机器学习算法与Python实践之（四）支持向量机（SVM）实现

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机器学习算法与Python实践这个系列主要是参考《机器学习实战》这本书。因为自己想学习Python，然后也想对一些机器学习算法加深下了解，所以就想通过Python来实现几个比较常用的机器学习算法。恰好遇见这本同样定位的书籍，所以就参考这本书的过程来学习了。

在这一节我们主要是对支持向量机进行系统的回顾，以及通过Python来实现。由于内容很多，所以这里分成三篇博文。第一篇讲SVM初级，第二篇讲进阶，主要是把SVM整条知识链理直，第三篇介绍Python的实现。SVM有很多介绍的非常好的博文，具体可以参考本文列出的参考文献和推荐阅读资料。在本文中，定位在于把集大成于一身的SVM的整体知识链理直，所以不会涉及细节的推导。网上的解说的很好的推导和书籍很多，大家可以进一步参考。

目录

一、引入

二、线性可分SVM与硬间隔最大化

三、Dual优化问题

3.1、对偶问题

3.2、SVM优化的对偶问题

四、松弛向量与软间隔最大化

五、核函数

六、多类分类之SVM

6.1、“一对多”的方法

6.2、“一对一”的方法

七、KKT条件分析

八、SVM的实现之SMO算法

8.1、坐标下降算法

8.2、SMO算法原理

8.3、SMO算法的Python实现

九、参考文献与推荐阅读

八、SVM的实现之SMO算法

终于到SVM的实现部分了。那么神奇和有效的东西还得回归到实现才可以展示其强大的功力。SVM有效而且存在很高效的训练算法，这也是工业界非常青睐SVM的原因。

前面讲到，SVM的学习问题可以转化为下面的对偶问题：

需要满足的KKT条件：

也就是说找到一组α_i可以满足上面的这些条件的就是该目标的一个最优解。所以我们的优化目标是找到一组最优的α_i*。一旦求出这些α_i*，就很容易计算出权重向量w*和b，并得到分隔超平面了。

这是个凸二次规划问题，它具有全局最优解，一般可以通过现有的工具来优化。但当训练样本非常多的时候，这些优化算法往往非常耗时低效，以致无法使用。从SVM提出到现在，也出现了很多优化训练的方法。其中，非常出名的一个是1982年由Microsoft Research的John C. Platt在论文《Sequential Minimal Optimization: A Fast Algorithm for TrainingSupport Vector Machines》中提出的Sequential Minimal Optimization序列最小化优化算法，简称SMO算法。SMO算法的思想很简单，它将大优化的问题分解成多个小优化的问题。这些小问题往往比较容易求解，并且对他们进行顺序求解的结果与将他们作为整体来求解的结果完全一致。在结果完全一致的同时，SMO的求解时间短很多。在深入SMO算法之前，我们先来了解下坐标下降这个算法，SMO其实基于这种简单的思想的。

8.1、坐标下降（上升）法

假设要求解下面的优化问题：

在这里，我们需要求解m个变量α_i，一般来说是通过梯度下降（这里是求最大值，所以应该叫上升）等算法每一次迭代对所有m个变量α_i也就是α向量进行一次性优化。通过误差每次迭代调整α向量中每个元素的值。而坐标上升法（坐标上升与坐标下降可以看做是一对，坐标上升是用来求解max最优化问题，坐标下降用于求min最优化问题）的思想是每次迭代只调整一个变量α_i的值，其他变量的值在这次迭代中固定不变。

最里面语句的意思是固定除α_i之外的所有α_j(i不等于j)，这时W可看作只是关于α_i的函数，那么直接对α_i求导优化即可。这里我们进行最大化求导的顺序i是从1到m，可以通过更改优化顺序来使W能够更快地增加并收敛。如果W在内循环中能够很快地达到最优，那么坐标上升法会是一个很高效的求极值方法。

用个二维的例子来说明下坐标下降法：我们需要寻找f(x,y)=x²+xy+y²的最小值处的(x*, y*)，也就是下图的F*点的地方。

假设我们初始的点是A（图是函数投影到xoy平面的等高线图，颜色越深值越小），我们需要达到F*的地方。那最快的方法就是图中黄色线的路径，一次性就到达了，其实这个是牛顿优化法，但如果是高维的话，这个方法就不太高效了（因为需要求解矩阵的逆，这个不在这里讨论）。我们也可以按照红色所指示的路径来走。从A开始，先固定x，沿着y轴往让f(x, y)值减小的方向走到B点，然后固定y，沿着x轴往让f(x, y)值减小的方向走到C点，不断循环，直到到达F*。反正每次只要我们都往让f(x, y)值小的地方走就行了，这样脚踏实地，一步步走，每一步都使f(x, y)慢慢变小，总有一天，皇天不负有心人的。到达F*也是时间问题。到这里你可能会说，这红色线比黄色线贫富差距也太严重了吧。因为这里是二维的简单的情况嘛。如果是高维的情况，而且目标函数很复杂的话，再加上样本集很多，那么在梯度下降中，目标函数对所有α_i求梯度或者在牛顿法中对矩阵求逆，都是很耗时的。这时候，如果W只对单个α_i优化很快的时候，坐标下降法可能会更加高效。

8.2、SMO算法

SMO算法的思想和坐标下降法的思想差不多。唯一不同的是，SMO是一次迭代优化两个α而不是一个。为什么要优化两个呢？

我们回到这个优化问题。我们可以看到这个优化问题存在着一个约束，也就是

假设我们首先固定除α₁以外的所有参数，然后在α₁上求极值。但需要注意的是，因为如果固定α₁以外的所有参数，由上面这个约束条件可以知道，α₁将不再是变量（可以由其他值推出），因为问题中规定了：

因此，我们需要一次选取两个参数做优化，比如α_i和α_j，此时α_i可以由α_j和其他参数表示出来。这样回代入W中，W就只是关于α_j的函数了，这时候就可以只对α_j进行优化了。在这里就是对α_j进行求导，令导数为0就可以解出这个时候最优的α_j了。然后也可以得到α_i。这就是一次的迭代过程，一次迭代只调整两个拉格朗日乘子α_i和α_j。SMO之所以高效就是因为在固定其他参数后，对一个参数优化过程很高效（对一个参数的优化可以通过解析求解，而不是迭代。虽然对一个参数的一次最小优化不可能保证其结果就是所优化的拉格朗日乘子的最终结果，但会使目标函数向极小值迈进一步，这样对所有的乘子做最小优化，直到所有满足KKT条件时，目标函数达到最小）。

总结下来是：

重复下面过程直到收敛{

（1）选择两个拉格朗日乘子α_i和α_j；

（2）固定其他拉格朗日乘子α_k(k不等于i和j)，只对α_i和α_j优化w(α);

（3）根据优化后的α_i和α_j，更新截距b的值；

}

那训练里面这两三步骤到底是怎么实现的，需要考虑什么呢？下面我们来具体分析下：

（1）选择α_i和α_j：

我们现在是每次迭代都优化目标函数的两个拉格朗日乘子α_i和α_j，然后其他的拉格朗日乘子保持固定。如果有N个训练样本，我们就有N个拉格朗日乘子需要优化，但每次我们只挑两个进行优化，我们就有N(N-1)种选择。那到底我们要选择哪对α_i和α_j呢？选择哪对才好呢？想想我们的目标是什么？我们希望把所有违法KKT条件的样本都纠正回来，因为如果所有样本都满足KKT条件的话，我们的优化就完成了。那就很直观了，哪个害群之马最严重，我们得先对他进行思想教育，让他尽早回归正途。OK，那我们选择的第一个变量α_i就选违法KKT条件最严重的那一个。那第二个变量α_j怎么选呢？

我们是希望快点找到最优的N个拉格朗日乘子，使得代价函数最大，换句话说，要最快的找到代价函数最大值的地方对应的N个拉格朗日乘子。这样我们的训练时间才会短。就像你从广州去北京，有飞机和绿皮车给你选，你选啥？（就算你不考虑速度，也得考虑下空姐的感受嘛，别辜负了她们渴望看到你的期盼，哈哈）。有点离题了，anyway，每次迭代中，哪对α_i和α_j可以让我更快的达到代价函数值最大的地方，我们就选他们。或者说，走完这一步，选这对α_i和α_j代价函数值增加的值最多，比选择其他所有α_i和α_j的结合中都多。这样我们才可以更快的接近代价函数的最大值，也就是达到优化的目标了。再例如，下图，我们要从A点走到B点，按蓝色的路线走c2方向的时候，一跨一大步，按红色的路线走c1方向的时候，只能是人类的一小步。所以，蓝色路线走两步就迈进了成功之门，而红色的路线，人生曲折，好像成功遥遥无期一样，故曰，选择比努力更重要！

真啰嗦！说了半天，其实就一句话：为什么每次迭代都要选择最好的α_i和α_j，就是为了更快的收敛！那实践中每次迭代到底要怎样选α_i和α_j呢？这有个很好听的名字叫启发式选择，主要思想是先选择最有可能需要优化（也就是违反KKT条件最严重）的α_i，再针对这样的α_i选择最有可能取得较大修正步长的α_j。具体是以下两个过程：

1）第一个变量α_i的选择：

SMO称选择第一个变量的过程为外层循环。外层训练在训练样本中选取违法KKT条件最严重的样本点。并将其对应的变量作为第一个变量。具体的，检验训练样本(x_i, y_i)是否满足KKT条件，也就是：

该检验是在ε范围内进行的。在检验过程中，外层循环首先遍历所有满足条件0<α_j<C的样本点，即在间隔边界上的支持向量点，检验他们是否满足KKT条件，然后选择违反KKT条件最严重的α_i。如果这些样本点都满足KKT条件，那么遍历整个训练集，检验他们是否满足KKT条件，然后选择违反KKT条件最严重的α_i。

优先选择遍历非边界数据样本，因为非边界数据样本更有可能需要调整，边界数据样本常常不能得到进一步调整而留在边界上。由于大部分数据样本都很明显不可能是支持向量，因此对应的α乘子一旦取得零值就无需再调整。遍历非边界数据样本并选出他们当中违反KKT 条件为止。当某一次遍历发现没有非边界数据样本得到调整时，遍历所有数据样本，以检验是否整个集合都满足KKT条件。如果整个集合的检验中又有数据样本被进一步进化，则有必要再遍历非边界数据样本。这样，不停地在遍历所有数据样本和遍历非边界数据样本之间切换，直到整个样本集合都满足KKT条件为止。以上用KKT条件对数据样本所做的检验都以达到一定精度ε就可以停止为条件。如果要求十分精确的输出算法，则往往不能很快收敛。

对整个数据集的遍历扫描相当容易，而实现对非边界α_i的扫描时，首先需要将所有非边界样本的α_i值（也就是满足0<α_i<C）保存到新的一个列表中，然后再对其进行遍历。同时，该步骤跳过那些已知的不会改变的α_i值。

2）第二个变量α_j的选择：

在选择第一个α_i后，算法会通过一个内循环来选择第二个α_j值。因为第二个乘子的迭代步长大致正比于|E_i-E_j|，所以我们需要选择能够最大化|E_i-E_j|的第二个乘子（选择最大化迭代步长的第二个乘子）。在这里，为了节省计算时间，我们建立一个全局的缓存用于保存所有样本的误差值，而不用每次选择的时候就重新计算。我们从中选择使得步长最大或者|E_i-E_j|最大的α_j。

（2）优化α_i和α_j：

选择这两个拉格朗日乘子后，我们需要先计算这些参数的约束值。然后再求解这个约束最大化问题。

首先，我们需要给α_j找到边界L<=α_j<=H，以保证α_j满足0<=α_j<=C的约束。这意味着α_j必须落入这个盒子中。由于只有两个变量(α_i, α_j)，约束可以用二维空间中的图形来表示，如下图：

不等式约束使得(α_i,α_j)在盒子[0, C]x[0, C]内，等式约束使得(α_i, α_j)在平行于盒子[0, C]x[0, C]的对角线的直线上。因此要求的是目标函数在一条平行于对角线的线段上的最优值。这使得两个变量的最优化问题成为实质的单变量的最优化问题。由图可以得到，α_j的上下界可以通过下面的方法得到：

我们优化的时候，α_j必须要满足上面这个约束。也就是说上面是α_j的可行域。然后我们开始寻找α_j，使得目标函数最大化。通过推导得到α_j的更新公式如下：

这里E_k可以看做对第k个样本，SVM的输出与期待输出，也就是样本标签的误差。

而η实际上是度量两个样本i和j的相似性的。在计算η的时候，我们需要使用核函数，那么就可以用核函数来取代上面的内积。

得到新的α_j后，我们需要保证它处于边界内。换句话说，如果这个优化后的值跑出了边界L和H，我们就需要简单的裁剪，将α_j收回这个范围：

最后，得到优化的α_j后，我们需要用它来计算α_i：

到这里，α_i和α_j的优化就完成了。

（3）计算阈值b：

优化α_i和α_j后，我们就可以更新阈值b，使得对两个样本i和j都满足KKT条件。如果优化后α_i不在边界上（也就是满足0<α_i<C，这时候根据KKT条件，可以得到y_ig_i(x_i)=1，这样我们才可以计算b），那下面的阈值b1是有效的，因为当输入x_i时它迫使SVM输出y_i。

同样，如果0<α_j<C，那么下面的b2也是有效的：

如果0<α_i<C和0<α_j<C都满足，那么b1和b2都有效，而且他们是相等的。如果他们两个都处于边界上（也就是α_i=0或者α_i=C，同时α_j=0或者α_j=C），那么在b1和b2之间的阈值都满足KKT条件，一般我们取他们的平均值b=(b1+b2)/2。所以，总的来说对b的更新如下：

每做完一次最小优化，必须更新每个数据样本的误差，以便用修正过的分类面对其他数据样本再做检验，在选择第二个配对优化数据样本时用来估计步长。

（4）凸优化问题终止条件：

SMO算法的基本思路是：如果说有变量的解都满足此最优化问题的KKT条件，那么这个最优化问题的解就得到了。因为KKT条件是该最优化问题的充分必要条件（证明请参考文献）。所以我们可以监视原问题的KKT条件，所以所有的样本都满足KKT条件，那么就表示迭代结束了。但是由于KKT条件本身是比较苛刻的，所以也需要设定一个容忍值，即所有样本在容忍值范围内满足KKT条件则认为训练可以结束；当然了，对于对偶问题的凸优化还有其他终止条件，可以参考文献。

8.3、SMO算法的Python实现

8.3.1、Python的准备工作

我使用的Python是2.7.5版本的。附加的库有Numpy和Matplotlib。而Matplotlib又依赖dateutil和pyparsing两个库，所以我们需要安装以上三个库。前面两个库还好安装，直接在官网下对应版本就行。但我找后两个库的时候，就没那么容易了。后来发现，其实对Python的库的下载和安装可以借助pip工具的。这个是安装和管理Python包的工具。感觉它有点像ubuntu的apt-get，需要安装什么库，直接下载和安装一条龙服务。

首先，我们需要到pip的官网：https://pypi.python.org/pypi/pip下载对应我们python版本的pip，例如我的是pip-1.4.1.tar.gz。但安装pip需要另一个工具，也就是setuptools，我们到https://pypi.python.org/pypi/setuptools/#windows下载ez_setup.py这个文件回来。然后在CMD命令行中执行：（注意他们的路径）

#python ez_setup.py

这时候，就会自动下载.egg等等文件然后安装完成。

然后我们解压pip-1.4.1.tar.gz。进入到该目录中，执行：

#python setup.py install

这时候就会自动安装pip到你python目录下的Scripts文件夹中。我的是C:\Python27\Scripts。

在里面我们可以看到pip.exe，然后我们进入到该文件夹中：

#cd C:\Python27\Scripts

#pip install dateutil

#pip install pyparsing

这样就可以把这些额外的库给下载回来了。非常高端大气上档次！

8.3.2、SMO算法的Python实现

在代码中已经有了比较详细的注释了。不知道有没有错误的地方，如果有，还望大家指正（每次的运行结果都有可能不同，另外，感觉有些结果似乎不太正确，但我还没发现哪里出错了，如果大家找到有错误的地方，还望大家指点下，衷心感谢）。里面我写了个可视化结果的函数，但只能在二维的数据上面使用。直接贴代码：

SVM.py

1. #################################################
2. # SVM: support vector machine
3. # Author : zouxy
4. # Date   : 2013-12-12
5. # HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09
6. # Email  : [e-mail]
7. #################################################
8. from numpy import *
9. import time
10. import matplotlib.pyplot as plt
11. # calulate kernel value
12. def calcKernelValue(matrix_x, sample_x, kernelOption):
13. kernelType = kernelOption[0]
14. numSamples = matrix_x.shape[0]
15. kernelValue = mat(zeros((numSamples, 1)))
16. if kernelType == 'linear':
17. kernelValue = matrix_x * sample_x.T
18. elif kernelType == 'rbf':
19. sigma = kernelOption[1]
20. if sigma == 0:
21. sigma = 1.0
22. for i in xrange(numSamples):
23. diff = matrix_x[i, :] - sample_x
24. kernelValue[i] = exp(diff * diff.T / (-2.0 * sigma**2))
25. else:
26. raise NameError('Not support kernel type! You can use linear or rbf!')
27. return kernelValue
28. # calculate kernel matrix given train set and kernel type
29. def calcKernelMatrix(train_x, kernelOption):
30. numSamples = train_x.shape[0]
31. kernelMatrix = mat(zeros((numSamples, numSamples)))
32. for i in xrange(numSamples):
33. kernelMatrix[:, i] = calcKernelValue(train_x, train_x[i, :], kernelOption)
34. return kernelMatrix
35. # define a struct just for storing variables and data
36. class SVMStruct:
37. def __init__(self, dataSet, labels, C, toler, kernelOption):
38. self.train_x = dataSet # each row stands for a sample
39. self.train_y = labels  # corresponding label
40. self.C = C             # slack variable
41. self.toler = toler     # termination condition for iteration
42. self.numSamples = dataSet.shape[0] # number of samples
43. self.alphas = mat(zeros((self.numSamples, 1))) # Lagrange factors for all samples
44. self.b = 0
45. self.errorCache = mat(zeros((self.numSamples, 2)))
46. self.kernelOpt = kernelOption
47. self.kernelMat = calcKernelMatrix(self.train_x, self.kernelOpt)
48. # calculate the error for alpha k
49. def calcError(svm, alpha_k):
50. output_k = float(multiply(svm.alphas, svm.train_y).T * svm.kernelMat[:, alpha_k] + svm.b)
51. error_k = output_k - float(svm.train_y[alpha_k])
52. return error_k
53. # update the error cache for alpha k after optimize alpha k
54. def updateError(svm, alpha_k):
55. error = calcError(svm, alpha_k)
56. svm.errorCache[alpha_k] = [1, error]
57. # select alpha j which has the biggest step
58. def selectAlpha_j(svm, alpha_i, error_i):
59. svm.errorCache[alpha_i] = [1, error_i] # mark as valid(has been optimized)
60. candidateAlphaList = nonzero(svm.errorCache[:, 0].A)[0] # mat.A return array
61. maxStep = 0; alpha_j = 0; error_j = 0
62. # find the alpha with max iterative step
63. if len(candidateAlphaList) > 1:
64. for alpha_k in candidateAlphaList:
65. if alpha_k == alpha_i:
66. continue
67. error_k = calcError(svm, alpha_k)
68. if abs(error_k - error_i) > maxStep:
69. maxStep = abs(error_k - error_i)
70. alpha_j = alpha_k
71. error_j = error_k
72. # if came in this loop first time, we select alpha j randomly
73. else:
74. alpha_j = alpha_i
75. while alpha_j == alpha_i:
76. alpha_j = int(random.uniform(0, svm.numSamples))
77. error_j = calcError(svm, alpha_j)
78. return alpha_j, error_j
79. # the inner loop for optimizing alpha i and alpha j
80. def innerLoop(svm, alpha_i):
81. error_i = calcError(svm, alpha_i)
82. ### check and pick up the alpha who violates the KKT condition
83. ## satisfy KKT condition
84. # 1) yi*f(i) >= 1 and alpha == 0 (outside the boundary)
85. # 2) yi*f(i) == 1 and 0<alpha< C (on the boundary)
86. # 3) yi*f(i) <= 1 and alpha == C (between the boundary)
87. ## violate KKT condition
88. # because y[i]*E_i = y[i]*f(i) - y[i]^2 = y[i]*f(i) - 1, so
89. # 1) if y[i]*E_i < 0, so yi*f(i) < 1, if alpha < C, violate!(alpha = C will be correct)
90. # 2) if y[i]*E_i > 0, so yi*f(i) > 1, if alpha > 0, violate!(alpha = 0 will be correct)
91. # 3) if y[i]*E_i = 0, so yi*f(i) = 1, it is on the boundary, needless optimized
92. if (svm.train_y[alpha_i] * error_i < -svm.toler) and (svm.alphas[alpha_i] < svm.C) or\
93. (svm.train_y[alpha_i] * error_i > svm.toler) and (svm.alphas[alpha_i] > 0):
94. # step 1: select alpha j
95. alpha_j, error_j = selectAlpha_j(svm, alpha_i, error_i)
96. alpha_i_old = svm.alphas[alpha_i].copy()
97. alpha_j_old = svm.alphas[alpha_j].copy()
98. # step 2: calculate the boundary L and H for alpha j
99. if svm.train_y[alpha_i] != svm.train_y[alpha_j]:
100. L = max(0, svm.alphas[alpha_j] - svm.alphas[alpha_i])
101. H = min(svm.C, svm.C + svm.alphas[alpha_j] - svm.alphas[alpha_i])
102. else:
103. L = max(0, svm.alphas[alpha_j] + svm.alphas[alpha_i] - svm.C)
104. H = min(svm.C, svm.alphas[alpha_j] + svm.alphas[alpha_i])
105. if L == H:
106. return 0
107. # step 3: calculate eta (the similarity of sample i and j)
108. eta = 2.0 * svm.kernelMat[alpha_i, alpha_j] - svm.kernelMat[alpha_i, alpha_i] \
109. - svm.kernelMat[alpha_j, alpha_j]
110. if eta >= 0:
111. return 0
112. # step 4: update alpha j
113. svm.alphas[alpha_j] -= svm.train_y[alpha_j] * (error_i - error_j) / eta
114. # step 5: clip alpha j
115. if svm.alphas[alpha_j] > H:
116. svm.alphas[alpha_j] = H
117. if svm.alphas[alpha_j] < L:
118. svm.alphas[alpha_j] = L
119. # step 6: if alpha j not moving enough, just return
120. if abs(alpha_j_old - svm.alphas[alpha_j]) < 0.00001:
121. updateError(svm, alpha_j)
122. return 0
123. # step 7: update alpha i after optimizing aipha j
124. svm.alphas[alpha_i] += svm.train_y[alpha_i] * svm.train_y[alpha_j] \
125. * (alpha_j_old - svm.alphas[alpha_j])
126. # step 8: update threshold b
127. b1 = svm.b - error_i - svm.train_y[alpha_i] * (svm.alphas[alpha_i] - alpha_i_old) \
128. * svm.kernelMat[alpha_i, alpha_i] \
129. - svm.train_y[alpha_j] * (svm.alphas[alpha_j] - alpha_j_old) \
130. * svm.kernelMat[alpha_i, alpha_j]
131. b2 = svm.b - error_j - svm.train_y[alpha_i] * (svm.alphas[alpha_i] - alpha_i_old) \
132. * svm.kernelMat[alpha_i, alpha_j] \
133. - svm.train_y[alpha_j] * (svm.alphas[alpha_j] - alpha_j_old) \
134. * svm.kernelMat[alpha_j, alpha_j]
135. if (0 < svm.alphas[alpha_i]) and (svm.alphas[alpha_i] < svm.C):
136. svm.b = b1
137. elif (0 < svm.alphas[alpha_j]) and (svm.alphas[alpha_j] < svm.C):
138. svm.b = b2
139. else:
140. svm.b = (b1 + b2) / 2.0
141. # step 9: update error cache for alpha i, j after optimize alpha i, j and b
142. updateError(svm, alpha_j)
143. updateError(svm, alpha_i)
144. return 1
145. else:
146. return 0
147. # the main training procedure
148. def trainSVM(train_x, train_y, C, toler, maxIter, kernelOption = ('rbf', 1.0)):
149. # calculate training time
150. startTime = time.time()
151. # init data struct for svm
152. svm = SVMStruct(mat(train_x), mat(train_y), C, toler, kernelOption)
153. # start training
154. entireSet = True
155. alphaPairsChanged = 0
156. iterCount = 0
157. # Iteration termination condition:
158. #   Condition 1: reach max iteration
159. #   Condition 2: no alpha changed after going through all samples,
160. #                in other words, all alpha (samples) fit KKT condition
161. while (iterCount < maxIter) and ((alphaPairsChanged > 0) or entireSet):
162. alphaPairsChanged = 0
163. # update alphas over all training examples
164. if entireSet:
165. for i in xrange(svm.numSamples):
166. alphaPairsChanged += innerLoop(svm, i)
167. print '---iter:%d entire set, alpha pairs changed:%d' % (iterCount, alphaPairsChanged)
168. iterCount += 1
169. # update alphas over examples where alpha is not 0 & not C (not on boundary)
170. else:
171. nonBoundAlphasList = nonzero((svm.alphas.A > 0) * (svm.alphas.A < svm.C))[0]
172. for i in nonBoundAlphasList:
173. alphaPairsChanged += innerLoop(svm, i)
174. print '---iter:%d non boundary, alpha pairs changed:%d' % (iterCount, alphaPairsChanged)
175. iterCount += 1
176. # alternate loop over all examples and non-boundary examples
177. if entireSet:
178. entireSet = False
179. elif alphaPairsChanged == 0:
180. entireSet = True
181. print 'Congratulations, training complete! Took %fs!' % (time.time() - startTime)
182. return svm
183. # testing your trained svm model given test set
184. def testSVM(svm, test_x, test_y):
185. test_x = mat(test_x)
186. test_y = mat(test_y)
187. numTestSamples = test_x.shape[0]
188. supportVectorsIndex = nonzero(svm.alphas.A > 0)[0]
189. supportVectors      = svm.train_x[supportVectorsIndex]
190. supportVectorLabels = svm.train_y[supportVectorsIndex]
191. supportVectorAlphas = svm.alphas[supportVectorsIndex]
192. matchCount = 0
193. for i in xrange(numTestSamples):
194. kernelValue = calcKernelValue(supportVectors, test_x[i, :], svm.kernelOpt)
195. predict = kernelValue.T * multiply(supportVectorLabels, supportVectorAlphas) + svm.b
196. if sign(predict) == sign(test_y[i]):
197. matchCount += 1
198. accuracy = float(matchCount) / numTestSamples
199. return accuracy
200. # show your trained svm model only available with 2-D data
201. def showSVM(svm):
202. if svm.train_x.shape[1] != 2:
203. print "Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!"
204. return 1
205. # draw all samples
206. for i in xrange(svm.numSamples):
207. if svm.train_y[i] == -1:
208. plt.plot(svm.train_x[i, 0], svm.train_x[i, 1], 'or')
209. elif svm.train_y[i] == 1:
210. plt.plot(svm.train_x[i, 0], svm.train_x[i, 1], 'ob')
211. # mark support vectors
212. supportVectorsIndex = nonzero(svm.alphas.A > 0)[0]
213. for i in supportVectorsIndex:
214. plt.plot(svm.train_x[i, 0], svm.train_x[i, 1], 'oy')
215. # draw the classify line
216. w = zeros((2, 1))
217. for i in supportVectorsIndex:
218. w += multiply(svm.alphas[i] * svm.train_y[i], svm.train_x[i, :].T)
219. min_x = min(svm.train_x[:, 0])[0, 0]
220. max_x = max(svm.train_x[:, 0])[0, 0]
221. y_min_x = float(-svm.b - w[0] * min_x) / w[1]
222. y_max_x = float(-svm.b - w[0] * max_x) / w[1]
223. plt.plot([min_x, max_x], [y_min_x, y_max_x], '-g')
224. plt.show()

测试的数据来自这里。有100个样本，每个样本两维，最后是对应的标签，例如：

3.542485 1.977398          -1

3.018896 2.556416          -1

7.551510 -1.580030         1

2.114999 -0.004466         -1

……

测试代码中首先加载这个数据库，然后用前面80个样本来训练，再用剩下的20个样本的测试，并显示训练后的模型和分类结果。测试代码如下：

test_SVM.py

1. #################################################
2. # SVM: support vector machine
3. # Author : zouxy
4. # Date   : 2013-12-12
5. # HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09
6. # Email  : [e-mail]
7. #################################################
8. from numpy import *
9. import SVM
10. ################## test svm #####################
11. ## step 1: load data
12. print "step 1: load data..."
13. dataSet = []
14. labels = []
15. fileIn = open('E:/Python/Machine Learning in Action/testSet.txt')
16. for line in fileIn.readlines():
17. lineArr = line.strip().split('\t')
18. dataSet.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
19. labels.append(float(lineArr[2]))
20. dataSet = mat(dataSet)
21. labels = mat(labels).T
22. train_x = dataSet[0:81, :]
23. train_y = labels[0:81, :]
24. test_x = dataSet[80:101, :]
25. test_y = labels[80:101, :]
26. ## step 2: training...
27. print "step 2: training..."
28. C = 0.6
29. toler = 0.001
30. maxIter = 50
31. svmClassifier = SVM.trainSVM(train_x, train_y, C, toler, maxIter, kernelOption = ('linear', 0))
32. ## step 3: testing
33. print "step 3: testing..."
34. accuracy = SVM.testSVM(svmClassifier, test_x, test_y)
35. ## step 4: show the result
36. print "step 4: show the result..."
37. print 'The classify accuracy is: %.3f%%' % (accuracy * 100)
38. SVM.showSVM(svmClassifier)

运行结果如下：

1. step 1: load data...
2. step 2: training...
3. ---iter:0 entire set, alpha pairs changed:8
4. ---iter:1 non boundary, alpha pairs changed:7
5. ---iter:2 non boundary, alpha pairs changed:1
6. ---iter:3 non boundary, alpha pairs changed:0
7. ---iter:4 entire set, alpha pairs changed:0
8. Congratulations, training complete! Took 0.058000s!
9. step 3: testing...
10. step 4: show the result...
11. The classify accuracy is: 100.000%

训练好的模型图：

九、参考文献与推荐阅读

[1] JerryLead的博客，作者根据斯坦福的讲义给出了流畅和通俗的推导：SVM系列。

[2]嘉士伯的SVM入门系列，讲得很好。

[3] pluskid的支持向量机系列，非常好。其中关于dual问题推导非常赞。

[4] Leo Zhang的SVM学习系列，博客中还包含了很多其他的机器学习算法。

[5] v_july_v的支持向量机通俗导论（理解SVM的三层境界）。结构之法算法之道blog。

[6] 李航的《统计学习方法》，清华大学出版社

[7] SVM学习——Sequential Minimal Optimization

[8] SVM算法实现（一）

[9] Sequential Minimal Optimization: A FastAlgorithm for Training Support Vector Machines

[10] SVM --从“原理”到实现

[11] 支持向量机入门系列

[12]SVM的各个版本及其多种语言实现代码合集

[13] Karush-Kuhn-Tucker(KKT) conditions

[14] 深入理解拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件