1 朴素挖掘方法中的组合数呈指数增长。上文中，关联规则朴素挖掘法的主要脉络是 “组合对象--选举-唱票-计票”。人们说组合对象数量很大，究竟大到什么程度？
从m个对象中选k个对象的组合数记为C(m,k)， 中学数学中， C(m,k)=m!/k!(m-k)!, 下面简单估计它的增大趋势：
C(m,k) 是二项式（1+x）m 展开后第k+1项系数，令x=1，容易得出
∑C(m,k)= (1+1)m= 2 m
所以，二项式展开后的m+1个系数的平均值为2m /(m+1) ，
其分布称为二项分布，中学数学给出前几个是（1,1）（ 1,2,1） （1,3,3,1） （1,4,6,4,1），…大致规律是两头小,中间大,还可用杨辉三角形计算。
中间的系数远大于平均值 2m /（m+1） . 所以说，组合数是大致随m的指数增长的。
于是，朴素挖掘方法耗时也随m的指数增长的，当m=105，(一个超市中的物品数量)，2m /（m+1） 可是天文数字！
为解决朴素挖掘方法中组合爆炸问题，R. Agrawal和 R.Srikant与1994年提出了Aprior算法。
2 Aprior性质 与 数据血统论：高频集的子集一定是高频集
Aprior，形容词，发音 ['ei prai 'o rai]， 其译意包括：演绎的、先天的、先验的、推测的、演绎的、事前的，等等。
笔者体会，Aprior算法命名是采用“先天的”这一层意思（曾与R.Agrawal同登黄山，但兴奋中忘了问这个问题）。
Aprior性质说：高频集的子集一定是高频集，这相当于“龙生龙、凤生凤”，注意，它并未断言“老鼠生儿打地洞”，所以，属于半血统论。
社会生活中，血统论带来不公平，22个世纪前，大泽乡起义的带头人陈胜，代表老百姓的发出了一声呐喊：“王侯将相宁有种乎？”，它穿越时空、而今还振聋发聩（典出《史记·陈涉世家》）。
数据空间中的血统论带来了数据的不公平，正好可用于数据剪枝，尽早排除哪些不必要扫描的对象，从而提高计算速度。
这个数据血统论 有下列两层意思：
2.1，从高频集看其子集
用乒乓球竞赛作比喻，设在10次竞赛中有5次以上夺冠的选手的称为高频选手，（相当于支持度阈值=5/10）；
Aprior性质说：如果双打组合 {A, B} 是高频的，则其子集{A}和{B}都是高频的。
为什么？因已知A, B联手5次夺冠，A还可能和其他选手联手或单打而夺冠，所以A的夺冠总次数不低于5。
Aprior性质对任意k项集都成立，双打只说了k=2的特例；人们都承认它，有公理体系之洁癖的数学美爱好者，也可在一番定义之后去证明它。
2.2 Aprior构造性命题：（k+1）项的高频集一定可以用其两个k项的高频子集 连接而成。
例如，上篇博文中 k=3时, {烤鸭，面饼，面酱} 是高频集，用 JOIN 表示数据库中的连接运算，则这个三项集可用两个双项（高频）集 连接而成，如下所示：
{烤鸭，面饼} JOIN {面饼，面酱} == {烤鸭，面饼，面酱}
要点是，两个记录中的“面饼”作粘连项，用数据库的行话，是两个只有一行的表（关系）做等值连接。
一般地描述，（k+1）项的高频集有（k+1）个k项子集（且都是高频的），容易找到其中的两个，使他们有K-1项相同，连接即可。
3 迅速排除非高频集的法宝
上述Aprior构造性命题的逆否命题是“不能用两个k项高频集连接而成的k+1项集，一定不是高频集”，使得我们能用构造性命题把高频候选集 迭代地、循序渐进地、一个不漏地 构造出来，因为凡是构造不出来，都要排除，不必操心。
这是我们迅速排除非高频集、缩小候选空间的法宝。大致思路的估计如下：
摸着石头过河 试探地确定支持度阈值。 假定超市有10万种商品，想找出同时被购买得比较多的K项集合，K=1,2,..，10。什么是“比较多”？怎样选择支持度阈值T？
T=0.01; 满足此阈值的项多，挖掘系统计算很长时间才算完，可能经济意义小；
T=0.95 ，可能太大，类似于元宵节大部分家庭买汤圆，平时满足此阈值的商品少，甚至为空集；挖掘系统很快（几秒钟-几分钟）就算完了。
选T=20%，即有20%的顾客都买的货物，(这类商品真实存在，例如食品、餐巾纸，卫生纸等等)。比较中庸，有意义，中等时间消耗。
4 Aprior原理作迅速剪枝
下面，为了找到量的感觉，将用常识与合理假定，给出一些具体的数据。
4.1 先找出高频单项集。
设 挖掘系统扫描数据库得知，支持度不小于20% 单项集 只有 100项。
这一次从10万项中剪掉了99.9%。
4.2 只有高频单项集 才有资格 组合成高频双项集的候选集（根据构造性命题）
这个消息太好了，按照Aprior原理，不需扫描 10万种商品，而只需考虑100项商品组成的双项集，他们一共有100（100-1）/2 =4950项，如果采用朴素的笨方法，从10万项产生双项集，会有10^5 *10^5-1）/2 > 10^9项!
这一次剪掉的不少于99.9999999%
当然，没被剪枝的，还需要扫描一次流水账，核实其高频性。
设 4950个双项集中，支持度不小于20%的只有 10项，（双项高频集比单项集要难一些，因为项与项需要“缘分”才能被同时购买），则4940项及其超集都被剪掉了,这一次又剪掉4940/4950=99.7%
4.3 只有高频双项集 才有资格连接成 高频三项集的候选集
10个双项集，彼此连接，产生的三项候选集超集不会超过10*9/2=45项，还不太多，核实其高频性也比较容易了。
以此类推….
总的思想，（a)知道了某项不是高频集，就把它排出；(b)因为它的血统不够高贵，其超集合的血统一定不高贵,也被排除；（c）在理想参数下，每次可能排除绝大部分。
这就是我们用来剪枝，加快的法宝。
5 一举成名的高被引用论文之特征
Aprior算法是IBM Almaden研究中心的 R. Agrawal和 R. Srikant在1994年提出的，发表在数据库界的*国际会议VLDB 94上，在Google 上一搜即得，有兴趣者不妨实查一下，它被引用了11480+ 次，也可在本文附件中下载。
这是*科学家在*国际会议上的一个方向的开创性论文，因为紧凑，原始文献比教科书中相关章节稍难读，更不像科普博文这样浅显。笔者在教学中，常推荐给新入门者，因为它有下列特色：
（1） 它于无中添有，高频数据的先天性质（Aprio性质）天天摆在光天化日下，被普通人熟视无睹、擦肩而过，人群中，有一个人-- R. Agrawal，就像王菲在《传奇》中唱的，多看了它几眼，捅破了这层窗户纸，在人类知识上无中添有（这就是创新），窗户纸有个特点，未破之前，百思不得其解，捅破之后，一目了然，大众认可；
（2） 它也兴风作浪— 独特的算法，并不复杂，掀起了一阵关联规则研究的潮流。
（3） 它像破冰船，破开了关联规则研究方向的拦路坚冰；它像推土机，推开了露天煤矿的表土，又不独贪（矿场太大，也无法独贪），留给后来者的，不是榨干了油水的骨头，所以才有大批后来者跟踪、改进，引出了后来的成百上千篇的改进型论文，才有上万次的引用。
（4） 它很完整，有背景，有模型，有形式化描述，有理论、有算法，这也是数据挖掘界学术论文的标准写法，初学者可在这里学思想、学写法，学实验；
（5） 它有大规模实验验证，实验数据含105个记录，这在当时已经是的“海量”了，当年用的计算机是IBM RS6000，主频 33M，也许在1994年是不错的设备，今天看来，并不高贵。在大规模的数据集上测试算法的规模伸缩性，是如今数据挖掘论文攀登*会议的必要条件。
6 十大算法的Top4 在2006年，国际数据挖掘界推选十大数据挖掘算法，经过严密的程序，几个国际会议程序委员会（ KDD-06, ICDM '06, SDM '06 ，ACM KDD Innovation Award and IEEE，ICDM ）的提名 ---投票---辩论，最后Aprilori 算法名列十大算法的第四名。（关于十大算法，另择机讨论）。
7 不公平的影响因子 VLDB*国际会议，一年只有几十篇论文的空间，进入VLDB似乎比进入奥运会还要难，但会议论文既不上EI，也不上SCI。ISI不计算其影响因子，或ISI影响因子为0。
根据DBLP和Google的论文统计，从1994-2003年，SIGMOD文章平均被引用70次，VLDB文章平均被引用50次。简单抽样表明，引用高峰在前两年，各占10年中引用数的20%以上，如果这个抽样有一般性，则 实际 影响因子可能不小于 10 ，甚至不小于14。
而论文[1]被引用11480+ 次，是特例中的特例，可能进入计算机科学论文被引用次数的高端了。
8 假如R.Agrawal在中国 目前，我国若干学校和科研单位单位并不承认国际会议论文。可能是因为制定科研成果认定政策的官员，多非计算机专业人士，他们只认SCI-EI，而不认这些*会议。（相关问题，或许另择机讨论）。
所以，如果R. Agrawal,和 R. Srikan在中国，如果他们鼓起勇气，用那篇开创性的论文[1]作为申请博士学位或作为提职称的主打材料，可能会像刀郎唱的，受到“冲动的惩罚”。
最近有了好消息，中国计算机学会（CCF）公布了一个“推荐国际学术会议”清单，其中包括数据库界的四个*会议：SIGMOD，VLDB，ICDE 和 SIGKDD，也许这个推荐清单还不足以说服有关官员，但抗争者至少有了一点批判的武器，不再是手无寸铁。
参考文献
[1] R Agrawal, and R Srikant .”Fast Algorithms for Mining Association Rules in Large Databases”, Proceedings of the 20th International Conference on Very Large Data Bases, p.487-499, September 12-15, 1994.
点击这里下载 R Agrawal关于关联规则的开创性论文.pdf