首先，什么叫多重背包呢？
大概意思就是：一个背包有V总容量，有N种物品，其价值分别为Val1,Val2……,Val3,体积对应的是Vol1，Vol2,……,Vol3，件数对应Num1,Num2……,Num3
求背包至多装满的最大总价值。
其实，首先可以当作01背包来做，这时候复杂度就是O(V*sum(Num[i]));
简单代码来说就是
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=1;j<=Num[i];j++)
for(int k=V;k>=Vol[i];k++)
dp[k]=max(dp[k],dp[k-Vol[i]]+Val[i]);
很容易超时。如果M大的话。从大神的背包九讲看到一个化成O（Vsum（log(Num[i])））
大概意思就是利用先判断是否为完全背包情况，否则二进制压缩进行01背包的步骤。任何一个数目Num[i],可以表示为1+2^1 +……+2^p+Num[i]-2^(p+1)+1 其中确定p的条件是Num[i]-2^(p+1)+1>0,Num[i]-2^(p+2)+1<0
这样我们就可以将第i件物品化成 logNum[i]件物品，起对应的容量和价值，分别对应相应倍数
简单代码就是
int i,j,k;
for(i=1; i<=N; i++)
if(Vol[i]*Num[i]>=V) //n*v>=V 完全背包
{
for(j=Vol[i]; j<=V; j++) //从val到V
{
dp[j]=max(dp[j],dp[j-Vol[i]]+Val[i]);
} }
else
{
k=1;
int num_tmp=Num[i]; //取出数目
while(k<num_tmp) //二进制优化
{
for(j=V; j>=k*Vol[i]; j--) //k*Vol ,k*Val的背包
dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*Vol[i]]+Val[i]);
num_tmp-=k;
k<<=1;
}
for(j=V; j>=num_tmp*vol[i]; j--) //num_tmp*Vol[i],num_tmp*Val[i]背包问题
{
dp[j]=max(dp[j],dp[j-num_tmp*Vol[i] ]+Val[i]);
} }
之后对于HDU1171，2194，用第一种算法就轻松通过了。
HDU1171的题目要我们做的就是将总和/2规划成资产“不会大”的学院当成容量背包。
代码
#include<stdio.h>
#include<string.h>
int dp[250000];
int val[52];
int num[52];
int main(){ int n,i,j,k;
int sum,V;
while(scanf("%d",&n)&&n>0){ memset(dp,0,sizeof(dp)); sum=0;
for(i=1;i<=n;i++){
scanf("%d%d",&val[i],&num[i]);
sum+=val[i]*num[i];
}
V=sum/2; //B的
for(i=1;i<=n;i++){
for(j=1;j<=num[i];j++){
for(k=V;k>=val[i];k--){
dp[k]=dp[k]>dp[k-val[i]]+val[i]?dp[k]:dp[k-val[i]]+val[i]; } } }
printf("%d %d\n",sum-dp[V],dp[V]); } return 0; }
而HDU2191则是赤裸裸的套上模版，更是轻松过。不过在取数组名字时候真是乱七八糟。我有时候用cost val num,有时候用vol val num不过关系都不大。
#include<stdio.h>
#include<string.h>
int dp[106];
int cst[100];
int val[100];
int num[100];
int max(int a,int b){
return a>b?a:b; }
int main(){ int cases,V,N,i,j,k;
scanf("%d",&cases);
while(cases--){
scanf("%d%d",&V,&N);
memset(dp,0,sizeof(dp));
memset(cst,0,sizeof(cst));
memset(val,0,sizeof(val));
memset(num,0,sizeof(num));
for(i=1;i<=N;i++)
scanf("%d%d%d",&cst[i],&val[i],&num[i]); for(i=1;i<=N;i++)
for(j=1;j<=num[i];j++)
for(k=V;k>=cst[i];k--){
dp[k]=max(dp[k],dp[k-cst[i]]+val[i]); } printf("%d\n",dp[V]); }
return 0; }
对于HDU2844这题目，我错了很多次……大多数都是RE……后来大我AC了我才发现，是我当初的数组开的太小了。
大概思路就是：令vol=val,来做成背包，能付多少钱嘛，那么dp[i]==i就是刚好付i元，最后统计一下就好啦。
一开始我试着直接化成01背包，果断TLE了……
/*******************************************************************************/
/* OS : 3.2.0-58-generic #88-Ubuntu SMP Tue Dec 3 UTC 2013 GNU/Linux
* Compiler : GCC 4.6.3 (Ubuntu/Linaro 4.6.3-1ubuntu5)
* Encoding : UTF8
* Date : 2014-03-11
* All Rights Reserved by yaolong.
*****************************************************************************/
/* Description: ***************************************************************
*****************************************************************************/
/* Analysis: ******************************************************************
*****************************************************************************/
/*****************************************************************************/ #include<stdio.h>
#include<string.h>
int dp[100002];
int val[122];
int num[122];
int max(int a,int b)
{
return a>b?a:b; }
int main()
{ int V,N,i,j,res; while(~scanf("%d%d",&N,&V)&&(N||V))
{ memset(dp,0,sizeof(dp)); for(i=1; i<=N; i++)
scanf("%d",&val[i]);
for(i=1; i<=N; i++)
scanf("%d",&num[i]); for(i=1; i<=N; i++)
{
if(val[i]*num[i]>=V) //n*v>=V 完全背包
{
for(j=val[i]; j<=V; j++) //从val到V
{
dp[j]=max(dp[j],dp[j-val[i]]+val[i]);
} }
else
{
int k=1;
int num_tmp=num[i]; //取出数目
while(k<num_tmp) //二进制优化
{
for(j=V; j>=k*val[i]; j--) //k*val ,k*val的背包
dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*val[i]]+k*val[i]);
num_tmp-=k;
k<<=1;
}
for(j=V; j>=num_tmp*val[i]; j--) //num_tmp*val[i],num_tmp*val[i]背包问题
{
dp[j]=max(dp[j],dp[j-num_tmp*val[i]]+num_tmp*val[i]);
} } } res=0; for(i = 1; i<=V; i++) if(dp[i]==i)
{
res++;
} printf("%d\n",res); } return 0; }
后来我又写了一遍，因为我当初把各种背包函数写在外面出错了，其实我一直不明白为什么GCC提交，打注释就有问题……
/*******************************************************************************/
/* OS : 3.2.0-58-generic #88-Ubuntu SMP Tue Dec 3 UTC 2013 GNU/Linux
* Compiler : GCC 4.6.3 (Ubuntu/Linaro 4.6.3-1ubuntu5)
* Encoding : UTF8
* Date : 2014-03-11
* All Rights Reserved by yaolong.
*****************************************************************************/
/* Description: ***************************************************************
*****************************************************************************/
/* Analysis: ******************************************************************
*****************************************************************************/
/*****************************************************************************/ #include<stdio.h>
#include<string.h>
int dp[100002];
int w[122]; //weight
int n[122]; //num
int v[122]; //volume
int V,N;//Volume of the Pack,Number of things int max(int a,int b)
{
return a>b?a:b; }
void ZeroOnePack(int vol,int weight){
int i;
for(i=V;i>=vol;i--){
dp[i]=max(dp[i],dp[i-vol]+weight);
} }
void CompletePack(int vol,int weight){
int i;
for(i=vol;i<=V;i++){
dp[i]=max(dp[i],dp[i-vol]+weight);
} }
void MultiPack(int vol,int weight,int num){ if(num*vol>=V){//CompletePack
CompletePack(vol,weight);
return ;
}
int k=1;
while(k<num){
ZeroOnePack(k*vol,k*weight); //ZeroOnePackage
num-=k;
k<<=1;
}
ZeroOnePack(num*vol,num*weight); }
int main()
{
int i,res;
while(scanf("%d%d",&N,&V),N+V){
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(i=1;i<=N;i++)
scanf("%d",&w[i]);
for(i=1;i<=N;i++)
scanf("%d",&n[i]);
for(i=1;i<=N;i++)
MultiPack(w[i],w[i],n[i]); res=0;
for(i=1;i<=V;i++)
if(dp[i]==i){
res++;
}
printf("%d\n",res); } return 0; }