Description
给出一个长为n的字符串\(S\)和一个长为n的序列\(a\)
定义一个函数\(f(l,r)\)表示子串\(S[l..r]\)的任意两个后缀的最长公共前缀的最大值。
现在有q组询问，每组询问给出\(L,R,x\)
你需要找到一个子串\(S[l,r]\)满足\([l,r]\subset[L,R]\)且\(f(l,r)\geq x\)
同时需要满足\(max(a[l..r])\)最小
求这个最小值，无解则输出-1
\(n,q\leq 50000\)
Solution
这道题实际上分成两部分（谴责拼题行为）
第一部分快速计算f(l,r)
建出SAM，用个set维护right集，在parent树上启发式合并，显然Right集合中我们只需要考虑哪些相邻的位置有用（不相邻显然不优），合并的时候把要插入的位置的前驱以及它们的LCP构成一个三元组，后继也一样处理，这样我们得到了一个可能更新答案的三元组序列\((l,x,r)\)，表示\(S[l..x]=S[r-(x-l),r]\)。
观察对答案的贡献，它能贡献的区间满足\(R>r,l<=x\)，相当于区间取max以及区间对等差数列取max
维护两棵线段树分别来弄，等差数列我们只需要维护合法右端点最大值即可，两个都是区间取max单点查询，可以用struct写在一起
还需要保证右端点的限制，因此对所有二元组按右端点排序建主席树即可。
区间修改的主席树似乎比较麻烦？我们发现这题不需要下传标记，因此直接先将当前位置的操作扔进去再继承前一个的。
这样就能够在\(O(n\log^2n)\)预处理（启发式合并），\(O(\log n)\)计算一个区间的f
第二部分计算答案
显然只有笛卡尔树上的n个极大区间是有用的，计算出它们的f
对于查询区间\([L,R]\)，我们只需要找到被它完全包含的极大区间，然后分别以左右端点开始二分另一个端点即可。
找到包含的区间似乎是个二维问题？
不需要
对于左端点我们二分了一个位置，表示右端点在这左边的都不合法。
其他的合法区间的右端点一定在这右边，
此时我们不需要管左端点的限制了，因为超出去答案显然更劣。
直接一维区间最大值即可
这一部分也是\(O(n\log^2n)\)的
常数似乎比较大。
Code
代码足足有5K
略毒瘤。
#include <bits/stdc++.h>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
const int N=50005;
using namespace std;
char ch[N];
int n,q;
struct node
{
int l,x,r;
friend bool operator <(node x,node y)
{
return x.r<y.r;
}
};
vector<node> ap;
namespace SAM
{
const int R=N<<1;
int t[R][26],mx[R],m1,ft[R],fs[R],nt[R],dt[R],n2,rf[R];
set<int> ri[R];
void link(int x,int y)
{
nt[++m1]=fs[x];
dt[fs[x]=m1]=y;
}
void merge(int x,int y,int v)
{
if(v==0) return;
if(ri[rf[x]].size()<ri[rf[y]].size()) swap(rf[x],rf[y]);
for(int i:ri[rf[y]])
{
set<int>::iterator it=ri[rf[x]].lower_bound(i);
if(it!=ri[rf[x]].end()) ap.push_back((node){i-v+1,i,*it});
if(it!=ri[rf[x]].begin()) it--,ap.push_back((node){*it-v+1,*it,i});
ri[rf[x]].insert(i);
}
}
void dfs(int k)
{
int w=0;
for(int i=fs[k];i;i=nt[i])
{
int p=dt[i];
dfs(p);
merge(k,p,mx[k]);
}
}
void make()
{
n2=1;
int ls=n2;
fo(i,1,n)
{
int c=ch[i]-'a',p=ls;
mx[ls=++n2]=i;
rf[ls]=ls;
ri[ls].insert(i);
while(p&&!t[p][c]) t[p][c]=ls,p=ft[p];
if(t[p][c])
{
int q=t[p][c];
if(mx[q]==mx[p]+1) ft[ls]=q;
else
{
mx[++n2]=mx[p]+1;
ft[n2]=ft[q];
ft[q]=ft[ls]=n2;
memcpy(t[n2],t[q],sizeof(t[n2]));
while(p&&t[p][c]==q) t[p][c]=n2,p=ft[p];
}
}
else ft[ls]=1;
}
fo(i,2,n2) link(ft[i],i);
dfs(1);
}
}
namespace QS
{
const int M=10000000;
struct SGT
{
int t[M][2],mx[M],rt[N],n1;
inline int nwp(int &x)
{
if(!x) x=++n1,t[x][0]=t[x][1]=mx[x]=0;
return x;
}
void modify(int k,int l,int r,int x,int y,int v)
{
if(x>y) return;
if(x<=l&&r<=y) {mx[k]=max(mx[k],v);return;}
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid) modify(nwp(t[k][0]),l,mid,x,y,v);
if(y>mid) modify(nwp(t[k][1]),mid+1,r,x,y,v);
}
void merge(int &k,int w,int l,int r)
{
if(!k) {k=w;return;}
if(!w) return;
mx[k]=max(mx[k],mx[w]);
int mid=(l+r)>>1;
merge(t[k][0],t[w][0],l,mid);
merge(t[k][1],t[w][1],mid+1,r);
}
int query(int k,int l,int r,int x)
{
if(l==r) return mx[k];
int mid=(l+r)>>1,s=0;
if(x<=mid) s=query(t[k][0],l,mid,x);
else s=query(t[k][1],mid+1,r,x);
return max(s,mx[k]);
}
}T1,T2;
void make()
{
SAM::make();
sort(ap.begin(),ap.end());
int r=ap.size()-1;
for(int i=1,j=0;i<=n;++i)
{
T1.rt[i]=++T1.n1;
T2.rt[i]=++T2.n1;
while(j<=r&&ap[j].r<=i)
{
T1.modify(T1.rt[i],1,n,1,ap[j].l-1,ap[j].x-ap[j].l+1);
T2.modify(T2.rt[i],1,n,ap[j].l,ap[j].x,ap[j].x);
j++;
}
T1.merge(T1.rt[i],T1.rt[i-1],1,n);
T2.merge(T2.rt[i],T2.rt[i-1],1,n);
}
n++;
n--;
}
int get(int l,int r)
{
return max(T1.query(T1.rt[r],1,n,l),min(T2.query(T2.rt[r],1,n,l),r)-l+1);
}
}
using QS::get;
int a[N];
struct px
{
int l,r,v,c;
friend bool operator <(px x,px y) {return x.v>y.v;}
}aw[N];
int ask[N][3],d[N];
bool cmp(int x,int y) {return ask[x][2]>ask[y][2];}
int lf[N],rf[N],st[N],ans[N];
namespace Tr
{
int n1,t[N<<1][2],mx[N<<1],mi[N<<1];
void build(int k,int l,int r)
{
mi[k]=1e9;
if(l==r) {mx[k]=a[l];return;}
int mid=(l+r)>>1;
build(t[k][0]=++n1,l,mid),build(t[k][1]=++n1,mid+1,r);
mx[k]=max(mx[t[k][0]],mx[t[k][1]]);
}
void ins(int k,int l,int r,int x,int v)
{
if(l==r) {mi[k]=min(mi[k],v);return;}
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid) ins(t[k][0],l,mid,x,v);
else ins(t[k][1],mid+1,r,x,v);
mi[k]=min(mi[t[k][0]],mi[t[k][1]]);
}
int ds[N];
void query(int k,int l,int r,int x,int y)
{
if(x>y) return;
if(x<=l&&r<=y) {ds[++ds[0]]=k;return;}
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid) query(t[k][0],l,mid,x,y);
if(y>mid) query(t[k][1],mid+1,r,x,y);
}
int gmax(int l,int r)
{
ds[0]=0;
query(1,1,n,l,r);
int s=0;
fo(i,1,ds[0]) s=max(s,mx[ds[i]]);
return s;
}
int gmin(int l,int r)
{
ds[0]=0;
query(1,1,n,l,r);
int s=1e9;
fo(i,1,ds[0]) s=min(s,mi[ds[i]]);
return s;
}
}
using Tr::gmax;
using Tr::gmin;
int main()
{
cin>>n>>q;
scanf("\n%s",ch+1);
QS::make();
fo(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);
fo(i,1,n)
{
while(st[0]&&a[i]>a[st[st[0]]]) rf[st[st[0]]]=i-1,st[st[0]--]=0;
st[++st[0]]=i;
}
while(st[0]) rf[st[st[0]]]=n,st[st[0]--]=0;
fod(i,n,1)
{
while(st[0]&&a[i]>a[st[st[0]]]) lf[st[st[0]]]=i+1,st[st[0]--]=0;
st[++st[0]]=i;
}
while(st[0]) lf[st[st[0]]]=1,st[st[0]--]=0;
fo(i,1,n) aw[i]=(px){lf[i],rf[i],get(lf[i],rf[i]),a[i]};
sort(aw+1,aw+n+1);
fo(i,1,q)
{
scanf("%d%d%d",&ask[i][0],&ask[i][1],&ask[i][2]);
d[i]=i;
}
sort(d+1,d+q+1,cmp);
int j=1;
Tr::n1=1;
Tr::build(1,1,n);
fo(i,1,q)
{
while(j<=n&&aw[j].v>=ask[d[i]][2])
{
Tr::ins(1,1,n,aw[j].r,aw[j].c);
j++;
}
int l=ask[d[i]][0],r=ask[d[i]][1]+1;
while(l+1<r)
{
int mid=(l+r)>>1;
if(get(ask[d[i]][0],mid)>=ask[d[i]][2]) r=mid;
else l=mid;
}
int wp;
if(get(ask[d[i]][0],l)>=ask[d[i]][2]) wp=l;
else wp=r;
if(wp==ask[d[i]][1]+1) {ans[d[i]]=-1;continue;}
ans[d[i]]=min(gmax(ask[d[i]][0],wp),gmin(wp,ask[d[i]][1]));
l=ask[d[i]][0],r=ask[d[i]][1];
while(l+1<r)
{
int mid=(l+r)>>1;
if(get(mid,ask[d[i]][1])>=ask[d[i]][2]) l=mid;
else r=mid;
}
if(get(r,ask[d[i]][1])>=ask[d[i]][2]) wp=r;
else wp=l;
ans[d[i]]=min(ans[d[i]],gmax(wp,ask[d[i]][1]));
}
fo(i,1,q) printf("%d\n",ans[i]);
}