RNN(Recurrent Neural Networks)公式推导和实现
本文主要参考wildml的博客所写，所有的代码都是python实现。没有使用任何深度学习的工具，公式推导虽然枯燥，但是推导一遍之后对RNN的理解会更加的深入。看本文之前建议对传统的神经网络的基本知识已经了解，如果不了解的可以看此文：『神经网络（Neural Network）实现』。
所有可执行代码：Code to follow along is on Github.
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语言模型
熟悉NLP的应该会比较熟悉，就是将自然语言的一句话『概率化』。具体的，如果一个句子有m个词，那么这个句子生成的概率就是：
P(w1,...,wm)=∏mi=1P(wi∣w1,...,wi−1)P(w1,...,wm)=∏i=1mP(wi∣w1,...,wi−1)
其实就是假设下一次词生成的概率和只和句子前面的词有关，例如句子『He went to buy some chocolate』生成的概率可以表示为： P(他喜欢吃巧克力) = P(他喜欢吃) * P(巧克力|他喜欢吃) 。
数据预处理
训练模型总需要语料，这里语料是来自google big query的reddit的评论数据，语料预处理会去掉一些低频词从而控制词典大小，低频词使用一个统一标识替换（这里是UNKNOWN_TOKEN），预处理之后每一个词都会使用一个唯一的编号替换；为了学出来哪些词常常作为句子开始和句子结束，引入SENTENCE_START和SENTENCE_END两个特殊字符。具体就看代码吧：
网络结构
和传统的nn不同，但是也很好理解，rnn的网络结构如下图：
A recurrent neural network and the unfolding in time of the computation involved in its forward computation.
不同之处就在于rnn是一个『循环网络』，并且有『状态』的概念。
如上图，t表示的是状态， xtxt 表示的状态t的输入， stst 表示状态t时隐层的输出， otot 表示输出。特别的地方在于，隐层的输入有两个来源，一个是当前的 xtxt 输入、一个是上一个状态隐层的输出 st−1st−1 ， W,U,VW,U,V 为参数。使用公式可以将上面结构表示为：
sty^t=tanh(Uxt+Wst−1)=softmax(Vst)st=tanh(Uxt+Wst−1)y^t=softmax(Vst)
如果隐层节点个数为100，字典大小C=8000，参数的维度信息为：
xtotstUVW∈R8000∈R8000∈R100∈R100×8000∈R8000×100∈R100×100xt∈R8000ot∈R8000st∈R100U∈R100×8000V∈R8000×100W∈R100×100
初始化
参数的初始化有很多种方法，都初始化为0将会导致『symmetric calculations 』（我也不懂），如何初始化其实是和具体的激活函数有关系，我们这里使用的是tanh，一种推荐的方式是初始化为 [−1n√,1n√][−1n,1n] ，其中n是前一层接入的链接数。更多信息请点击查看更多。
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class RNNNumpy:
def __init__(self, word_dim, hidden_dim=100, bptt_truncate=4):
# Assign instance variables
self.word_dim = word_dim
self.hidden_dim = hidden_dim
self.bptt_truncate = bptt_truncate
# Randomly initialize the network parameters
self.U = np.random.uniform(-np.sqrt(1./word_dim), np.sqrt(1./word_dim), (hidden_dim, word_dim))
self.V = np.random.uniform(-np.sqrt(1./hidden_dim), np.sqrt(1./hidden_dim), (word_dim, hidden_dim))
self.W = np.random.uniform(-np.sqrt(1./hidden_dim), np.sqrt(1./hidden_dim), (hidden_dim, hidden_dim))
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前向传播
类似传统的nn的方法，计算几个矩阵乘法即可：
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def forward_propagation(self, x):
# The total number of time steps
T = len(x)
# During forward propagation we save all hidden states in s because need them later.
# We add one additional element for the initial hidden, which we set to 0
s = np.zeros((T + 1, self.hidden_dim))
s[-1] = np.zeros(self.hidden_dim)
# The outputs at each time step. Again, we save them for later.
o = np.zeros((T, self.word_dim))
# For each time step...
for t in np.arange(T):
# Note that we are indxing U by x[t]. This is the same as multiplying U with a one-hot vector.
s[t] = np.tanh(self.U[:,x[t]] + self.W.dot(s[t-1]))
o[t] = softmax(self.V.dot(s[t]))
return [o, s]
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预测函数可以写为：
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def predict(self, x):
# Perform forward propagation and return index of the highest score
o, s = self.forward_propagation(x)
return np.argmax(o, axis=1)
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损失函数
类似nn方法，使用交叉熵作为损失函数，如果有N个样本，损失函数可以写为：
L(y,o)=−1N∑n∈NynlogonL(y,o)=−1N∑n∈Nynlogon
下面两个函数用来计算损失：
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def calculate_total_loss(self, x, y):
L = 0
# For each sentence...
for i in np.arange(len(y)):
o, s = self.forward_propagation(x[i])
# We only care about our prediction of the "correct" words
correct_word_predictions = o[np.arange(len(y[i])), y[i]]
# Add to the loss based on how off we were
L += -1 * np.sum(np.log(correct_word_predictions))
return L
def calculate_loss(self, x, y):
# Divide the total loss by the number of training examples
N = np.sum((len(y_i) for y_i in y))
return self.calculate_total_loss(x,y)/N
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BPTT学习参数
BPTT（ Backpropagation Through Time）是一种非常直观的方法，和传统的BP类似，只不过传播的路径是个『循环』，并且路径上的参数是共享的。
损失是交叉熵，损失可以表示为：
Et(yt,y^t)E(y,y^)=−ytlogy^t=∑tEt(yt,y^t)=−∑tytlogy^tEt(yt,y^t)=−ytlogy^tE(y,y^)=∑tEt(yt,y^t)=−∑tytlogy^t
其中 ytyt 是真实值， (^yt)(^yt) 是预估值，将误差展开可以用图表示为：
所以对所有误差求W的偏导数为：
∂E∂W=∑t∂Et∂W∂E∂W=∑t∂Et∂W
进一步可以将 EtEt 表示为：
∂E3∂V=∂E3∂y^3∂y^3∂V=∂E3∂y^3∂y^3∂z3∂z3∂V=(y^3−y3)⊗s3∂E3∂V=∂E3∂y^3∂y^3∂V=∂E3∂y^3∂y^3∂z3∂z3∂V=(y^3−y3)⊗s3
根据链式法则和RNN中W权值共享，可以得到：
∂E3∂W=∑k=03∂E3∂y^3∂y^3∂s3∂s3∂sk∂sk∂W∂E3∂W=∑k=03∂E3∂y^3∂y^3∂s3∂s3∂sk∂sk∂W
下图将这个过程表示的比较形象
BPTT更新梯度的代码：
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def bptt(self, x, y):
T = len(y)
# Perform forward propagation
o, s = self.forward_propagation(x)
# We accumulate the gradients in these variables
dLdU = np.zeros(self.U.shape)
dLdV = np.zeros(self.V.shape)
dLdW = np.zeros(self.W.shape)
delta_o = o
delta_o[np.arange(len(y)), y] -= 1.
# For each output backwards...
for t in np.arange(T)[::-1]:
dLdV += np.outer(delta_o[t], s[t].T)
# Initial delta calculation: dL/dz
delta_t = self.V.T.dot(delta_o[t]) * (1 - (s[t] ** 2))
# Backpropagation through time (for at most self.bptt_truncate steps)
for bptt_step in np.arange(max(0, t-self.bptt_truncate), t+1)[::-1]:
# print "Backpropagation step t=%d bptt step=%d " % (t, bptt_step)
# Add to gradients at each previous step
dLdW += np.outer(delta_t, s[bptt_step-1])
dLdU[:,x[bptt_step]] += delta_t
# Update delta for next step dL/dz at t-1
delta_t = self.W.T.dot(delta_t) * (1 - s[bptt_step-1] ** 2)
return [dLdU, dLdV, dLdW]
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梯度弥散现象
tanh和sigmoid函数和导数的取值返回如下图，可以看到导数取值是[0-1]，用几次链式法则就会将梯度指数级别缩小，所以传播不了几层就会出现梯度非常弱。克服这个问题的LSTM是一种最近比较流行的解决方案。
Gradient Checking
梯度检验是非常有用的，检查的原理是一个点的『梯度』等于这个点的『斜率』，估算一个点的斜率可以通过求极限的方式：
∂L∂θ≈limh→0J(θ+h)−J(θ−h)2h∂L∂θ≈limh→0J(θ+h)−J(θ−h)2h
通过比较『斜率』和『梯度』的值，我们就可以判断梯度计算的是否有问题。需要注意的是这个检验成本还是很高的，因为我们的参数个数是百万量级的。
梯度检验的代码：
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def gradient_check(self, x, y, h=0.001, error_threshold=0.01):
# Calculate the gradients using backpropagation. We want to checker if these are correct.
bptt_gradients = self.bptt(x, y)
# List of all parameters we want to check.
model_parameters = ['U', 'V', 'W']
# Gradient check for each parameter
for pidx, pname in enumerate(model_parameters):
# Get the actual parameter value from the mode, e.g. model.W
parameter = operator.attrgetter(pname)(self)
print "Performing gradient check for parameter %s with size %d." % (pname, np.prod(parameter.shape))
# Iterate over each element of the parameter matrix, e.g. (0,0), (0,1), ...
it = np.nditer(parameter, flags=['multi_index'], op_flags=['readwrite'])
while not it.finished:
ix = it.multi_index
# Save the original value so we can reset it later
original_value = parameter[ix]
# Estimate the gradient using (f(x+h) - f(x-h))/(2*h)
parameter[ix] = original_value + h
gradplus = self.calculate_total_loss([x],[y])
parameter[ix] = original_value - h
gradminus = self.calculate_total_loss([x],[y])
estimated_gradient = (gradplus - gradminus)/(2*h)
# Reset parameter to original value
parameter[ix] = original_value
# The gradient for this parameter calculated using backpropagation
backprop_gradient = bptt_gradients[pidx][ix]
# calculate The relative error: (|x - y|/(|x| + |y|))
relative_error = np.abs(backprop_gradient - estimated_gradient)/(np.abs(backprop_gradient) + np.abs(estimated_gradient))
# If the error is to large fail the gradient check
if relative_error > error_threshold:
print "Gradient Check ERROR: parameter=%s ix=%s" % (pname, ix)
print "+h Loss: %f" % gradplus
print "-h Loss: %f" % gradminus
print "Estimated_gradient: %f" % estimated_gradient
print "Backpropagation gradient: %f" % backprop_gradient
print "Relative Error: %f" % relative_error
return
it.iternext()
print "Gradient check for parameter %s passed." % (pname)
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SGD实现
这个公式应该非常熟悉：
W=W−λΔWW=W−λΔW
其中 ΔWΔW 就是梯度，具体代码：
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# Performs one step of SGD.
def numpy_sdg_step(self, x, y, learning_rate):
# Calculate the gradients
dLdU, dLdV, dLdW = self.bptt(x, y)
# Change parameters according to gradients and learning rate
self.U -= learning_rate * dLdU
self.V -= learning_rate * dLdV
self.W -= learning_rate * dLdW
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生成文本
生成过程其实就是模型的应用过程，只需要反复执行预测函数即可：
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def generate_sentence(model):
# We start the sentence with the start token
new_sentence = [word_to_index[sentence_start_token]]
# Repeat until we get an end token
while not new_sentence[-1] == word_to_index[sentence_end_token]:
next_word_probs = model.forward_propagation(new_sentence)
sampled_word = word_to_index[unknown_token]
# We don't want to sample unknown words
while sampled_word == word_to_index[unknown_token]:
samples = np.random.multinomial(1, next_word_probs[-1])
sampled_word = np.argmax(samples)
new_sentence.append(sampled_word)
sentence_str = [index_to_word[x] for x in new_sentence[1:-1]]
return sentence_str
num_sentences = 10
senten_min_length = 7
for i in range(num_sentences):
sent = []
# We want long sentences, not sentences with one or two words
while len(sent) < senten_min_length:
sent = generate_sentence(model)
print " ".join(sent)
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参考文献
Recurrent Neural Networks Tutorial, Part 2 – Implementing a RNN with Python, Numpy and Theano
Recurrent Neural Networks Tutorial, Part 3 – Backpropagation Through Time and Vanishing Gradients