高斯消元 分析 && 模板 (转载)

时间:2022-05-22 12:09:51

转载自:http://hi.baidu.com/czyuan_acm/item/dce4e6f8a8c45f13d7ff8cda czyuan

先上模板:

 /* 用于求整数解得方程组. */
#include <iostream>
#include <string>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = ;
int equ, var; // 有equ个方程,var个变元。增广阵行数为equ, 分别为0到equ - 1,列数为var + 1,分别为0到var.
int a[maxn][maxn];
int x[maxn]; // 解集.
bool free_x[maxn]; // 判断是否是不确定的变元.
int free_num;
void Debug(void)
{
int i, j;
for (i = ; i < equ; i++)
{
for (j = ; j < var + ; j++)
{
cout << a[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
cout << endl;
}
inline int gcd(int a, int b)
{
int t;
while (b != )
{
t = b;
b = a % b;
a = t;
}
return a;
}
inline int lcm(int a, int b)
{
return a * b / gcd(a, b);
}
// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解,但无整数解,-1表示无解,0表示唯一解,大于0表示无穷解,并返回*变元的个数)
int Gauss(void)
{
int i, j, k;
int max_r; // 当前这列绝对值最大的行.
int col; // 当前处理的列.
int ta, tb;
int LCM;
int temp;
int free_x_num;
int free_index;
// 转换为阶梯阵.
col = ; // 当前处理的列.
for (k = ; k < equ && col < var; k++, col++)
{ // 枚举当前处理的行.
// 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
max_r = k;
for (i = k + ; i < equ; i++)
{
if (abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col])) max_r = i;
}
if (max_r != k)
{ // 与第k行交换.
for (j = k; j < var + ; j++) swap(a[k][j], a[max_r][j]);
}
if (a[k][col] == )
{ // 说明该col列第k行以下全是0了,则处理当前行的下一列.
k--; continue;
}
for (i = k + ; i < equ; i++)
{ // 枚举要删去的行.
if (a[i][col] != )
{
LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col]));
ta = LCM / abs(a[i][col]), tb = LCM / abs(a[k][col]);
if (a[i][col] * a[k][col] < ) tb = -tb; // 异号的情况是两个数相加.
for (j = col; j < var + ; j++)
{
a[i][j] = a[i][j] * ta - a[k][j] * tb;
}
}
}
}
Debug();
// 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
for (i = k; i < equ; i++)
{ // 对于无穷解来说,如果要判断哪些是*变元,那么初等行变换中的交换就会影响,则要记录交换.
if (a[i][col] != ) return -;
}
// 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行,即说明没有形成严格的上三角阵.
// 且出现的行数即为*变元的个数.
if (k < var)
{
// 首先,*变元有var - k个,即不确定的变元至少有var - k个.
for (i = k - ; i >= ; i--)
{
// 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况,因为这样的行是在第k行到第equ行.
// 同样,第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况,这样的无解的.
free_x_num = ; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数,如果超过1个,则无法求解,它们仍然为不确定的变元.
for (j = ; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;
}
if (free_x_num > ) continue; // 无法求解出确定的变元.
// 说明就只有一个不确定的变元free_index,那么可以求解出该变元,且该变元是确定的.
temp = a[i][var];
for (j = ; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];
}
x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.
free_x[free_index] = ; // 该变元是确定的.
}
return var - k; // *变元有var - k个.
}
// 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
// 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
for (i = var - ; i >= ; i--)
{
temp = a[i][var];
for (j = i + ; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != ) temp -= a[i][j] * x[j];
}
if (temp % a[i][i] != ) return -; // 说明有浮点数解,但无整数解.
x[i] = temp / a[i][i];
}
return ;
}
int main(void)
{
freopen("Input.txt", "r", stdin);
int i, j;
while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF)
{
memset(a, , sizeof(a));
memset(x, , sizeof(x));
memset(free_x, , sizeof(free_x)); // 一开始全是不确定的变元.
for (i = ; i < equ; i++)
{
for (j = ; j < var + ; j++)
{
scanf("%d", &a[i][j]);
}
}
// Debug();
free_num = Gauss();
if (free_num == -) printf("无解!\n");
else if (free_num == -) printf("有浮点数解,无整数解!\n");
else if (free_num > )
{
printf("无穷多解! *变元个数为%d\n", free_num);
for (i = ; i < var; i++)
{
if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n", i + );
else printf("x%d: %d\n", i + , x[i]);
}
}
else
{
for (i = ; i < var; i++)
{
printf("x%d: %d\n", i + , x[i]);
}
}
printf("\n");
}
return ;
}

高斯消元法,是线性代数中的一个算法,可用来求解线性方程组,并可以求出矩阵的秩,以及求出可逆方阵的逆矩阵。
高斯消元法的原理是:
若用初等行变换将增广矩阵 化为 ,则AX = B与CX = D是同解方程组。
所以我们可以用初等行变换把增广矩阵转换为行阶梯阵,然后回代求出方程的解。

以上是线性代数课的回顾,下面来说说高斯消元法在编程中的应用。

首先,先介绍程序中高斯消元法的步骤:
(我们设方程组中方程的个数为equ,变元的个数为var,注意:一般情况下是n个方程,n个变元,但是有些题目就故意让方程数与变元数不同)

1. 把方程组转换成增广矩阵。

2. 利用初等行变换来把增广矩阵转换成行阶梯阵。
枚举k从0到equ – 1,当前处理的列为col(初始为0) ,每次找第k行以下(包括第k行),col列中元素绝对值最大的列与第k行交换。如果col列中的元素全为0,那么则处理col + 1列,k不变。

3. 转换为行阶梯阵,判断解的情况。

① 无解
当方程中出现(0, 0, …, 0, a)的形式,且a != 0时,说明是无解的。

② 唯一解
条件是k = equ,即行阶梯阵形成了严格的上三角阵。利用回代逐一求出解集。

③ 无穷解。
条件是k < equ,即不能形成严格的上三角形,*变元的个数即为equ – k,但有些题目要求判断哪些变元是不缺定的。
    这里单独介绍下这种解法:
首先,*变元有var - k个,即不确定的变元至少有var - k个。我们先把所有的变元视为不确定的。在每个方程中判断不确定变元的个数,如果大于1个,则该方程无法求解。如果只有1个变元,那么该变元即可求出,即为确定变元。

以上介绍的是求解整数线性方程组的求法,复杂度是O(n3)。浮点数线性方程组的求法类似,但是要在判断是否为0时,加入EPS,以消除精度问题。

下面讲解几道OJ上的高斯消元法求解线性方程组的题目:

POJ 1222 EXTENDED LIGHTS OUT
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1222
POJ 1681 Painter's Problem
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1681
POJ 1753 Flip Game
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1753
POJ 1830 开关问题
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1830

POJ 3185 The Water Bowls

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3185
开关窗户,开关灯问题,很典型的求解线性方程组的问题。方程数和变量数均为行数*列数,直接套模板求解即可。但是,当出现无穷解时,需要枚举解的情况,因为无法判断哪种解是题目要求最优的。

POJ 2947 Widget Factory
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2947
求解同余方程组问题。与一般求解线性方程组的问题类似,只要在求解过程中加入取余即可。
注意:当方程组唯一解时,求解过程中要保证解在[3, 9]之间。

POJ 1166 The Clocks
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1166
经典的BFS问题,有各种解法,也可以用逆矩阵进行矩阵相乘。
但是这道题用高斯消元法解决好像有些问题(困扰了我N天...持续困扰中...),由于周期4不是素数,故在求解过程中不能进行取余(因为取余可能导致解集变大),但最后求解集时,还是需要进行取余操作,那么就不能保证最后求出的解是正确的...在discuss里提问了好几天也没人回答...希望哪位路过的大牛指点下~~

POJ 2065 SETI
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2065
同样是求解同余方程组问题,由于题目中的p是素数,可以直接在求解时取余,套用模板求解即可。(虽然AC的人很少,但它还是比较水的一道题,)

POJ 1487 Single-Player Games
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1487
很麻烦的一道题目...题目中的叙述貌似用到了编译原理中的词法定义(看了就给人不想做的感觉...)
解方程组的思想还是很好看出来了(前提是通读题目不下5遍...),但如果把树的字符串表达式转换成方程组是个难点,我是用栈 + 递归的做法分解的。首先用栈的思想求出该结点的孩子数,然后递归分别求解各个孩子。
这题解方程组也与众不同...首先是求解浮点数方程组,要注意精度问题,然后又询问不确定的变元,按前面说的方法求解。
一顿折腾后,这题居然写了6000+B...而且囧的是巨人C++ WA,G++ AC,可能还是精度的问题吧...看这题目,看这代码,就没有改的欲望...

hdu OJ 2449
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2449
哈尔滨现场赛的一道纯高斯题,当时鹤牛敲了1个多小时...主要就是写一个分数类,套个高精模板(偷懒点就Java...)搞定~~
注意下0和负数时的输出即可。

fze OJ 1704
http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1704
福大月赛的一道题目,还是经典的开关问题,但是方程数和变元数不同(考验模板的时候到了~~),最后要求增广阵的阶,要用到高精度~~

Sgu 275 To xor or not to xor
http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=275
题解:
http://hi.baidu.com/czyuan%5Facm/blog/item/be3403d32549633d970a16ee.html

这里提供下自己写的还算满意的求解整数线性方程组的模板(浮点数类似,就不提供了)~~

下面的总结转载自: 英雄哪里出来 这篇博客写的也非常不错,里面有对高斯消元好多题目的思路详解,强力推荐!

高斯消元

算法目的:
            高斯消元,一般用于求解线性方程组AX = B(或 模线性方程组AX mod P = B),以四个未知数,四个方程为例,AX=B表示成4x4的矩        阵和4x1的矩阵相乘的形式:

高斯消元 分析 && 模板 (转载)

其中A和B(b0 b1 b2 b3)已知,要求列向量X(x0 x1 x2 x3)的值。

算法核心思想:
            对于n个方程,m个未知数的方程组,消元的具体步骤如下:

1、枚举第i (0 <= i < n) 行,初始化列为col = 0,每次从[i, n)行中找到第col列中元素绝对值最大的行和第i行进行交换(找到最大的行是为了在消元的时候把浮点数的误差降到最小);

a) 如果第col列的元素全为0,放弃这一列的处理,col+1,i不变,转1);

b) 否则,对于所有的行j (i < j < n),如果a[j][col]不为0,则需要进行消元,以期第i行以下的第col列的所有元素都消为0(这一步就是线性代数中所说的初等行变换,具体的步骤就是将第j行的所有元素减去第i行的所有元素乘上一个系数,这个系数即a[j][col] / a[i][col])。

2、重复步骤1) 直到n个方程枚举完毕或者列col == m。

3、判断解的情况:

a) 如果出现某一行,系数矩阵全为0,增广矩阵不全为0,则无解(即出现[0 0 0 0 0 b],其中b不等于0的情况);

b) 如果是严格上三角,则表明有唯一解;

c) 如果增广矩阵有k (k > 0)行全为0,那么表明有k个变量可以任意取值,这几个变量即*变量;对于这种情况,一般解的范围是给定的,令解的取值有T个,*变量有V个,那么解的个数就是 TV。

算法复杂度:
      O(n3)

ACM中的高斯消元题型一般涉及到的有:

1、浮点数消元

系数矩阵为整数或浮点数,消元的时候乘上的系数为浮点数,一般用于求解浮点数解,例如HDU 3359;

2、整数消元

系数矩阵全为整数,消元的时候乘上的系数均为整数,整个消元过程不出现浮点数。由于乘法很容易溢出,一般很少用。

3、模线性方程组

系数矩阵全为整数,消元的时候乘上的系数均为整数,每次运算都模上一个数P,整个消元过程不出现除法,最后求解的时候用线性同余迭代求解,一般题型较多,有的是给定解的范围,求解的数量,例如:PKU 1830、HDU 3364;有的是求一个解,例如PKU 2065、HDU 3571;有的是求解的存在性,例如PKU1288、PKU 3185。