洛谷P1962 斐波那契数列【矩阵运算】

题目背景

大家都知道，斐波那契数列是满足如下性质的一个数列：

• f(1) = 1

• f(2) = 1

• f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 2 且 n 为整数)

题目描述

请你求出 f(n) mod 1000000007 的值。

输入格式：

·第 1 行：一个整数 n

输出格式：

第 1 行： f(n) mod 1000000007 的值

输入样例1

输出样例1

输入样例2

输出样例2

说明

对于 60% 的数据： n ≤ 92

对于 100% 的数据： n在long long(INT64)范围内。

题解分析：

这题主要的难点就在超大的数据范围

” n在long long(INT64)范围内。”

直接递推什么的肯定是不行的

所以这时候我们的矩阵运算就派上用场啦

我们依次将斐波那契数放入矩阵

[f(1)f(2)](1)

[f(2)f(3)](2)

[f(3)f(4)](3)

一号矩阵是已知的

那么要怎样推出后面的矩阵呢

我们试着用1矩阵乘以下面这个矩阵A

[0111](A)

发现是不是得到了二号矩阵

再用二号矩阵去乘A矩阵

是不是得到了三号？

(真的是妙啊~妙啊~)

由此不难找出规律

f(n)第一次出现的地方

就是算出A^(n-2)再乘以原斐波那契初始矩阵

最后要求的f(n)一定在答案矩阵的最下面的位置

所以总结起来

矩阵运算的题目

就是像这样找出一个初始矩阵

然后便可以运用该矩阵进行优化运算

规律应该很清楚了吧

代码里就不写什么注释了

(就是懒 = =)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll read()
{
    ll f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return f*x;
}

void print(ll x)
{
    if(x<0){putchar('-');x=-x;}
    if(x>9)print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}

const ll mod=1000000007;
ll n;
struct node
{
    ll a[5][5];
    node()
    {
        for(ll i=1;i<=2;i++)
        for(ll j=1;j<=2;j++)
        a[i][j]=0;
    }//初始化矩阵
}d,fibo;
ll res[10][10];

node quick_pow(node f,ll k)
{
    if(k==1) return f;

    else if(k%2==1)
    {
        node temp=quick_pow(f,k-1);
        node ans;
        for(ll i=1;i<=2;i++)
        for(ll j=1;j<=2;j++)
        for(ll k=1;k<=2;k++)
        ans.a[i][j]+=(f.a[i][k]*temp.a[k][j])%mod,ans.a[i][j]%=mod;
        return ans;
    }

    else if(k%2==0)
    {
        node temp=quick_pow(f,k/2);
        node ans;
        for(ll i=1;i<=2;i++)
        for(ll j=1;j<=2;j++)
        for(ll k=1;k<=2;k++)
        ans.a[i][j]+=(temp.a[i][k]*temp.a[k][j])%mod,ans.a[i][j]%=mod;
        return ans;
    }
}

int main()
{
    n=read();
    if(n==1||n==2){print(1);return 0;}
    //记得特判
    fibo.a[1][1]=1; fibo.a[2][1]=1;
    d.a[1][1]=0; d.a[1][2]=1;
    d.a[2][1]=1; d.a[2][2]=1;
    //运算用的矩阵

    ll k=n-2;
    node temp=quick_pow(d,k);
    //先计算A矩阵的n-2次幂

    for(ll i=1;i<=2;i++)
    for(ll j=1;j<=1;j++)
    for(ll k=1;k<=2;k++)
    res[i][j]+=(temp.a[i][k]*fibo.a[k][j])%mod,res[i][j]%=mod;
    //与f(1)与f(2)的矩阵相乘得出最后答案矩阵

    print(res[2][1]);

    return 0;
}