UVa 10828 Back to Kernighan-Ritchie (数学期望 + 高斯消元)

时间：2021-10-25 04:48:31

题意：给定一个 n 个结点的有向图，然后从 1 结点出发，从每个结点向每个后继结点的概率是相同的，当走到一个没有后继结点后，那么程序终止，然后问你经过每个结点的期望是次数是多少。

析：假设 i 结点的出度为 di，期望执行次数为 xi，对于一个有 n 个前继结点的 a1, a2, a3 ... an 的结点 i，可以列出方程 xi = xa1/da1 + xa2/da2 + .. + xan/dan，根据每个结点都可以列出一个方程，然后就有 n 个方程，其中结点 1 比较特殊，因为是由它开始的所以看作它有一个前继虚拟结点 0，而 0 只执行一次，所以有 n 个前继结点的 a1, a2, a3 ... an 的结点 1，可以列出方程 x1 = xa1/da1 + xa2/da2 + .. + xan/dan + 1，注意末尾有一个 1，然后就有 n 个方程，然后用高斯消元-约当消元法，注意的是此题可能有无穷多解，和惟一解，多解也就是说最后所以得到的增广矩阵 A[i][i] = 0 && A[i][n] != 0，这样就是无穷大的答案，再就是 A[i][i] = 0 && A[i][n] = 0，这样的话答案就是 0。

代码如下：

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")

#include <cstdio>

#include <string>

#include <cstdlib>

#include <cmath>

#include <iostream>

#include <cstring>

#include <set>

#include <queue>

#include <algorithm>

#include <vector>

#include <map>

#include <cctype>

#include <cmath>

#include <stack>

#include <sstream>

#include <list>

#include <assert.h>

#include <bitset>

#include <numeric>

#define debug() puts("++++")

#define gcd(a, b) __gcd(a, b)

#define lson l,m,rt<<1

#define rson m+1,r,rt<<1|1

#define fi first

#define se second

#define pb push_back

#define sqr(x) ((x)*(x))

#define ms(a,b) memset(a, b, sizeof a)

#define sz size()

#define pu push_up

#define pd push_down

#define cl clear()

#define lowbit(x) -x&x

//#define all 1,n,1

#define FOR(i,n,x)  for(int i = (x); i < (n); ++i)

#define freopenr freopen("in.in", "r", stdin)

#define freopenw freopen("out.out", "w", stdout)

using namespace std;

typedef long long LL;

typedef unsigned long long ULL;

typedef pair<int, int> P;

const int INF = 0x3f3f3f3f;

const LL LNF = 1e17;

const double inf = 1e20;

const double PI = acos(-1.0);

const double eps = 1e-8;

const int maxn = 100 + 5;

const int maxm = 1e6 + 2;

const LL mod = 1000000007;

const int dr[] = {-1, 1, 0, 0, 1, 1, -1, -1};

const int dc[] = {0, 0, 1, -1, 1, -1, 1, -1};

const char *de[] = {"0000", "0001", "0010", "0011", "0100", "0101", "0110", "0111", "1000", "1001", "1010", "1011", "1100", "1101", "1110", "1111"};

int n, m;

const int mon[] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};

const int monn[] = {0, 31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};

inline bool is_in(int r, int c) {

  return r >= 0 && r < n && c >= 0 && c < m;

}

vector<int> G[maxn];

int d[maxn];

bool ok[maxn];

double A[maxn][maxn];

void solve(){

  for(int i = 0; i < n; ++i){

    int r = i;

    for(int j = i+1; j < n; ++j)

      if(fabs(A[j][i]) > fabs(A[r][i]))  r = j;

    if(fabs(A[r][i]) < eps)  continue;

    if(r != i)  for(int j = i; j <= n; ++j)  swap(A[r][j], A[i][j]);

    for(int k = 0; k < n; ++k)  if(k != i)

      for(int j = n; j >= i; --j)  A[k][j] -= A[k][i] / A[i][i] * A[i][j];

  }

}

int main(){

  int kase = 0;

  while(scanf("%d", &n) == 1 && n){

    for(int i = 0; i < n; ++i)  G[i].cl;

    ms(d, 0);  ms(ok, 0);  ms(A, 0);  A[0][n] = 1.;

    int a, b;

    while(scanf("%d %d", &a, &b) == 2 && a+b){

      G[b-1].pb(a-1);  ++d[a-1];

    }

    for(int i = 0; i < n; ++i){

      A[i][i] = 1.;

      for(int j = 0; j < G[i].sz; ++j)

        A[i][G[i][j]] -= 1. / d[G[i][j]];

    }

    solve();

    for(int i = n-1; i >= 0; --i){

      if(fabs(A[i][i]) < eps && fabs(A[i][n]) > eps){  ok[i] = true;  continue; }

      for(int j = i+1; j < n; ++j)

        if(fabs(A[i][j]) > eps && ok[j])  ok[i] = true;

    }

    printf("Case #%d:\n", ++kase);

    scanf("%d", &m);

    int x;

    while(m-- && scanf("%d", &x) == 1)

      if(ok[x-1])  puts("infinity");

      else if(fabs(A[x-1][x-1]) < eps)  printf("0.000\n");

      else printf("%.3f\n", A[x-1][n] / A[x-1][x-1]);

  }

  return 0;

}

　　

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