聊聊DP入门之整数拆分！

 整数拆分

力扣题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/integer-break

给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:

• 输入: 2
• 输出: 1
• 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

• 输入: 10
• 输出: 36
• 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

思路

看到这道题目，都会想拆成两个呢，还是三个呢，还是四个....

我们来看一下如何使用动规来解决。

动态规划

动规五部曲，分析如下：

确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。

dp[i]的定义讲贯彻整个解题过程，下面哪一步想不懂了，就想想dp[i]究竟表示的是啥!

确定递推公式

可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢?

其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i].

一个是j * (i - j) 直接相乘。

一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)，对这个拆分不理解的话，可以回想dp数组的定义。

那有同学问了，j怎么就不拆分呢?

j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

也可以这么理解，j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。

如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上了。

所以递推公式：dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});

那么在取最大值的时候，为什么还要比较dp[i]呢?

因为在递推公式推导的过程中，每次计算dp[i]，取最大的而已。

dp的初始化

不少同学应该疑惑，dp[0] dp[1]应该初始化多少呢?

有的题解里会给出dp[0] = 1，dp[1] = 1的初始化，但解释比较牵强，主要还是因为这么初始化可以把题目过了。

严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值。

拆分0和拆分1的最大乘积是多少?

这是无解的。

这里我只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议!

确定遍历顺序

确定遍历顺序，先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。

枚举j的时候，是从1开始的。i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。

所以遍历顺序为：

1. for (int i = 3; i <= n ; i++) { 
2.     for (int j = 1; j < i - 1; j++) { 
3.         dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j)); 
4.     } 
5. } 

举例推导dp数组

举例当n为10 的时候，dp数组里的数值，如下：

整数拆分

以上动规五部曲分析完毕，C++代码如下：

1. class Solution { 
2. public: 
3.     int integerBreak(int n) { 
4.         vector<int> dp(n + 1); 
5.         dp[2] = 1; 
6.         for (int i = 3; i <= n ; i++) { 
7.             for (int j = 1; j < i - 1; j++) { 
8.                 dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j)); 
9.             } 
10.         } 
11.         return dp[n]; 
12.     } 
13. }; 

• 时间复杂度：
• 空间复杂度：

贪心

本题也可以用贪心，每次拆成n个3，如果剩下是4，则保留4，然后相乘，但是这个结论需要数学证明其合理性!

我没有证明，而是直接用了结论。感兴趣的同学可以自己再去研究研究数学证明哈。

给出我的C++代码如下：

1. class Solution { 
2. public: 
3.     int integerBreak(int n) { 
4.         if (n == 2) return 1; 
5.         if (n == 3) return 2; 
6.         if (n == 4) return 4; 
7.         int result = 1; 
8.         while (n > 4) { 
9.             result *= 3; 
10.             n -= 3; 
11.         } 
12.         result *= n; 
13.         return result; 
14.     } 
15. }; 

时间复杂度：

空间复杂度：

总结

本题掌握其动规的方法，就可以了，贪心的解法确实简单，但需要有数学证明，如果能自圆其说也是可以的。

其实这道题目的递推公式并不好想，而且初始化的地方也很有讲究，我在写本题的时候一开始写的代码是这样的：

1. class Solution { 
2. public: 
3.     int integerBreak(int n) { 
4.         if (n <= 3) return 1 * (n - 1); 
5.         vector<int> dp(n + 1, 0); 
6.         dp[1] = 1; 
7.         dp[2] = 2; 
8.         dp[3] = 3; 
9.         for (int i = 4; i <= n ; i++) { 
10.             for (int j = 1; j < i - 1; j++) { 
11.                 dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * dp[j]); 
12.             } 
13.         } 
14.         return dp[n]; 
15.     } 
16. }; 

这个代码也是可以过的!

在解释递推公式的时候，也可以解释通，dp[i] 就等于 拆解i - j的最大乘积 * 拆解j的最大乘积。看起来没毛病!

但是在解释初始化的时候，就发现自相矛盾了，dp[1]为什么一定是1呢?根据dp[i]的定义，dp[2]也不应该是2啊。

但如果递归公式是 dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * dp[j]);，就一定要这么初始化。递推公式没毛病，但初始化解释不通!

虽然代码在初始位置有一个判断if (n <= 3) return 1 * (n - 1);，保证n<=3 结果是正确的，但代码后面又要给dp[1]赋值1 和 dp[2] 赋值 2，这其实就是自相矛盾的代码，违背了dp[i]的定义!

我举这个例子，其实就说做题的严谨性，上面这个代码也可以AC，大体上一看好像也没有毛病，递推公式也说得过去，但是仅仅是恰巧过了而已。

其他语言版本

Java

1. class Solution { 
2.     public int integerBreak(int n) { 
3.         //dp[i]为正整数i拆分结果的最大乘积 
4.         int[] dp = new int[n+1]; 
5.         dp[2] = 1; 
6.         for (int i = 3; i <= n; ++i) { 
7.             for (int j = 1; j < i - 1; ++j) { 
8.                 //j*(i-j)代表把i拆分为j和i-j两个数相乘 
9.                 //j*dp[i-j]代表把i拆分成j和继续把(i-j)这个数拆分，取(i-j)拆分结果中的最大乘积与j相乘 
10.                 dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * (i - j), j * dp[i - j])); 
11.             } 
12.         } 
13.         return dp[n]; 
14.     } 
15. } 

Python

1. class Solution: 
2.     def integerBreak(self, n: int) -> int: 
3.         dp = [0] * (n + 1) 
4.         dp[2] = 1 
5.         for i in range(3, n + 1): 
6.             # 假设对正整数 i 拆分出的第一个正整数是 j（1 <= j < i），则有以下两种方案： 
7.             # 1) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 不再拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * (i-j) 
8.             # 2) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 继续拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * dp[i-j] 
9.             for j in range(1, i - 1): 
10.                 dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j])) 
11.         return dp[n] 

Go

1. func integerBreak(n int) int { 
2.     /** 
3.     动态五部曲 
4.     1.确定dp下标及其含义 
5.     2.确定递推公式 
6.     3.确定dp初始化 
7.     4.确定遍历顺序 
8.     5.打印dp 
9.     **/ 
10.     dp:=make([]int,n+1) 
11.     dp[1]=1 
12.     dp[2]=1 
13.     for i:=3;i<n+1;i++{ 
14.         for j:=1;j<i-1;j++{ 
15. // i可以差分为i-j和j。由于需要最大值，故需要通过j遍历所有存在的值，取其中最大的值作为当前i的最大值，在求最大值的时候，一个是j与i-j相乘，一个是j与dp[i-j]. 
16.             dp[i]=max(dp[i],max(j*(i-j),j*dp[i-j])) 
17.         } 
18.     } 
19.     return dp[n] 
20. } 
21. func max(a,b int) int{ 
22.     if a>b{ 
23.         return a 
24.     } 
25.     return b 
26. } 

Javascript

1. var integerBreak = function(n) { 
2.     let dp = new Array(n + 1).fill(0) 
3.     dp[2] = 1 
4.  
5.     for(let i = 3; i <= n; i++) { 
6.         for(let j = 1; j < i; j++) { 
7.             dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - j] * j, (i - j) * j) 
8.         } 
9.     } 
10.     return dp[n] 
11. }; 

原文链接：https://mp.weixin.qq.com/s/J9OiYZfrSsy0xbW-0at8cQ