二叉树及其操作

时间：2022-03-17 14:04:51

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前言：Java数据结构与算法专题会不定时更新，欢迎各位读者监督。本篇主要介绍二叉树的概念、二叉树的表示、二叉树的操作（三种遍历方式实现、求二叉树的子树、求节点的父节点、二叉树高度....），可能是考试中的，也可能是面试中的。

1、二叉树

1.二叉树的定义

二叉树（Binary Tree）是有限个节点的集合，这个集合可以是空集，也可以是一个根节点和两颗不相交的子二叉树组成的集合，其中一颗树叫根的左子树，另一颗树叫右子树。所以二叉树是一个递归地概念。

值得注意的是二叉树规定自己可以使空集，而且很明确的区分了一个根节点的两个子树分别是左子树和右子树，如下图所示的两棵树就不是同一棵树。

二叉树及其操作

2.两种特殊的二叉树

2.1 满二叉树（Full Binary Tree）
一棵满二叉树就是高度为k，且拥有(2^k)-1个节点的二叉树，一棵满二叉树每个节点，要么都有两棵子树，要么都没有子树；而且每一层所有的节点之间必须要么都有两棵子树，要么都没子树。
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2.2 完全二叉树（Complete Binary Tree）
完全二叉树是一颗特殊的二叉树，它遵循以下规则：
假设完全二叉树高度为k，则完全二叉树需要符合以下两点：
1）所有叶子节点都出现在k层或k-1层，并且从1~k-1层必须达到最大节点数。
2）第k层可以是不满的，但是第k层的所有节点必须集中在最左边。
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3.二叉树的实现

二叉树的实现要比普通树容易，因为其每个节点最多只有两个子节点
其实，二叉树的每个左右子节点仍是一颗二叉树，因此，我们可以使用递归的方式来定义二叉树，二叉树的实现代码如下

public class BinaryTreeNode { private int data; //数据 private BinaryTreeNode leftChirld; //左孩子 private BinaryTreeNode rightChirld; //右孩子 public int getData() { return data; } public void setData(int data) { this.data = data; } public BinaryTreeNode getLeftChirld() { return leftChirld; } public void setLeftChirld(BinaryTreeNode leftChirld) { this.leftChirld = leftChirld; } public BinaryTreeNode getRightChirld() { return rightChirld; } public void setRightChirld(BinaryTreeNode rightChirld) { this.rightChirld = rightChirld; } }

这种实现方式称之为二叉树的左右链表表示法，如图所示
二叉树及其操作
到此为止，二叉树的节点已经有了，接下来是对二叉树的操作，比如创建二叉树、添加元素、清空元素、遍历二叉树...
3.1 二叉树的创建
创建二叉树，一般有两种情况：初始化一个根节点或者初始化一棵空二叉树。代码如下：

public class BinaryTree { private BinaryTreeNode root; //初始化二叉树 public BinaryTree(){} public BinaryTree(BinaryTreeNode root){ this.root = root; } public void setRoot(BinaryTreeNode root){ this.root = root; } public BinaryTreeNode getRoot(){ return root; } }

3.2 二叉树的清空
对于二叉树的清空，首先提供一个清空某个节点为根节点的子树的方法，即递归的删除每个节点；接着提供删除一个删除树的方法：

    /** * 二叉树的清空： * 首先提供一个清空以某个节点为根节点的子树的方法，既递归地删除每个节点； * 接着提供一个删除树的方法，直接通过第一种方法删除到根节点即可 */ //清除某个子树的所有节点 public void clear(BinaryTreeNode node){ if(node!=null){ clear(node.getLeftChirld()); clear(node.getRightChirld()); node = null; //删除节点 } } //清空树 public void clear(){ clear(root); }

3.3 判断二叉树是否为空
只需判断根节点是否存在即可：

    //判断二叉树是否为空 public boolean isEmpty(){ return root == null; }

3.4 求二叉树的高度
思路：首先需要一种获取以某个节点为子树的高度方法，使用递归实现。如果一个节点为空，那么这个节点肯定是一颗空树，高度为0；如果不为空，则遍历地比较它的左右子树高度，高的一个为这颗子树的最大高度，然后加上自身的高度即可

    /** * 求二叉树的高度： * 首先要一种获取以某个节点为子树的高度的方法，使用递归调用。 * 如果一个节点为空，那么这个节点肯定是一颗空树，高度为0； * 如果不为空，那么我们要遍历地比较它的左子树高度和右子树高度， * 高的一个为这个子树的最大高度，然后加上自己本身的高度就是了 * 获取二叉树的高度，只需要调用第一种方法，即传入根节点 */ //获取二叉树的高度 public int heigh(){ return heigh(root); } //获取以某节点为子树的高度 public int heigh(BinaryTreeNode node){ if(node==null){ return 0; //递归结束，空子树高度为0 }else{ //递归获取左子树高度 int l = heigh(node.getLeftChirld()); //递归获取右子树高度 int r = heigh(node.getRightChirld()); //高度应该算更高的一边，（+1是因为要算上自身这一层） return l>r? (l+1):(r+1); } }

3.5 求二叉树的节点数
思路：获取二叉树节点数，需要获取以某个节点为根的子树的节点数实现。
如果节点为空，则个数肯定为0；如果不为空，则算上这个节点之后，继续递归计算所有子树的节点数，全部相加即可

    /** * 获取二叉树的节点数 */ public int size(){ return size(root); } /** * 求二叉树的节点数： * 求节点数时，我们看看获取某个节点为子树的节点数的实现。 * 首先节点为空，则个数肯定为0； * 如果不为空，那就算上这个节点之后继续递归所有左右子树的子节点数， * 全部相加就是以所给节点为根的子树的节点数 * 如果求二叉树的节点数，则输入根节点即可 */ public int size(BinaryTreeNode node){ if(node==null){ return 0; //如果节点为空，则返回节点数为0 }else{ //计算本节点 所以要+1 //递归获取左子树节点数和右子树节点数，最终相加 return 1+size(node.getLeftChirld())+size(node.getRightChirld()); } }

3.6 返回某节点的父亲节点
思路：首先，同样需要通过一种方法来获取某个节点在某个子树中的父节点，这里使用递归实现，接着通过这种方法获取这个节点在二叉树中的父节点
事实上，以现有的这种二叉树的形式，我们并没有办法直接获取一个节点的父节点， 这里只能通过从根节点遍历来比较获取

    //node节点在subTree子树中的父节点 public BinaryTreeNode getParent(BinaryTreeNode subTree,BinaryTreeNode node){ if(subTree==null){ return null; //如果是空子树，则没有父节点 } if(subTree.getLeftChirld()==node || subTree.getRightChirld() == node){ return subTree; //如果子树的根节点的左右孩子之一是待查节点，则返回子树的根节点 } BinaryTreeNode parent = null; if(getParent(subTree.getLeftChirld(),node)!=null){ parent = getParent(subTree.getLeftChirld(),node); return parent; }else{ //递归左右子树 return getParent(subTree.getRightChirld(),node); } } //查找node节点在二叉树中的父节点 public BinaryTreeNode getParent(BinaryTreeNode node){ return (root==null||root==node)? null:getParent(root,node); }

3.7 返回左右子树
这个操作很简单，直接用节点的方法来获取即可

    //获取某个节点的左子树 public BinaryTreeNode getleftTree(BinaryTreeNode node){ return node.getLeftChirld(); } //获取某个节点的右子树 public BinaryTreeNode getrightTree(BinaryTreeNode node){ return node.getRightChirld(); }

3.8 二叉树的插入
二叉树的插入分析：

 * 分两种情况：插入某个节点的左子节点；插入某个节点的右子节点
 * 值得指出的是，当这个节点本身有子节点时，这样的插入也会覆盖原来在这个位置上的节点。
 * 另外，虽然插入的是子节点，但是子节点也可以代表一颗子树。
 * 因为但从这个节点来看并不知道这个节点是否有左右子树存在，所以虽然插入的是一个节点，但有可能
 * 插入可很多节点（插入的是一颗子树）
    //给某个节点插入左节点 public void insertLeft(BinaryTreeNode parent,BinaryTreeNode newnode){ parent.setLeftChirld(newnode); } //给某个节点插入右节点 public void insertRitht(BinaryTreeNode parent,BinaryTreeNode newnode){ parent.setRightChirld(newnode); }
4、二叉树的遍历

二叉树的遍历是按照一定的规律来顺序遍历各二叉树节点，使得每个节点都会被访问且仅访问一次。通常二叉树的遍历根据根节点的遍历次序分为：先根遍历、中根遍历、后根遍历。
4.1 先根遍历(PreOrder)
若二叉树为空，则退出，否则进行下面操作

  • 访问根节点
  • 先根遍历左子树
  • 先根遍历右子树
  • 退出

按照先根遍历地方式，遍历如下二叉树，则访问顺序为：A、B、D、H、I、E、J、C、F、G
二叉树及其操作

    public void PreOrder(BinaryTreeNode node){ if(node!=null){ System.out.println(node.getData()); //先访问根节点 PreOrder(node.getLeftChirld()); //先根遍历左子树 PreOrder(node.getRightChirld()); //先根遍历右子树 } }

4.2 中根遍历(InOrder)
若二叉树为空，则退出，否则进行下面操作

  • 中根遍历左子树
  • 访问根节点
  • 中根遍历右子树
  • 退出

按照中根遍历地方式，遍历如下二叉树，则访问顺序为：H、D、I、B、J、E、A、F、C、G
二叉树及其操作

    public void InOrder(BinaryTreeNode node){ if(node!=null){ InOrder(node.getLeftChirld()); //中根遍历左子树 System.out.println(node); //访问根节点 InOrder(node.getRightChirld()); //中根遍历右子树 } }

4.3 后根遍历(PostOrder)
若二叉树为空，则退出，否则进行下面操作

  • 后根遍历左子树
  • 后根遍历右子树
  • 访问根节点
  • 退出

按照后根遍历地方式，遍历如下二叉树，则访问顺序为：H、I、D、J、E、B、F、G、C、A
二叉树及其操作

    public void PostOrder(BinaryTreeNode node){ if(node!=null){ PostOrder(node.getLeftChirld()); //后根遍历左子树 PostOrder(node.getRightChirld()); //后根遍历右子树 System.out.println(node); //访问根节点 } } }

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