按概率收敛与几乎处处收敛

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正文

首先给出两种收敛的定义。对于一个随机变量序列 {θ^n(x)}n ，这个随机变量的值由随机变量 x 决定。对于任意正实数 ϵ ，如果存在一个随机变量 θ(x) 使下式成立:
limn→∞Pr(x,|θ^n(x)−θ(x)|<ϵ)=1,
则称序列 {θ^n(x)}n 依概率收敛到随机变量 θ(x) 。

如果对于任意正实数 ϵ ，如果存在一个随机向量 θ(x) 使下式成立:
Pr(x,limn→∞|θ^n(x)−θ(x)|<ϵ)=1,
则称序列 {θ^n(x)}n 几乎处处收敛到随机变量 θ(x) 。

直观来说，在 n 大到一定程度，前者的含义是 θ^n(x) 与 θ(x) 的距离小于 ϵ 的概率收敛到 1 上；后者的含义是， θ^n(x) 与 θ(x) 的距离以 100% 的概率在 ϵ 以内。准确来说，几乎处处收敛其实并不要求在 x 的取值范围内所有的取值都使得 θ^n(x) 与 θ(x) 的距离在 ϵ 以内，要理解这一点需要测度论的知识，我还没接触过这方面的知识，但有一个例子很好理解：对于 x∈[0,1] ，如果只有 x=1 使得 |θ^n(x)−θ(x)|≥ϵ 成立，我们仍然可以说 {θ^n(x)}n 几乎处处收敛，这是因为 Pr(x=1)=0 ，因而 Pr(x∈[0,1))=1 。

具体来说，这两种收敛的区别是什么呢？对于足够大的 n 来说，前者不需要满足 |θ^n(x)−θ(x)|<ϵ 在 x 所有的取值范围上成立，也就是可能存在一个区间 [x0,x0+O(g(x))] 使得 |θ^n(x)−θ(x)|≥ϵ 成立，而后者，如上一段所说的，要求这个不等式最多只能在 x 取某一个值 x0 上成立。

如果仍然难以理解，这里可以举例子说明。设随机变量 x 是在区间 [0,1] 上的均匀分布，定义关于 x 的随机变量序列为：
θ^n(x)=x+xn.
定义随机变量：
θ(x)=s.
可以发现这个随机变量只在 x=1 时才有 |θ^n(x)−θ(x)|≥ϵ 成立，因此是几乎处处收敛。

对于同样的 x ，按照另一种方法定义随机变量 θ^n(x) 和 θ(x) ：
θ^2k+i(x)kiθ(x)=1x∈[i2k,i+12k]=1,2,3,...=0,1,...,2k−1=0
可以看到，即使 2k+i 的值再大， |θ^n(x)−θ(x)|≥ϵ 成立的概率也不会等于 0 ，但是他们是按概率收敛的。

参考

几乎必然收敛和依概率收敛 by AlgorithmDog