- 一 概述
- 二对称加密和非对称加密
- 对称加密
- 非对称加密
- 区别
- 三RSA原理
- 整数运算
- 同余运算
- 当模数为合数n时
- 当模数为质数p的时候
- 离散对数问题
- RSA原理
一 ， 概述
在现代密码学诞生以前，就已经有很多的加密方法了。例如，最古老的斯巴达加密棒，广泛应用于公元前7世纪的古希腊。16世纪意大利数学家卡尔达诺发明的栅格密码，基于单表代换的凯撒密码、猪圈密码，基于多表代换的维吉尼亚密码，二战中德军广泛使用的恩格玛加密机….但最终都找到了有效的破解算法。
现代密码学的诞生标志是1977年1月由美国国家标准局公布的数据加密标准(Data Encryption Standard，DES)。
在经过20多年之后，为适应现代的安全要求，2000年美国国家和标准技术协会筛选和评测出了被称为AES(Advanced Encryption Standard)的加密算法作为新的加密标准。目前，AES已被广泛使用，且未发现致命缺陷。到目前为止，AES是一个安全的加密算法。
然而，在加密算法之外，面临一个问题，那就是：秘钥的分发。就是说，解密方如何获得加密方的秘钥呢？ 从而出现了：对称加密和非对称加密。
二，对称加密和非对称加密
1. 对称加密
对称加密指的就是加密和解密使用同一个秘钥，所以叫做对称加密。对称加密只有一个秘钥，作为私钥。
常见的对称加密算法：DES，AES，3DES等等。
2. 非对称加密
非对称加密指的是：加密和解密使用不同的秘钥，一把作为公开的公钥，另一把作为私钥。公钥加密的信息，只有私钥才能解密。私钥加密的信息，只有公钥才能解密。
常见的非对称加密算法：RSA，ECC
3. 区别
对称加密算法相比非对称加密算法来说，加解密的效率要高得多。但是缺陷在于对于秘钥的管理上，以及在非安全信道中通讯时，密钥交换的安全性不能保障。所以在实际的网络环境中，会将两者混合使用.
例如针对C/S模型，
1. 服务端计算出一对秘钥pub/pri。将私钥保密，将公钥公开。
2. 客户端请求服务端时，拿到服务端的公钥pub。
3. 客户端通过AES计算出一个对称加密的秘钥X。 然后使用pub将X进行加密。
4. 客户端将加密后的密文发送给服务端。服务端通过pri解密获得X。
5. 然后两边的通讯内容就通过对称密钥X以对称加密算法来加解密。
三，RSA原理
我们先来看这样一些基础知识，并且以下我们讨论全都是整数：
整数运算
在整数运算中 我们定义一个整数x，那么他的负数为-x，并且有x+(-x)=0；
他的倒数为x−1 , 并且有x×x−1 =1;
同余运算
有整数a，b，正整数m。 假如a除以m余b。我们称为a模m同余b，模数为m。并且记为a≡b(modm) ,例如10除以3余1
我们称10模3同余1，记为10≡1(mod3) 。
我们分别讨论模数为合数和质数情况下，基于同余运算的负数和倒数。
1. 当模数为合数n时
简单起见，我们讨论当n为10的情况,10是两个质数乘积
当模数为10的时候，参与运算的都是小于10的数。因为大于10的数除模取余之后都会小于10，所以只需要考虑小于模的数。
那么在同余运算中
一个小于10的数a，他的负数x是什么？ 也就是说使得(a+x)≡0(mod10) ; 那就是n−a,即x=n−a。这里的x就像是常规运算下的-a。常规运算下a+(−a)=0,我们说−a是a的负数，这里(a+x)≡0(mod10)，我们说x是a的负数。;
有a+(n−a)=a+(−a)+n=n≡0(modn) 。 当n=10的时候 ，有如下表
| a | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x | 0 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
那么，a的倒数a−1是什么呢？ 它要使得a×a−1在模数为n的情况下等于1，即a×a−1≡1(modn)
当n=10的时候我们会发现，对于有的数我们可以找到它的倒数，有的数却找不到
例如当a=3，我们可以找到7，使得3×7=21≡1(mod10) ;
而当a=4的时候，我们有4×0=0，4×1=4，4×2=8，4×3=12，4×4=16，4×5=20，4×6=24，4×7=28，4×8=32，4×9=36，在模10的情况下，都不会等于1。
我们对于所有小于10的a都找他的倒数a−1，有下表
| a | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| a−1 | 1 | 不存在 | 7 | 不存在 | 不存在 | 不存在 | 3 | 不存在 | 9 |
有什么规律呢？
数学界已证明：当a<n时，只有当a和n互质才能找到a−1。 同时还有以下结论，当n=p×q ,且p和q都为质数时，所有小于n的数中，能找到倒数的个数为(p−1)×(q−1)个。如果n有更多的质因子，那么计算会更复杂点。
我们把所有小于n，并且能和n互质的数的总个数记为一个函数φ(n) ，这个函数叫做欧拉函数。例
即当n=p×q ,且p和q都为质数时，有φ(n)=(p−1)×(q−1), 那么就有φ(10)=(2−1)×(5−1)=4
同时这些数还有以下两个有趣的情况
-
这些数之间进行互乘的同余运算，结果还是这些数。
例如对于1：1×1≡1(mod10), 1×3≡3(mod10), 1×7≡7(mod10), 1×9≡9(mod10)
对于3：3×1≡3(mod10), 3×3≡9(mod10), 3×7≡1(mod10), 3×9≡7(mod10)
对于7：7×1≡7(mod10),7×3≡1(mod10),7×7≡9(mod10),7×9≡3(mod10)
对于9：9×1≡9(mod10),9×3≡7(mod10),9×7≡3(mod10),9×9≡1(mod10)
如果一些数在互相运算之后，得到的结果还是这些数中，我们称这些数在这个运算条件下具有封闭性。
对这些数进行求幂运算，并且再模10，结果如下表
| a | 1 | 3 | 7 | 9 |
|---|---|---|---|---|
| a0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| a1 | 1 | 3 | 7 | 9 |
| a2 | 1×1=1 | 3×3=9 | 7×7=9 | 9×9=1 |
| a3 | 1×1×1=1 | 3×3×3=7 | 7×7×7=3 | 9×9×9=9 |
| a4 | 1×1×1×1=1 | 3×3×3×3=1 | 7×7×7×7=1 | 1×1×1×1=1 |
其中，
我们规定a0≡1(mod10)
所有aφ(10)的结果都为1,即有aφ(n)≡1(mod10)。(根据前面的介绍可知这里的φ(10)=(2−1)×(5−1)=4)
-
对于3和7来说，他们的a0、a1、a2、a3刚好把1,3,7,9各得到了一遍。到a4时刚好又回到了1，如果大于4之后，又会开始循环
在模n的情况下一定能找到一个数g,使得g0、g1、g2、……gφ(n)−1刚好把所有与n互质并且小于n的数各得到一遍。我们把满足这种条件的数称为 生成元。
2. 当模数为质数p的时候
当模p为质数的时候，我们假设p=7时。
同样求小于 p 的数 a 的负数 x 使得(a+x)≡0(mod10)有如下表
| a | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| x | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
而求a的倒数时，因为p是质数，所有小于p的数都和它互质。所以，所有小于p的数a都能找到它的倒数−a。它的欧拉函数φ(n)=p−1。
如下表
| a | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| a−1 | 1 | 4 | 5 | 2 | 3 | 6 |
它同样有模数为合数n时的性质
- 这些数在同余运算规则下进行乘法运算，同样具有封闭性
- 任意的a求幂依然满足aφ(n)=1的规则，且同样有生成元
3. 离散对数问题
前面我们得到了有这么一个结论:
在模n的情况下一定能找到一个数g,使得g0, g1 ,g2、……gφ(n)−1刚好把所有与n互质并且小于n的数各得到一遍。我们把满足这种条件的数称为 生成元。
那么，在模n的条件下，给定它的生成元g,以及一个小于n的正整数a。通过一个叫做同余幂的算法能够快速的算出ga的值,我们把算得的结果记为b。 即我们在模n的条件下，能够快速的算出b=ga的值。
由于生成元的特性，我们知道，在模n的条件下，给定生成元g，以及b的值，一定存在一个小于n的正整数a，使得b=ga。那么如何求a的值？
我们发现，这个问题没有任何规律。例如，当n=11，g=2时，有如下表
| g | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| b=ga | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 1 |
| a | 0 | 1 | 8 | 2 | 4 | 9 | 7 | 3 | 6 | 5 | 10 |
在实数计算中，我们知道当b=ga时，a=logbg。然而这个计算在模n的条件下非常困难。这样一个问题被称为离散对数问题。在目前的技术条件下，这是一个极为困难的计算。当这个n值达到十进制两三百位时，即便是有大型计算机的情况下，所要花费的时间依然是个天文数字。
4.RSA原理
当n=p×q，p与q是两个大质数。只知道n的值，想要计算p和q，这是一个世界性的极为困难的数学难题。RSA的基础就是基于的n的两个质数分解难题。
具体过程如下：
-
Alice选择两个大质数p和q，求得n=p×q。计算φ(n)=(p−1)×(q−1)，接下来，Alice选择一个与φ(n)互质的数e，并计算e−1在模为φ(n)下的值，将计算出的值记为s。
我们知道，e与φ(n)互质，所以一定存在e−1, 这一步，service 就算出了公钥和私钥，其中，公钥为(e，n),私钥为(s，n)
接下来，Bob可以在非安全信道请求Alice获得公钥。Evl通过中间攻击，只能获得(e,n),以及密文D。假定Bob需要发送的内容为m，计算D=me(modn),然后把D发送给Alice
Alice收到D之后，计算me(e−1)(modn)=me×e−1(modn)≡m(modn).
其中，在不安全信道中传输的是n和e。然而，p和q只有Alice才知道，即便Eval获得了n，基于质数分解难题，他无法算出p和q，也就无法算出私钥s来揭秘被加密的消息。
且，m不能是大于n的数，当m大于n时可以拆分之后分段加密。
举个例子吧
- 假设取两个质数p=11, q=13,那么n=143.
φ(n)=(p−1)∗(q−1)=120。
随意选取一个和φ(n)互质的数e，假定这个数字为7,即e=7，
那么e−1=63,使得e∗e−1再模n等于1,即e∗e−1≡1(modn). - 公钥为(e，n),即(7，143)。
私钥为(s，n)， 即(63，143)。
要加密的原始数据为m，假设m=13。(计算机中任何数据，最后传输或者保存都会转换成二进制的数据) - 加密过程：Bob请求Alice，获得公钥，密文为D, D=137(mod143)=117。 Bob将D传输出去。
- Evl通过中间攻击，只能获得(e,n),以及密文D
- 解密过程：Alice获得D，通过只有Alice才有的私钥进行解密。11713(mod143)=13,获得了原始数据。
这里的11和13比较小，知道公钥为(7,143)之后，容易将143做因式分解求的11与13,从而可以算出e−1。但是当p和q是两个非常大的的质数的时候，就很难将其分解出来。 这样，就无法算出e−1。从而不能从密文中获得原始数据。