看看Catalan数的公式：为 Catalan(n) = C(2n, n) / n+1 = C(2n, n) - C(2n, n-1); （公式0）
然后利用全排序表达：Catalan(n) = (2n)! / (n+1) * (n)!*n!;
那么Catalan(n-1) = (2(n-1))! / n * (n-1)!(n-1)!;
然后两者相除就得到：Catalan(n) = (4*n-2) / (n+1)
（公式1）//这个就是递归的终极公式了。
一般使用动态规划的递推公式是：Catalan(n) = Catalan(0) * Catalan(n-1) + Catalan(1) * Catalan(n-2) + ... + Catalan(n-1) * Catalan(0);（公式2）
公式1自然比公式2快上一个档次了。
曾经仅仅会用公式2，使用动态规划或者公式0去做，速度自然慢了。
这就这道题目的要诀了。羞愧啊，当时竟然没做出来，由于当时数学水平没跟上。经过一个多月的学习数学，參考了一下网上的程序。最终开窍了。
只是安慰下自己，就是当时做出来的人好像才200人多一点，并且资格赛四道题也只是200人多点做出来的，恰好我做完了。
算法高手究竟有多少呢？不少，也不多。-- 废话。
呵呵。给大家一个衡量的大概尺度。能够把这道题做出来的人应该能够说是高手了，起码数学这块过关了。
记得一个好像是什么外国语学院的。竟然几分钟做出来了。还是外国语学院的，难倒是英语高手+算法高手，厉害。
当然我也是英语高手，呵呵。
扯远了，最后是所谓乘法逆元问题，能够套模板程序了。要知道推导能够參考组合数学书。
就是GCD扩展的算法。扩展之后的系数就是乘法逆元了。
#include <stdio.h> const int N = 1000001;
const long long MOD = (long long)1E9 + 7LL;
long long g; void extGCD(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
if(b == 0)
{
x = 1, y = 0;
g = a;
return ;
}
extGCD(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
} long long modReverse(long long a, long long n)
{
long long x, y;
extGCD(a, n, x, y);
return (x + n) % n;
} long long Catalan[N]; //0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
void genCatalan() //1 1 2 5 14 42 132 429 1430 4862 16796 58786 208012
{
Catalan[0] = Catalan[1] = 1LL;
for (int i = 2; i < N; i++)
{
long long tmp = modReverse(i+1LL, MOD);
Catalan[i] = Catalan[i - 1] * ((i<<2) - 2) % MOD * tmp % MOD;
}
} int main()
{
genCatalan();
int T, num;
scanf("%d", &T);
for (int t = 1; t <= T; t++)
{
scanf("%d", &num);
printf("Case #%d:\n%I64d\n", t, Catalan[num]);
}
return 0;
}
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