【整体二分/树套树】BZOJ3833 [Poi2014]Solar lamps

【题目】
原题地址
给 $n$ 盏灯，每盏灯能照到的角度范围是相同的，第 $i$ 盏灯在第 $i$ 秒或者被 $k_{i}$ 盏灯照到后都会亮起，问所有灯都在什么时刻亮起。

【题目分析】
看上去很玄学，实际上重要的点在思路的转化。~~我最喜欢分治了~~。
我最喜欢薇尔莉特！！

【解题思路】
首先第一眼看上去像计算几何qwq，不过因为所有灯朝向一样，所以我们转一下坐标轴就行了。
我们把 $(x_{i}, y_{i})$ 变成 $(a_{i}, b_{i})$ 使得

a_{i} \times x_{1} + b_{i} \times x_{2} = x_{i} a_{i} \times y_{1} + b_{i} \times y_{2} = y_{i}

然后可以得到：

a_{i} = \frac{x_{i} \times y_{2} - y_{i} \times x_{2}}{x_{1} \times y_{2} - x_{2} \times y_{1}} b_{i} = \frac{x_{i} \times y_{1} - y_{i} \times x_{1}}{x_{1} \times y_{2} - x_{2} \times y_{1}}

这些坐标分母一样，所以可以丢掉。
转化问题后，我们发现这就是就是按顺序查询一个点左下角的区域内第 $k_{i}$ 小的数是多少（记为 $t$ ）。
然后有 $a n s_{i} = m i n (i, t)$ ，特别地，如果没有 $k_{i}$ 个灯泡， $a n s_{i} = i$ 。

考虑怎么维护这个东西？

我们可以写树套树维护一下插入操作，以往都是要二分然后再查询的，这样时间复杂度是 $O (l o g^{3} n)$ 的，显然不可以接受….
但是这题只需要查 $k$ 大，所以我们可以反过来，以 $a n s$ 为第一关键字建线段树，然后对 $a$ 坐标建平衡树，这样就可以省去二分了。
~~想用带修主席树？不好意思卡内存呢。~~

查询操作我们就可以二分答案了。
具体做法就是从线段树根结点开始，先看左儿子所套的平衡树里边 $a$ 坐标小于等于 $a_{i}$ 的结点个数。
设有 $u$ 个，如果 $u \geq k [i]$ ，说明答案应该在 $[l, m i d]$ 之间，然后递归处理。
否则答案就应该在 $[m i d + 1, r]$ 之间，然后递归处理。
直到 $l = r$ 的时候，便可确定 $a n s [i] = m i n (i, l)$ 。
查询操作中，我们要访问 $O (l o g n)$ 个线段树结点，在每个线段树节点中，都要 $O (l o g n)$ 地查找相关点的个数。
所以查询操作的时间复杂度也是 $O (l o g^{2} n)$ 的。

然后有 $O (n)$ 个灯泡，所以总时间复杂度是 $O (n l o g^{2} n)$ 的。
每个灯泡的信息会被插入到 $O (l o g n)$ 个线段树所套的平衡树里，
所以空间复杂度是 $O (n l o g n)$ 的。

以上，太麻烦了，我不想写。对于我来说，正确的操作姿势应该是整体二分。

直接二分时间 $[L, R]$ 同时 $[l, r]$ 为在此段时间内点亮的灯，取 $M i d = \frac{L + R}{2}$ ，
将 $[l, r]$ 划分为 $[l, m i d]$ 与 $[m i d + 1, r]$ 表示在 $M i d$ 前点亮的灯与在Mid后点亮的灯，递归求解即可。

那么现在问题是如何求一盏灯是否在 $M i d$ 前点亮，关键在于求一盏灯的左下角的灯的数目。
我们直接用扫描线做就行了：将灯按照 $x$ 坐标排序，用树状数组维护 $y$ 坐标，横向依次扫描就可以完成了。
如果求得的左下角的灯的个数大于等于 $k$ 个，或者灯的编号大于等于 $M i d$ ，则把它归到 $[l, m i d]$ 的区间。

然后就是这样，写分治不仅代码简单，而且常数小，何乐而不为呢？
~~（AC时速度第4，代码2kb，写数据结构的话速度和代码量都是两倍左右）~~
~~强烈鄙视这种文末一定要带换行符的PE!!!~~

【参考代码】

整体二分

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const LL INF=2e9;
const int N=2e5+10;
int n,tx,ty,txx,tyy;
LL X[N],Y[N],dat[N];

struct Tnode
{
    int x,y,k,ans,id;
    bool operator < (const Tnode &A)const
    {
        if(x==A.x)
            return y<A.y;
        return x<A.x;
    }
};
Tnode a[N];

struct Tbit
{
    int tr[N];
    int lowbit(int x){
        return x&(-x);
    }

    void add(int x,int v)
    {
        for(;x<=n;x+=lowbit(x))
            tr[x]+=v;
    }

    int query(int x)
    {
        int ret=0;
        for(;x;x-=lowbit(x))
            ret+=tr[x];
        return ret; 
    }
};
Tbit BIT;

bool cmp(Tnode A,Tnode B)
{
    return A.id<B.id;
}

void update(int &x,int &y)
{
    int mx=max(abs(x),abs(y));
    int d=((LL)INF+mx-1)/mx;
    x*=d;y*=d;
    ++x;
}

void init()
{
    for(int i=1;i<=n;++i)
        dat[i]=X[i];
    sort(dat+1,dat+n+1);
    int sz=unique(dat+1,dat+n+1)-dat;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        a[i].x=lower_bound(dat+1,dat+sz+1,X[i])-dat;

    for(int i=1;i<=n;++i)
        dat[i]=Y[i];
    sort(dat+1,dat+n+1);
    sz=unique(dat+1,dat+n+1)-dat;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        a[i].y=lower_bound(dat+1,dat+sz+1,Y[i])-dat;
}

void solve(int L,int R,int l,int r)
{
    if(L==R)
    {
        for(int i=l;i<=r;++i)
            a[i].ans=L;
        return;
    }
    int Mid=(L+R)>>1,mid=l-1;
    sort(a+l,a+r+1);

    for(int i=l;i<=r;++i)
    {
        int res=BIT.query(a[i].y);
        if(a[i].id<=Mid || res>=a[i].k)
        {
            BIT.add(a[i].y,1);
            ++mid;swap(a[mid],a[i]);
        }
        else
            a[i].k-=res;
    }

    for(int i=l;i<=mid;++i)
        BIT.add(a[i].y,-1);

    if(l<=mid)
        solve(L,Mid,l,mid);
    if(r>mid)
        solve(Mid+1,R,mid+1,r);
}

int main()
{
//  freopen("BZOJ3833.in","r",stdin);
//  freopen("BZOJ3833.out","w",stdout);

    scanf("%d%d%d%d%d",&n,&tx,&ty,&txx,&tyy);
    if(1ll*tx*tyy==1ll*ty*txx)
        update(tx,ty);
    if(1ll*tx*tyy<1ll*ty*txx)
        swap(tx,txx),swap(ty,tyy);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        a[i].id=i;
        X[i]=1ll*x*tyy-1ll*txx*y;
        Y[i]=1ll*tx*y-1ll*x*ty;
    }   
    for(int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d",&a[i].k);
    init();
    solve(1,n,1,n);
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        printf("%d%c",a[i].ans,i==n?'\n':' ');

    return 0;
}

然后树套树的没写，在这里放一份大佬的代码qwq。来源

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
//#include<ctime>
#define N 200010
using namespace std;
struct ppp
{
    long long x,y;
    int num,k;
}b[N];
bool cmp(ppp x,ppp y)
{
    if(x.x!=y.x) return x.x<y.x;
    return x.y<y.y;
}
long long ax[N],ay[N];
map<long long,int>px,py;
int ans[N];
int nx,ny;
int l[N<<2],r[N<<2],rt[N<<2];
int ch[N*20][2],siz[N*20],a[N*20],fa[N*20],ti[N*20],cnt;
inline void pup(int x){siz[x]=siz[ch[x][0]]+ti[x]+siz[ch[x][1]];}
void rotate(int x,int &k)
{
    int y=fa[x],z=fa[y];
    int l=0,r;
    if(ch[y][1]==x) l=1;r=l^1;
    if(y==k) k=x;
    else
    {
        if(ch[z][0]==y) ch[z][0]=x;
        else ch[z][1]=x;
    }
    fa[ch[x][r]]=y;
    fa[y]=x;
    fa[x]=z;
    ch[y][l]=ch[x][r];
    ch[x][r]=y;
    pup(y);//pup(x);
}
void splay(int x,int &k)
{
    while(x!=k)
    {
        int y=fa[x],z=fa[y];
        if(y!=k)
        {
            if(ch[z][0]==y^ch[y][0]==x) rotate(x,k);
            else rotate(y,k);
        }
        rotate(x,k);
    }
}
void add(int &k,int x)
{
    if(!k)
    {
        cnt++;k=cnt;
        siz[cnt]=ti[cnt]=1;
        a[cnt]=x;
        return;
    }
    int z,p=k;
    while(p)
    {
        z=p;
        siz[z]++;
        if(x==a[z])
        {
            ti[z]++;
            return;
        }
        if(x>a[z])
        p=ch[z][1];
        else p=ch[z][0];
    }
    ti[++cnt]=1;
    siz[cnt]=1;
    a[cnt]=x;
    fa[cnt]=z;
    if(x>a[z])
    ch[z][1]=cnt;
    else ch[z][0]=cnt;
    splay(cnt,k);
}
int numgetrank(int k,int x,bool f)
{
    if(!k) return 0;
    if(a[k]==x) 
    {
        if(!f) return siz[ch[k][0]]+ti[k];
        return ti[k];
    }
    if(x<a[k]) return numgetrank(ch[k][0],x,f);
    else
    {
        if(!f) return numgetrank(ch[k][1],x,f)+siz[ch[k][0]]+ti[k];
        return numgetrank(ch[k][1],x,f);
    }
}
inline void build(int now,int ll,int rr)
{
    l[now]=ll;r[now]=rr;
    if(ll==rr) return;
    int mid=(ll+rr)>>1;
    build(now<<1,ll,mid);
    build(now<<1|1,mid+1,rr); 
}
inline int check(int now,int v,int k,bool f)
{
    if(l[now]==r[now]) return l[now];
    int t=numgetrank(rt[now<<1],v,f);
    if(k<=t) return check(now<<1,v,k,f);
    else return check(now<<1|1,v,k-t,f);
}
inline void change(int now,int x,int v)
{
    add(rt[now],v);
    if(l[now]==r[now]) return;
    int mid=(l[now]+r[now])>>1;
    if(x<=mid) change(now<<1,x,v);
    else change(now<<1|1,x,v);
}
const int ___=1<<15;
char ZZ[___|1],*_=ZZ,*Z=ZZ,Z_[___],_Z;
#define getc() (_==Z&&(Z=(_=ZZ)+fread(ZZ,1,___,stdin),_==Z)?0:*_++)
inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char c=getc();
    for(;c<48||c>57;c=getc())if(c==45)f=-1;
    for(;c>=48&&c<=57;)x=x*10+c-48,c=getc();
    return x*f;
}
inline long long readll()
{
    long long x=0,f=1;
    char c=getc();
    for(;c<48||c>57;c=getc())if(c==45)f=-1;
    for(;c>=48&&c<=57;)x=x*10+c-48,c=getc();
    return x*f;
}
long long X1,X2,Y1,Y2;
int main()
{
    int n;
    int tot=0,st=clock();
    n=read();
    long long x,y;
    X1=readll();Y1=readll();X2=readll();Y2=readll();
    bool fl=false; 
    if(X1*Y2==Y1*X2)
    {
        fl=true;
        X2=-Y1;Y2=X1;
    }
    long long tmp=1;
    if(X1*Y2-Y1*X2<0) tmp=-1;
    int i,j;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        x=readll();y=readll();
        b[i].x=tmp*(x*Y2-y*X2);
        b[i].y=tmp*(y*X1-x*Y1);
        b[i].num=i;
        ax[i]=b[i].x;
        ay[i]=b[i].y;
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    b[i].k=read();
    sort(ax+1,ax+n+1);
    ax[0]=707185547;
    for(i=1;i<=n;i++)
    if(ax[i]!=ax[i-1])
    {
        nx++;
        px[ax[i]]=nx;
    }
    sort(ay+1,ay+n+1);
    ay[0]=707185547;
    for(i=1;i<=n;i++)
    if(ay[i]!=ay[i-1])
    {
        ny++;
        py[ay[i]]=ny;
    }
    sort(ax+1,ax+n+1);
    sort(ay+1,ay+n+1);
    int sx=unique(ax+1,ax+n+1)-ax;
    int sy=unique(ay+1,ay+n+1)-ay;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        int u=lower_bound(ax+1,ax+sx,b[i].x)-ax;
        int v=lower_bound(ay+1,ay+sy,b[i].y)-ay;
        b[i].x=u,b[i].y=v;
    }
    sort(b+1,b+n+1,cmp);
    build(1,1,n);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        tmp=numgetrank(rt[1],b[i].y,fl);
        if(tmp<b[i].k) ans[b[i].num]=b[i].num;
        else ans[b[i].num]=min(check(1,b[i].y,b[i].k,fl),b[i].num);
    // st=clock();
        change(1,ans[b[i].num],b[i].y);
    // tot+=clock()-st;
    }
    for(i=1;i<n;i++)
    printf("%d ",ans[i]);
    printf("%d",ans[n]);
// cout<<tot;
}

【总结】
题目的转化很巧妙~~（其实也还好）~~。
主要是这个坐标系的转化，牢记在心。
为了薇尔莉特！

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【整体二分/树套树】BZOJ3833 [Poi2014]Solar lamps

整体二分

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