hdu_1573 X问题(不互素的中国剩余定理)

时间：2021-09-23 05:15:44

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1573

X问题

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Problem Description
求在小于等于N的正整数中有多少个X满足：X mod a[0] = b[0], X mod a[1] = b[1], X mod a[2] = b[2], …, X mod a[i] = b[i], … (0 < a[i] <= 10)。
 
Input
输入数据的第一行为一个正整数T，表示有T组测试数据。每组测试数据的第一行为两个正整数N，M (0 < N <= 1000,000,000 , 0 < M <= 10)，表示X小于等于N，数组a和b中各有M个元素。接下来两行，每行各有M个正整数，分别为a和b中的元素。
 
Output
对应每一组输入，在独立一行中输出一个正整数，表示满足条件的X的个数。
 
Sample Input
3
10 3
1 2 3
0 1 2
100 7
3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7
10000 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 
Sample Output
1
0
3
 
Author
lwg
 
Source
 

题解：

这个题直接给出了中国剩余定理的形式：X===a[i](mod b[i])但是这里注意一下这个b[i]之间有可能不是互素的，所以这里给出一个不互素的中国剩余定理的求解方式

考虑两个方程

x===a1(mod b1)

x===a2(mod b2)

可得：x = a1+b1*r1;

　　　x = a2+b2*r2;

有 a1+b1*r1 = a2+b2*r2;

有b1*r1-b2*r2 = a2-a1

这样可以通过扩展欧几里得解的r1，这里注意一下(a2-a1)%gcd(b1,b2)==0时候有解

解出r1后则x0 = a1+b1*r1位这个方程组的一个解

则这两个方程可以写成是x===x0(mod b1*b2/gcd(b1,b2))的形式

然后依次处理没两个式子，最后得到的就是解

注意这里每次求得的解都要保证是最小的解的形式，所以可以通过用(x%mod+mod)%mod 的形式来控制

最后统计次数的时候从最小的时候循环到n即可统计出个数

代码：

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 using namespace std;

 #define ll long long

 ll a[],b[];

 ll exgcd(ll a, ll b, int &x, int &y)

 {

     if(b==){

         x = ;

         y = ;

         return a;

     }

     ll ans = exgcd(b,a%b,x,y);

     int tx = x;

     x = y;

     y = tx-(a/b)*y;

     return ans;

 }

 int main()

 {

     int T;

     scanf("%d",&T);

     while(T--)

     {

         ll n,m;

         scanf("%lld%lld",&n,&m);

         for(int i = ; i < m; i++){

             scanf("%lld",&a[i]);

         }

         for(int i = ; i < m; i++){

             scanf("%lld",&b[i]);

         }

         bool fl = ;

         for(int i = ; i < m; i++){

             //更新a[i]和b[i];

             int x, y;

             ll d = exgcd(a[i-],a[i],x,y);

             if((b[i]-b[i-])%d){

                 fl = true;

                 break;

             }

             ll t = a[i]/d;

             x = x*(b[i]-b[i-])/d;

             x = (x%t+t)%t;

             ll N = a[i-]*x+b[i-];

             b[i] = N;

             a[i] = a[i]*a[i-]/d;

             b[i] = (b[i]%a[i]+a[i])%a[i];

         }

         if(fl||n<b[m-]) printf("0\n");

         else printf("%d\n",(n-b[m-])/a[m-]+-(b[m-]==?:));//因为要求是正整数，所以0不可以取

     }

     return ;

 }

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