[置顶] 数学分析里面的蕴含(⇒)到底是什么意思

前言：数学分析里面A蕴含B，记作：A⇒B（在逻辑学上记作A→B），其真值表如下：

ABA⇒B
TTT
TFF
FTT
FFT

(其中T为true，F为false)

分析：通过上面的真值表，我们可以简单得到如下的几个结论：

结论1 若A为F，无论B值是T或F，都可得到A⇒B为真。

结论2 要想A⇒B为真，只需验证不会出现A为T，B为F的情况。

深入：蕴含，其实是语意上比较弱的定义，A蕴含B，表示A包含B，更确切的，表示A如果为T则B有可能为T。就是说蕴含其实是一种包含关系，或者更确切的是一种可能域（可能域是笔者自创的词，B的可能域意指B是否可能发生，可能域只有可能和不可能两个值）的关系。注意到A和B有可能相关也有可能不相关，不难想象可能域的概念要比包含关系更泛，因为可能域可以描述A和B相关和不相关的情况，而包含只用于相关情况。（所以可以这么说：包含⇒可能域）。下面来验证一下上面两个结论。

1 A和B不相关，用可能域来验证。

a)  验证结论1：

A：太阳打西边出来（假）。

B：牛有八只脚（假） /   牛有四只脚（真）。

可以看到太阳打西边出来是假命题（都知道太阳是不可能打西边出来），这样可以断言A⇒B（A蕴含B），因为A为假命题的话讨论A⇒B真假就不需要看B的值了，可以想想，原本是假命题的如果成真了，逻辑乱套了，B自然有可能为真命题也有可能假命题。在这里可以表述为：如果太阳都打西边出来了，牛有可能有八只脚，当然也有可能有四只脚。（这其实就像讨论 1 || X，可以看到我们不用知道X，就能断言1 || X 为true。）（注意到我们这里用的是可能的概念。）

b)  验证结论2：

A：太阳打东边出来（真）。

B：牛有八只脚（假） /   牛有四只脚（真）。

在这里A是真命题，来看下面的表达：如果太阳打东边出来（显然），那牛有没有可能为八只脚。很显然没可能，因此是得不到A⇒B的。再来看：如果太阳打东边出来（显然），那牛有没有可能为四只脚（显然）。很显然可能，因此能得到A⇒B。可以看到想要A⇒B，只需要验证太阳打东边出来（真命题）时，不会出现假命题——牛有八只脚（假命题）的情况。这样得到了验证。

2 A和B相关，分两种情况。

a)  验证结论1：

这种情况只能运用不相关情况的可能域来判断，同上面A和B不相关的验证结论1同。

b) 验证结论2：

这种情况就可以运用包含的概念来描述了，特别地，包含关系可以画图表述。

A：Danny来过广州。

B：Danny来过中国。

这个可以用一张图来表述如下：

这样能清楚地看到Danny来过中国的可能域（这里的可能域值的是圆圈包含的范围）要比Danny来过广州的可能域要大。（所以可以断言A⇒B。）

再来看结论2，有没有可能在Danny来过广州的圈圈里时，不在Danny来过中国的圈圈里呢？很显然不可能，因此验证了结论2。