取三条弧度都正好为60度的弧组成球面三角形，这个球面三角形的内角是
70.528779365509308630754000660038度，即2arctan(1/sqrt(2))，而不仅仅60度，
球面同平面可不是一回事。我想zhaotao0982的14可能是将这个球面三角形的内角看成60度的来的吧
如果取三条弧度都正好为60度的弧组成球面三角形，这个球面三角形的内角是
70.528779365509308630754000660038度，即2arctan(1/sqrt(2))，而不仅仅60度，
球面同平面可不是一回事。我想zhaotao0982的14可能是将这个球面三角形的内角看成60度的来的吧
#24
画张图：
http://www.draco.cn.gs/temp/1.bmp
http://www.draco.cn.gs/temp/1.bmp
#25
To zhaotao0982() 和 ifrank
看了ifrank,我知道zhaotao0982的意思了，
不过
如果将园看成平面，共有6个，不难想象，平面的两侧是对称的，所以考虑一面即可，进行换位思考，可知道，每一边4个，所以是14个，不知道对不对。
^^^^^^^^^
每一边最多只能放下3个了，放4个总是要打架的。
看了ifrank,我知道zhaotao0982的意思了，
不过
如果将园看成平面，共有6个，不难想象，平面的两侧是对称的，所以考虑一面即可，进行换位思考，可知道，每一边4个，所以是14个，不知道对不对。
^^^^^^^^^
每一边最多只能放下3个了，放4个总是要打架的。
#26
不对不对，好像每边只能放两个了？
只有两个正对着才不会冲突？不过浪费的空间太多了。
只有两个正对着才不会冲突？不过浪费的空间太多了。
#27
先放好一圈6个，上下面叉空每边放3个没问题！至此好象已经很紧密了，每四个临近的球都相切，不会串动。好象还是12个比较保险。
#28
看了ifrank(天蓝) 的图，我明白zhaotao0982()的意思，但我觉得思路不对，怎么证明，先放好一圈，再放上下，可以达到最大数？也许球交错排列才能达到最大。同意 mathe 的思路，所有的球心在半径位 2R的球面……
#29
虽然不是证明：但每四个临近的球都彼此相切，还有什么方法比这还...
#30
to ifrank(天蓝) 不是“每四个“ ，只能证明有赤道上两个球时是相切，怎样证明南北极的四个是彼此相切呢……
#31
只看上半部分，有点象钻石的上部。
这样放的：一圈6个，间隔也有6个；每隔一个间隔放一个球。上部共放三个球，其中每个球都由一圈6个中的相临两个和中间的一个（一共三个）支撑。上部的这三个（在同一平面上）和中间的一个（一共四个）组成一个倒立的金字塔形状。用立体几何的定理可以证明他们相切。
http://www.draco.cn.gs/temp/2.bmp
这样放的：一圈6个，间隔也有6个；每隔一个间隔放一个球。上部共放三个球，其中每个球都由一圈6个中的相临两个和中间的一个（一共三个）支撑。上部的这三个（在同一平面上）和中间的一个（一共四个）组成一个倒立的金字塔形状。用立体几何的定理可以证明他们相切。
http://www.draco.cn.gs/temp/2.bmp
#32
我刚看到陈省身的一篇演讲：
如何把一定的空间装得最紧，显然是一个实际而重要的问题。项武义教授最近在这方面
做了很重要的工作。这里先介绍一个有关的问题：围着一个球，可以放几个同样大小的球？
我们不妨假定球的半径为一，即单位球。在平面情形，绕一单位圆我们显然可以放6个单
位圆。而在三维空间的情况则更为复杂。如果把单位球绕单位球相切，不难证明，12个
球是放得进的。这时虽然还剩下许多空间，但不可能放进第13个球。要证明这一结论并
不容易。当年Newton与Gregory有个讨论。Newton 说第13个球装不进，Gregory说也许
可以。这个争论长期悬而未决。一直到1953年，K.Schutte和B.L.van der Waerden才给了
一个证明。这个证明是很复杂的。
一个更自然的问题是怎样把一个立方体空间用大小相同的球装得最紧。衡量装得是否
紧凑的尺度是密度(density)，即所装的球的总的体积和立方体空间的体积的比例。
Kepler于1611年提出了一个猜想：他认为立方体的球装的密度不会大于π/(18^1/2).
项武义说他证明了这个猜想。可是有人(Gabor Fejes Toth)认为他的证明不完全，甚
至有人(Thomas L.Hales)说是错误的。"Mathematical Intelligencer"这个杂
志上(1995年),有关于这一问题的讨论，项武义有个答复。Toth 是匈牙利数学家，三代
人搞同一个课题。匈牙利数学很发达，在首都布达佩斯有个200多人的几何研究所。我不
知道几何中是否有这么多重要的问题需要这么多人去做。最年轻的Toth在“Mathematics
Reviews"中有篇关于项的文章的评论。他说项的文章有些定理没有详细的证明。天下的事
情就是这样。做重要工作有争议的时候，便产生一些有趣的现象。不过他觉得项的意思是
对的。不但项的意思是对的，甚至表示这个意思他从前也有。最近项武义抒他认为没有的
证明都有写出来了。
最主要的，我要跟大家说的是立体几何在数学中是很重要而因难的部分。即使平面几何也
可能很难。到了立体时，则更为复杂。近年来对碳60(C60)的研究显示了几何在化学中的
应用。多面体图形的几何性质对固态物理也有重大的作用。。球装不过是立体几何的一个
问题。立体几何是大有前途的。
如何把一定的空间装得最紧，显然是一个实际而重要的问题。项武义教授最近在这方面
做了很重要的工作。这里先介绍一个有关的问题：围着一个球，可以放几个同样大小的球？
我们不妨假定球的半径为一，即单位球。在平面情形，绕一单位圆我们显然可以放6个单
位圆。而在三维空间的情况则更为复杂。如果把单位球绕单位球相切，不难证明，12个
球是放得进的。这时虽然还剩下许多空间，但不可能放进第13个球。要证明这一结论并
不容易。当年Newton与Gregory有个讨论。Newton 说第13个球装不进，Gregory说也许
可以。这个争论长期悬而未决。一直到1953年，K.Schutte和B.L.van der Waerden才给了
一个证明。这个证明是很复杂的。
一个更自然的问题是怎样把一个立方体空间用大小相同的球装得最紧。衡量装得是否
紧凑的尺度是密度(density)，即所装的球的总的体积和立方体空间的体积的比例。
Kepler于1611年提出了一个猜想：他认为立方体的球装的密度不会大于π/(18^1/2).
项武义说他证明了这个猜想。可是有人(Gabor Fejes Toth)认为他的证明不完全，甚
至有人(Thomas L.Hales)说是错误的。"Mathematical Intelligencer"这个杂
志上(1995年),有关于这一问题的讨论，项武义有个答复。Toth 是匈牙利数学家，三代
人搞同一个课题。匈牙利数学很发达，在首都布达佩斯有个200多人的几何研究所。我不
知道几何中是否有这么多重要的问题需要这么多人去做。最年轻的Toth在“Mathematics
Reviews"中有篇关于项的文章的评论。他说项的文章有些定理没有详细的证明。天下的事
情就是这样。做重要工作有争议的时候，便产生一些有趣的现象。不过他觉得项的意思是
对的。不但项的意思是对的，甚至表示这个意思他从前也有。最近项武义抒他认为没有的
证明都有写出来了。
最主要的，我要跟大家说的是立体几何在数学中是很重要而因难的部分。即使平面几何也
可能很难。到了立体时，则更为复杂。近年来对碳60(C60)的研究显示了几何在化学中的
应用。多面体图形的几何性质对固态物理也有重大的作用。。球装不过是立体几何的一个
问题。立体几何是大有前途的。
#33
我想能证明最多13个球也就该满意了
#34
to ifrank(天蓝) : 有一种情况，找不到相邻四个。当南北极三个放的间隔相同，若中间一圈是1-6号球，南北两极的球都放在 12，34，56，的间隔上。那么，对于球2和3，怎样找到四个相切的球呢？ ； 就算避开这种情况，南北机放在不同间隔上，若12 ，34，56，上分别放7，8，9号很明显7，3，2加中间的球，这四个不是彼此相切，但不能说他们不相邻阿
#35
3
#36
3
#37
刚才瞎打的，难啊
#38
Bluess(布鲁斯):
你说的第二种情况确实是相邻但不相切。也许以mathe()那种方法，可以解释为小面积的浪费吧。
我想改进mathe()的方法提供这样一个思路。设中间球O的直径为2d，而且存在一个直径为6d的O的同心球LO。每个球相切于O的球在LO上有一个投影，现把这个球面圆形的投影扩大为LO的球面正六边形A。然后求证LO的球面面积不大于13倍的球面正六边形A的面积。最终是为了证明，最大只能与12个球相切。我对12比较看好：）
为什么扩大投影为球面正六边形？因为三个球面圆形两两相切是最紧密的方式。所以为了用面积进行证明就在不影响结论的情况下扩大球面圆形的面积。
http://www.draco.cn.gs/temp/3.bmp
你说的第二种情况确实是相邻但不相切。也许以mathe()那种方法，可以解释为小面积的浪费吧。
我想改进mathe()的方法提供这样一个思路。设中间球O的直径为2d，而且存在一个直径为6d的O的同心球LO。每个球相切于O的球在LO上有一个投影，现把这个球面圆形的投影扩大为LO的球面正六边形A。然后求证LO的球面面积不大于13倍的球面正六边形A的面积。最终是为了证明，最大只能与12个球相切。我对12比较看好：）
为什么扩大投影为球面正六边形？因为三个球面圆形两两相切是最紧密的方式。所以为了用面积进行证明就在不影响结论的情况下扩大球面圆形的面积。
http://www.draco.cn.gs/temp/3.bmp
#39
笔误，上面的：不大于13倍的球面正六边形A的面积
应该改为：小于13倍的球面正六边形A的面积
应该改为：小于13倍的球面正六边形A的面积
#40
即使证明也以上的结论，也还要继续证明这个：
用任意几个（当然小于等于6）与球面圆形O相同的球面圆形来外切球面圆形O的时候：所有切线组成的凸球面图形的面积都大于等于，这个球面圆形O的外切正球面六边形的面积。
用任意几个（当然小于等于6）与球面圆形O相同的球面圆形来外切球面圆形O的时候：所有切线组成的凸球面图形的面积都大于等于，这个球面圆形O的外切正球面六边形的面积。
#41
真难，高数没学好，不知如何下手
#42
to ifrank
问题是在球面上，同同一个球面圆相切的圆最多可只有5个，六个是放不下的（这同平面不同）。计算结果是每个投影到直径为6d的圆上投影的直径为3d(直线距离）也就是张角为60度（做切线就可以得到）。问题可复杂的很。
问题是在球面上，同同一个球面圆相切的圆最多可只有5个，六个是放不下的（这同平面不同）。计算结果是每个投影到直径为6d的圆上投影的直径为3d(直线距离）也就是张角为60度（做切线就可以得到）。问题可复杂的很。
#43
4+4+6=14(个)
#44
wrong,我收回
#45
mathe():
是，投影与平面不一样。看来刚才的不是有效或省力的办法，最好另谋出路了。
是，投影与平面不一样。看来刚才的不是有效或省力的办法，最好另谋出路了。
#46
比较复杂，不是我们所认为的正方形一样
可以通过数学的方式来解，设定半径为R
则相切的球半径为R+1/2R=R1
首先考虑一个平面则有
2*3.1415*(R+1/2R)/2R 个圆与其相切
等等 太复杂了。
可以通过数学的方式来解，设定半径为R
则相切的球半径为R+1/2R=R1
首先考虑一个平面则有
2*3.1415*(R+1/2R)/2R 个圆与其相切
等等 太复杂了。
#47
14个
#48
好难
#49
我收回！！！！！！！！
#50
12
#1
6个
#2
是不是6个?
#3
8
#4
9个！
#5
给8答案的朋友能说明下理由吗/
#6
12个求是没有问题的。
取边长为1的正20面体，共有12个顶点。
经计算可得，20面体顶点到中心的距离为d=0.95105651629515357211643933337938<1
如果取球的半径为d/2,
则我们可以将原球球心放在单位正20面体的中心，再将12个球的球心放在正20面体的12个顶点。这12个球的球心到原球球心的距离正好为d，所以这12个球同圆球相接触。12个球球心两两距离为1>2d,所以它们相互不相交。
取边长为1的正20面体，共有12个顶点。
经计算可得，20面体顶点到中心的距离为d=0.95105651629515357211643933337938<1
如果取球的半径为d/2,
则我们可以将原球球心放在单位正20面体的中心，再将12个球的球心放在正20面体的12个顶点。这12个球的球心到原球球心的距离正好为d，所以这12个球同圆球相接触。12个球球心两两距离为1>2d,所以它们相互不相交。
#7
可以放下12个球。
取正20面体（共12个顶点）
如果边长为1，则顶点到中心距离为0.95105651629515357211643933337938<1
或者如果顶点到中心的距离为1，则正20面体边长为1.0514622242382672120513381696958>1
容易看出放12个球没有问题了吧。能否放13个球倒是个问题，不过估计已经不能了，要证明可不容易。
取正20面体（共12个顶点）
如果边长为1，则顶点到中心距离为0.95105651629515357211643933337938<1
或者如果顶点到中心的距离为1，则正20面体边长为1.0514622242382672120513381696958>1
容易看出放12个球没有问题了吧。能否放13个球倒是个问题，不过估计已经不能了，要证明可不容易。
#8
现在我可以证明了最多是13，不过要用到球面三角形的面积公式。
如果我们讨论的球的半径为d,那么所有相接触的球的球心都在半径为2d的球上。
为方便下面的讨论，可以设2d==1.
对于三个相互相邻的球心,如果它们对应的球也两两相切，那么它们围成的球面三角形将最小（不然应该还要大一些，这是无法严格证明了）。
我们可以计算得到正四面体两个面之间夹角为2*arctan(1/sqrt(2))，也就是最小的球面三角形的三个角角度都是2*arctan(1/sqrt(2)),即三角形面积为3*(2*arctan(1/sqrt(2)))-Pi
=0.55128559843253080794214415146446.
而整个球面的面积为4*Pi,为上面极小值的22.794665142875323259999400916934倍，
所以球面被这些球心最多分成22个球面三角形。
而球面上三个点将一个球面分成2个球面三角形，以后每增加一个点，都将增加2个球面三角形，所以13个点将把一个球面分成10*2+2=22个球面三角形，14就超过了。
如果我们讨论的球的半径为d,那么所有相接触的球的球心都在半径为2d的球上。
为方便下面的讨论，可以设2d==1.
对于三个相互相邻的球心,如果它们对应的球也两两相切，那么它们围成的球面三角形将最小（不然应该还要大一些，这是无法严格证明了）。
我们可以计算得到正四面体两个面之间夹角为2*arctan(1/sqrt(2))，也就是最小的球面三角形的三个角角度都是2*arctan(1/sqrt(2)),即三角形面积为3*(2*arctan(1/sqrt(2)))-Pi
=0.55128559843253080794214415146446.
而整个球面的面积为4*Pi,为上面极小值的22.794665142875323259999400916934倍，
所以球面被这些球心最多分成22个球面三角形。
而球面上三个点将一个球面分成2个球面三角形，以后每增加一个点，都将增加2个球面三角形，所以13个点将把一个球面分成10*2+2=22个球面三角形，14就超过了。
#9
14个
#10
楼上的给个理由？
#11
如果将园看成平面，共有6个，不难想象，平面的两侧是对称的，所以考虑一面即可，进行换位思考，可知道，每一边4个，所以是14个，不知道对不对。
#12
to:zhaotao0982() “将园看成平面，共有6个“ 为何是6个？
#13
mathe():
//球面被这些球心最多分成22个球面三角形。
我觉得空间排列用面积分割很难，不会象你解释的那样。
试想一大堆相同的球可以叉空整齐的排列在一起，是最紧密的排列形式。其中每四个球的圆心都组成正四边形。问题化成正四边形的排列，求与一个顶点临近的顶点个数。
不如找20个大小相同的乒乓球排排：）
#14
上面的好象不通，呵呵
一大堆相同的球可以叉空整齐的排列在一起，是最紧密的排列形式。其中每四个球的球心都构成正四面体。问题化成正四面体的紧密排列，求与一个顶点临近的顶点个数。
一大堆相同的球可以叉空整齐的排列在一起，是最紧密的排列形式。其中每四个球的球心都构成正四面体。问题化成正四面体的紧密排列，求与一个顶点临近的顶点个数。
#15
哈哈！我猜想是26个。信不信有你了。反正我连相似行都没有学到。
#16
上面的答案纯属胡说八道。
#17
6个
#18
有意思，我算一算
#19
绝对是14个！zhaotao0982是对的！
#20
看来我没有说明白，
将空中悬这的球的球心即为O,半径为d,
那么所有那些同它接触的球的球心都正好在O为球心，半径为2d的球上，由于这些球都不相交，所以这些球心两两间的距离都不小于2d.也就是任意两个点在球面上的连线的弧度都不小于60度。现在的任务是想办法从每个点都只同它比较接近的点通过大圆弧连接，将球面划分成若干个球面三角形，如果再安排的很紧密时，每个三角形的三条边都应该比较接近，而且每条边都大于60度，这就是我的结果的来源了。
14个点是肯定不行了，我的估计是13个点也不行（因为除了理想情况，总有部分面积被浪费了)，只是很难证明罢了。
将空中悬这的球的球心即为O,半径为d,
那么所有那些同它接触的球的球心都正好在O为球心，半径为2d的球上，由于这些球都不相交，所以这些球心两两间的距离都不小于2d.也就是任意两个点在球面上的连线的弧度都不小于60度。现在的任务是想办法从每个点都只同它比较接近的点通过大圆弧连接，将球面划分成若干个球面三角形，如果再安排的很紧密时，每个三角形的三条边都应该比较接近，而且每条边都大于60度，这就是我的结果的来源了。
14个点是肯定不行了，我的估计是13个点也不行（因为除了理想情况，总有部分面积被浪费了)，只是很难证明罢了。
#21
我收回上一句话！好难呀！
#22
最少也是14个！mathe()，为什么不能等于60度？为什么这些球都不相交？如果都相交哪？
#23
To: xilimi10
如果取三条弧度都正好为60度的弧组成球面三角形，这个球面三角形的内角是
70.528779365509308630754000660038度，即2arctan(1/sqrt(2))，而不仅仅60度，
球面同平面可不是一回事。我想zhaotao0982的14可能是将这个球面三角形的内角看成60度的来的吧
如果取三条弧度都正好为60度的弧组成球面三角形，这个球面三角形的内角是
70.528779365509308630754000660038度，即2arctan(1/sqrt(2))，而不仅仅60度，
球面同平面可不是一回事。我想zhaotao0982的14可能是将这个球面三角形的内角看成60度的来的吧
#24
画张图：
http://www.draco.cn.gs/temp/1.bmp
http://www.draco.cn.gs/temp/1.bmp
#25
To zhaotao0982() 和 ifrank
看了ifrank,我知道zhaotao0982的意思了，
不过
如果将园看成平面，共有6个，不难想象，平面的两侧是对称的，所以考虑一面即可，进行换位思考，可知道，每一边4个，所以是14个，不知道对不对。
^^^^^^^^^
每一边最多只能放下3个了，放4个总是要打架的。
看了ifrank,我知道zhaotao0982的意思了，
不过
如果将园看成平面，共有6个，不难想象，平面的两侧是对称的，所以考虑一面即可，进行换位思考，可知道，每一边4个，所以是14个，不知道对不对。
^^^^^^^^^
每一边最多只能放下3个了，放4个总是要打架的。
#26
不对不对，好像每边只能放两个了？
只有两个正对着才不会冲突？不过浪费的空间太多了。
只有两个正对着才不会冲突？不过浪费的空间太多了。
#27
先放好一圈6个，上下面叉空每边放3个没问题！至此好象已经很紧密了，每四个临近的球都相切，不会串动。好象还是12个比较保险。
#28
看了ifrank(天蓝) 的图，我明白zhaotao0982()的意思，但我觉得思路不对，怎么证明，先放好一圈，再放上下，可以达到最大数？也许球交错排列才能达到最大。同意 mathe 的思路，所有的球心在半径位 2R的球面……
#29
虽然不是证明：但每四个临近的球都彼此相切，还有什么方法比这还...
#30
to ifrank(天蓝) 不是“每四个“ ，只能证明有赤道上两个球时是相切，怎样证明南北极的四个是彼此相切呢……
#31
只看上半部分，有点象钻石的上部。
这样放的：一圈6个，间隔也有6个；每隔一个间隔放一个球。上部共放三个球，其中每个球都由一圈6个中的相临两个和中间的一个（一共三个）支撑。上部的这三个（在同一平面上）和中间的一个（一共四个）组成一个倒立的金字塔形状。用立体几何的定理可以证明他们相切。
http://www.draco.cn.gs/temp/2.bmp
这样放的：一圈6个，间隔也有6个；每隔一个间隔放一个球。上部共放三个球，其中每个球都由一圈6个中的相临两个和中间的一个（一共三个）支撑。上部的这三个（在同一平面上）和中间的一个（一共四个）组成一个倒立的金字塔形状。用立体几何的定理可以证明他们相切。
http://www.draco.cn.gs/temp/2.bmp
#32
我刚看到陈省身的一篇演讲：
如何把一定的空间装得最紧，显然是一个实际而重要的问题。项武义教授最近在这方面
做了很重要的工作。这里先介绍一个有关的问题：围着一个球，可以放几个同样大小的球？
我们不妨假定球的半径为一，即单位球。在平面情形，绕一单位圆我们显然可以放6个单
位圆。而在三维空间的情况则更为复杂。如果把单位球绕单位球相切，不难证明，12个
球是放得进的。这时虽然还剩下许多空间，但不可能放进第13个球。要证明这一结论并
不容易。当年Newton与Gregory有个讨论。Newton 说第13个球装不进，Gregory说也许
可以。这个争论长期悬而未决。一直到1953年，K.Schutte和B.L.van der Waerden才给了
一个证明。这个证明是很复杂的。
一个更自然的问题是怎样把一个立方体空间用大小相同的球装得最紧。衡量装得是否
紧凑的尺度是密度(density)，即所装的球的总的体积和立方体空间的体积的比例。
Kepler于1611年提出了一个猜想：他认为立方体的球装的密度不会大于π/(18^1/2).
项武义说他证明了这个猜想。可是有人(Gabor Fejes Toth)认为他的证明不完全，甚
至有人(Thomas L.Hales)说是错误的。"Mathematical Intelligencer"这个杂
志上(1995年),有关于这一问题的讨论，项武义有个答复。Toth 是匈牙利数学家，三代
人搞同一个课题。匈牙利数学很发达，在首都布达佩斯有个200多人的几何研究所。我不
知道几何中是否有这么多重要的问题需要这么多人去做。最年轻的Toth在“Mathematics
Reviews"中有篇关于项的文章的评论。他说项的文章有些定理没有详细的证明。天下的事
情就是这样。做重要工作有争议的时候，便产生一些有趣的现象。不过他觉得项的意思是
对的。不但项的意思是对的，甚至表示这个意思他从前也有。最近项武义抒他认为没有的
证明都有写出来了。
最主要的，我要跟大家说的是立体几何在数学中是很重要而因难的部分。即使平面几何也
可能很难。到了立体时，则更为复杂。近年来对碳60(C60)的研究显示了几何在化学中的
应用。多面体图形的几何性质对固态物理也有重大的作用。。球装不过是立体几何的一个
问题。立体几何是大有前途的。
如何把一定的空间装得最紧，显然是一个实际而重要的问题。项武义教授最近在这方面
做了很重要的工作。这里先介绍一个有关的问题：围着一个球，可以放几个同样大小的球？
我们不妨假定球的半径为一，即单位球。在平面情形，绕一单位圆我们显然可以放6个单
位圆。而在三维空间的情况则更为复杂。如果把单位球绕单位球相切，不难证明，12个
球是放得进的。这时虽然还剩下许多空间，但不可能放进第13个球。要证明这一结论并
不容易。当年Newton与Gregory有个讨论。Newton 说第13个球装不进，Gregory说也许
可以。这个争论长期悬而未决。一直到1953年，K.Schutte和B.L.van der Waerden才给了
一个证明。这个证明是很复杂的。
一个更自然的问题是怎样把一个立方体空间用大小相同的球装得最紧。衡量装得是否
紧凑的尺度是密度(density)，即所装的球的总的体积和立方体空间的体积的比例。
Kepler于1611年提出了一个猜想：他认为立方体的球装的密度不会大于π/(18^1/2).
项武义说他证明了这个猜想。可是有人(Gabor Fejes Toth)认为他的证明不完全，甚
至有人(Thomas L.Hales)说是错误的。"Mathematical Intelligencer"这个杂
志上(1995年),有关于这一问题的讨论，项武义有个答复。Toth 是匈牙利数学家，三代
人搞同一个课题。匈牙利数学很发达，在首都布达佩斯有个200多人的几何研究所。我不
知道几何中是否有这么多重要的问题需要这么多人去做。最年轻的Toth在“Mathematics
Reviews"中有篇关于项的文章的评论。他说项的文章有些定理没有详细的证明。天下的事
情就是这样。做重要工作有争议的时候，便产生一些有趣的现象。不过他觉得项的意思是
对的。不但项的意思是对的，甚至表示这个意思他从前也有。最近项武义抒他认为没有的
证明都有写出来了。
最主要的，我要跟大家说的是立体几何在数学中是很重要而因难的部分。即使平面几何也
可能很难。到了立体时，则更为复杂。近年来对碳60(C60)的研究显示了几何在化学中的
应用。多面体图形的几何性质对固态物理也有重大的作用。。球装不过是立体几何的一个
问题。立体几何是大有前途的。
#33
我想能证明最多13个球也就该满意了
#34
to ifrank(天蓝) : 有一种情况，找不到相邻四个。当南北极三个放的间隔相同，若中间一圈是1-6号球，南北两极的球都放在 12，34，56，的间隔上。那么，对于球2和3，怎样找到四个相切的球呢？ ； 就算避开这种情况，南北机放在不同间隔上，若12 ，34，56，上分别放7，8，9号很明显7，3，2加中间的球，这四个不是彼此相切，但不能说他们不相邻阿
#35
3
#36
3
#37
刚才瞎打的，难啊
#38
Bluess(布鲁斯):
你说的第二种情况确实是相邻但不相切。也许以mathe()那种方法，可以解释为小面积的浪费吧。
我想改进mathe()的方法提供这样一个思路。设中间球O的直径为2d，而且存在一个直径为6d的O的同心球LO。每个球相切于O的球在LO上有一个投影，现把这个球面圆形的投影扩大为LO的球面正六边形A。然后求证LO的球面面积不大于13倍的球面正六边形A的面积。最终是为了证明，最大只能与12个球相切。我对12比较看好：）
为什么扩大投影为球面正六边形？因为三个球面圆形两两相切是最紧密的方式。所以为了用面积进行证明就在不影响结论的情况下扩大球面圆形的面积。
http://www.draco.cn.gs/temp/3.bmp
你说的第二种情况确实是相邻但不相切。也许以mathe()那种方法，可以解释为小面积的浪费吧。
我想改进mathe()的方法提供这样一个思路。设中间球O的直径为2d，而且存在一个直径为6d的O的同心球LO。每个球相切于O的球在LO上有一个投影，现把这个球面圆形的投影扩大为LO的球面正六边形A。然后求证LO的球面面积不大于13倍的球面正六边形A的面积。最终是为了证明，最大只能与12个球相切。我对12比较看好：）
为什么扩大投影为球面正六边形？因为三个球面圆形两两相切是最紧密的方式。所以为了用面积进行证明就在不影响结论的情况下扩大球面圆形的面积。
http://www.draco.cn.gs/temp/3.bmp
#39
笔误，上面的：不大于13倍的球面正六边形A的面积
应该改为：小于13倍的球面正六边形A的面积
应该改为：小于13倍的球面正六边形A的面积
#40
即使证明也以上的结论，也还要继续证明这个：
用任意几个（当然小于等于6）与球面圆形O相同的球面圆形来外切球面圆形O的时候：所有切线组成的凸球面图形的面积都大于等于，这个球面圆形O的外切正球面六边形的面积。
用任意几个（当然小于等于6）与球面圆形O相同的球面圆形来外切球面圆形O的时候：所有切线组成的凸球面图形的面积都大于等于，这个球面圆形O的外切正球面六边形的面积。
#41
真难，高数没学好，不知如何下手
#42
to ifrank
问题是在球面上，同同一个球面圆相切的圆最多可只有5个，六个是放不下的（这同平面不同）。计算结果是每个投影到直径为6d的圆上投影的直径为3d(直线距离）也就是张角为60度（做切线就可以得到）。问题可复杂的很。
问题是在球面上，同同一个球面圆相切的圆最多可只有5个，六个是放不下的（这同平面不同）。计算结果是每个投影到直径为6d的圆上投影的直径为3d(直线距离）也就是张角为60度（做切线就可以得到）。问题可复杂的很。
#43
4+4+6=14(个)
#44
wrong,我收回
#45
mathe():
是，投影与平面不一样。看来刚才的不是有效或省力的办法，最好另谋出路了。
是，投影与平面不一样。看来刚才的不是有效或省力的办法，最好另谋出路了。
#46
比较复杂，不是我们所认为的正方形一样
可以通过数学的方式来解，设定半径为R
则相切的球半径为R+1/2R=R1
首先考虑一个平面则有
2*3.1415*(R+1/2R)/2R 个圆与其相切
等等 太复杂了。
可以通过数学的方式来解，设定半径为R
则相切的球半径为R+1/2R=R1
首先考虑一个平面则有
2*3.1415*(R+1/2R)/2R 个圆与其相切
等等 太复杂了。
#47
14个
#48
好难
#49
我收回！！！！！！！！
#50
12