[LeetCode] Bulb Switcher II 灯泡开关之二

时间:2021-08-02 09:00:21

There is a room with n lights which are turned on initially and 4 buttons on the wall. After performing exactly m unknown operations towards buttons, you need to return how many different kinds of status of the n lights could be.

Suppose n lights are labeled as number [1, 2, 3 ..., n], function of these 4 buttons are given below:

  1. Flip all the lights.
  2. Flip lights with even numbers.
  3. Flip lights with odd numbers.
  4. Flip lights with (3k + 1) numbers, k = 0, 1, 2, ...

Example 1:

Input: n = 1, m = 1.
Output: 2
Explanation: Status can be: [on], [off]

Example 2:

Input: n = 2, m = 1.
Output: 3
Explanation: Status can be: [on, off], [off, on], [off, off]

Example 3:

Input: n = 3, m = 1.
Output: 4
Explanation: Status can be: [off, on, off], [on, off, on], [off, off, off], [off, on, on].

Note: n and m both fit in range [0, 1000].

这道题是之前那道Bulb Switcher的拓展,但是关灯的方式改变了。现在有四种关灯方法,全关,关偶数灯,关奇数灯,关3k+1的灯。现在给我们n盏灯,允许m步操作,问我们总共能组成多少种不同的状态。博主开始想,题目没有让列出所有的情况,而只是让返回总个数。那么博主觉得应该不能用递归的暴力破解来做,一般都是用DP来做啊。可是想了半天也没想出递推公式,只得作罢。只好去参考大神们的做法,发现这道题的结果并不会是一个超大数,最多情况只有8种。转念一想,也是,如果结果是一个超大数,一般都会对一个超大数10e7来取余,而这道题并没有,所以是一个很大的hint,只不过博主没有get到。博主应该多列几种情况的,说不定就能找出规律。下面先来看一种暴力解法,首先我们先做一个小小的优化,我们来分析四种情况:

第一种情况:789101112131415,...

第二种情况:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,...

第三种情况:,2,,4,,6,7,8,9,10,11,12,,14,15,...

第四种情况:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,,14,15,...

通过观察上面的数组,我们可以发现以6个为1组,都是重复的pattern,那么实际上我们可以把重复的pattern去掉而且并不会影响结果。如果n大于6,我们则对其取余再加上6,新的n跟使用原来的n会得到同样的结果,但这样降低了我们的计算量。

下面我们先来生成n个1,这里1表示灯亮,0表示灯灭,然后我们需要一个set来记录已经存在的状态,用一个queue来辅助我们的BFS运算。我们需要循环m次,因为要操作m次,每次开始循环之前,先统计出此时queue中数字的个数len,然后进行len次循环,这就像二叉树中的层序遍历,必须上一层的结点全部遍历完了才能进入下一层,当然,在每一层开始前,我们都需要情况集合s,这样每个操作之间才不会互相干扰。然后在每层的数字循环中,我们取出队首状态,然后分别调用四种方法,突然感觉,这很像迷宫遍历问题,上下左右四个方向,周围四个状态算出来,我们将不再集合set中的状态加入queue和集合set。当m次操作遍历完成后,队列queue中状态的个数即为所求,参见代码如下:

解法一:

class Solution {
public:
int flipLights(int n, int m) {
n == (n <= ) ? n : (n % + );
int start = ( << n) - ;
unordered_set<int> s;
queue<int> q{{start}};
for (int i = ; i < m; ++i) {
int len = q.size();
s.clear();
for (int k = ; k < len; ++k) {
int t = q.front(); q.pop();
vector<int> next{flipAll(t, n), flipEven(t, n), flipOdd(t, n), flip3k1(t, n)};
for (int num : next) {
if (s.count(num)) continue;
q.push(num);
s.insert(num);
}
}
}
return q.size();
} int flipAll(int t, int n) {
int x = ( << n) - ;
return t ^ x;
} int flipEven(int t, int n) {
for (int i = ; i < n; i += ) {
t ^= ( << i);
}
return t;
} int flipOdd(int t, int n) {
for (int i = ; i < n; i += ) {
t ^= ( << i);
}
return t;
} int flip3k1(int t, int n) {
for (int i = ; i < n; i += ) {
t ^= ( << i);
}
return t;
}
};

上面那个方法虽然正确,但是有些复杂了,由于这道题最多只有8中情况,所以很适合分情况来讨论:

- 当m和n其中有任意一个数是0时,返回1

- 当n = 1时

只有两种情况,0和1

- 当n = 2时,

这时候要看m的次数,如果m = 1,那么有三种状态 00,01,10

当m > 1时,那么有四种状态,00,01,10,11

- 当m = 1时,

此时n至少为3,那么我们有四种状态,000,010,101,011

- 当m = 2时,

此时n至少为3,我们有七种状态:111,101,010,100,000,001,110

- 当m > 2时,

此时n至少为3,我们有八种状态:111,101,010,100,000,001,110,011

解法二:

class Solution {
public:
int flipLights(int n, int m) {
if (n == || m == ) return ;
if (n == ) return ;
if (n == ) return m == ? : ;
if (m == ) return ;
return m == ? : ;
}
};

下面这种简洁到变态的方法是史蒂芬大神观察规律得到的,他自己也在帖子中说不清为啥这样可以,但是就是叼,贴上来纯属娱乐吧~

解法三:

class Solution {
public:
int flipLights(int n, int m) {
n = min(n, );
return min( << n, + m * n);
}
};

类似题目:

Bulb Switcher

参考资料:

https://discuss.leetcode.com/topic/102022/c-concise-code-o-1

https://discuss.leetcode.com/topic/102395/2-short-lines-simple-formula

https://discuss.leetcode.com/topic/102227/short-and-clean-java-o-1-solution

https://discuss.leetcode.com/topic/102107/easy-to-understand-java-bfs-solution-o-m

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