「kuangbin带你飞」专题十八 后缀数组

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title: 「kuangbin带你飞」专题十八 后缀数组

author: "luowentaoaa"

catalog: true

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- kuangbin

- 字符串

- 后缀数组

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传送门

倍增法

struct DA{
    bool cmp(int *r,int a,int b,int l){
        return r[a]==r[b]&&r[a+l]==r[b+l];
    }
    int t1[maxn],t2[maxn],c[maxn];
    int rank[maxn],height[maxn],RMQ[maxn],mm[maxn];
    int best[20][maxn];
    int r[maxn];
    int sa[maxn];
    int str[maxn];
    void da(int n,int m){
        n++;
        int i,j,p,*x=t1,*y=t2;
        for(i=0;i<m;i++)c[i]=0;
        for(i=0;i<n;i++)c[x[i]=str[i]]++;
        for(i=1;i<m;i++)c[i]+=c[i-1];
        for(i=n-1;i>=0;i--)sa[--c[x[i]]]=i;
        for(j=1;j<=n;j<<=1){
            p=0;
            for(i=n-j;i<n;i++)y[p++]=i;
            for(i=0;i<n;i++)if(sa[i]>=j)y[p++]=sa[i]-j;
            for(i=0;i<m;i++)c[i]=0;
            for(i=0;i<n;i++)c[x[y[i]]]++;
            for(i=1;i<m;i++)c[i]+=c[i-1];
            for(i=n-1;i>=0;i--)sa[--c[x[y[i]]]]=y[i];
            swap(x,y);
            p=1;x[sa[0]]=0;
            for(i=1;i<n;i++)
                x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;
            if(p>=n)break;
            m=p;
        }
        int k=0;
        n--;
        for(i=0;i<=n;i++)rank[sa[i]]=i;
        for(i=0;i<n;i++){
            if(k)k--;
            j=sa[rank[i]-1];
            while(str[i+k]==str[j+k])k++;
            height[rank[i]]=k;
        }
    }
    void initRMQ(int n){
        for(int i=1;i<=n;i++)RMQ[i]=height[i];
        mm[0]=-1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            mm[i]=((i&(i-1))==0)?mm[i-1]+1:mm[i-1];
        for(int i=1;i<=n;i++)best[0][i]=i;
        for(int i=1;i<=mm[n];i++)
        for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++){
            int a=best[i-1][j];
            int b=best[i-1][j+(1<<(i-1))];
            if(RMQ[a]<RMQ[b])best[i][j]=a;
            else best[i][j]=b;
        }
    }
    int askRMQ(int a,int b){
        int t;
        t=mm[b-a+1];
        b-=(1<<t)-1;
        a=best[t][a];b=best[t][b];
        return RMQ[a]<RMQ[b]?a:b;
    }
    int lcp(int a,int b){
        a=rank[a];b=rank[b];
        if(a>b)swap(a,b);
        return height[askRMQ(a+1,b)];
    }
    void print(int n){
        cout<<"sa[] ";
        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<sa[i]<<" ";cout<<endl;
        cout<<"rank[] ";
        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<rank[i]<<" ";cout<<endl;
        cout<<"height[] ";
        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<height[i]<<" ";cout<<endl;
    }
}AA,BB;

A.POJ1743 Musical Theme

题意

有N(1<=N<=20000)个音符的序列来表示一首乐曲，每个音符都是1..88范围内的整数，现在要找一个重复的子串，它需要满足如下条件：1.长度至少为5个音符。
2.在乐曲中重复出现（就是出现过至少两次）。(可能经过转调，“转调”的意思是主题序列中每个音符都被加上或减去了同一个整数值)
3.重复出现的同一主题不能有公共部分。

思路

对于第一二点:至少长度是五,我们可以二分0-n/2之间的长度来查找height(height[i]=排名为i和i-1的后缀子串的最长公共前缀长度缀)然后找到两个大于二分的值,然后判断起点距离是否大于二分的值(因为要求不重叠)

第三点 因为共同加上一个值,但是他们前后的差值还是一样的(例如1，2，3和5，6，7是一样的他们的差值是1)然后把原数组变成一个长度为N-1的数组去处理,因为处理后的数组比原数组少1所以答案也要-1;

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
const int maxn=2e5;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f;
#define bug cout<<"here:"<<endl;
int sa[maxn];
//sa[i]名次为i的后缀的起始位置;
//Rank[i]起始位置为i的名次 ->Rank[sa[i]]=i;
//height[i]名次为i和i-1的后缀的最长公共前缀长;
int t1[maxn],t2[maxn],c[maxn];
int Rank[maxn],height[maxn];
bool cmp(int *r,int a,int b,int l){
    return r[a]==r[b]&&r[a+l]==r[b+l];
}
int s[maxn];
void da(int str[],int n,int m){
    int i,j,p,*x=t1,*y=t2;
    for(i=0;i<m;i++)c[i]=0;
    for(i=0;i<n;i++)c[x[i]=str[i]]++;//***
    for(i=1;i<m;i++)c[i]+=c[i-1];
    for(i=n-1;i>=0;i--)sa[--c[x[i]]]=i;
    for(j=1;j<=n;j<<=1){
        p=0;
        for(i=n-j;i<n;i++)y[p++]=i;
        for(i=0;i<n;i++)if(sa[i]>=j)y[p++]=sa[i]-j;
        for(i=0;i<m;i++)c[i]=0;
        for(i=0;i<n;i++)c[x[y[i]]]++;
        for(i=1;i<m;i++)c[i]+=c[i-1];
        for(i=n-1;i>=0;i--)sa[--c[x[y[i]]]]=y[i];
        swap(x,y);
        p=1;x[sa[0]]=0;
        for(i=1;i<n;i++)
            x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;
        if(p>=n)break;
        m=p;
    }
    int k=0;
    n--;
    for(i=0;i<=n;i++)Rank[sa[i]]=i;
    for(i=0;i<n;i++){
        if(k)k--;
        j=sa[Rank[i]-1];
        while(s[i+k]==s[j+k])k++;
        height[Rank[i]]=k;
    }
}

bool isok(int n,int k){
    int ma=sa[1],mi=sa[1];
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(height[i]<k)ma=mi=sa[i];
        else{
            if(sa[i]<mi)mi=sa[i];
            if(sa[i]>ma)ma=sa[i];
            if(ma-mi>k)return true;
        }
    }return false;
}
int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0);
    std::cout.tie(0);
    int n;
    while(cin>>n&&n){
        for(int i=0;i<n;i++)cin>>s[i];
        for(int i=n-1;i>0;i--)s[i]=s[i]-s[i-1]+90;//因为四十行要用s[i]的值做下表所以不能出现负数
        n--;//变化后的长度-1
        for(int i=0;i<n;i++)s[i]=s[i+1];
        s[n]=0;
        da(s,n+1,200);

        int ans=-1;
        int l=1,r=n/2;
        while(l<=r){
            int mid=(l+r)/2;
            if(isok(n,mid)){
                ans=mid;
                l=mid+1;
            }
            else r=mid-1;
        }
        if(ans<4)cout<<0<<endl;
        else cout<<ans+1<<endl;
    }
    return 0;
}

附加1. #1403 : 后缀数组一·重复旋律

题意

最长可重叠重复K次子串问题。

题解

二分答案

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define pp pair<int,int>
#define rank rankk
const ll mod=998244353;
const int maxn=1e6+50;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
int gcd(int a,int b){while(b){int t=a%b;a=b;b=t;}return a;}
int lcm(int a,int b){return a*b/gcd(a,b);}
int t1[maxn],t2[maxn],c[maxn];
bool cmp(int *r,int a,int b,int l){
    return r[a]==r[b]&&r[a+l]==r[b+l];
}
void da(int str[],int sa[],int rank[],int height[],int n,int m){
    n++;
    int i,j,p,*x=t1,*y=t2;
    for(i=0;i<m;i++)c[i]=0;
    for(i=0;i<n;i++)c[x[i]=str[i]]++;
    for(i=1;i<m;i++)c[i]+=c[i-1];
    for(i=n-1;i>=0;i--)sa[--c[x[i]]]=i;
    for(j=1;j<=n;j<<=1){
        p=0;
        for(i=n-j;i<n;i++)y[p++]=i;
        for(i=0;i<n;i++)if(sa[i]>=j)y[p++]=sa[i]-j;
        for(i=0;i<m;i++)c[i]=0;
        for(i=0;i<n;i++)c[x[y[i]]]++;
        for(i=1;i<m;i++)c[i]+=c[i-1];
        for(i=n-1;i>=0;i--)sa[--c[x[y[i]]]]=y[i];
        swap(x,y);
        p=1;x[sa[0]]=0;
        for(i=1;i<n;i++)
            x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;
        if(p>=n)break;
        m=p;
    }
    int k=0;
    n--;
    for(i=0;i<=n;i++)rank[sa[i]]=i;
    for(i=0;i<n;i++){
        if(k)k--;
        j=sa[rank[i]-1];
        while(str[i+k]==str[j+k])k++;
        height[rank[i]]=k;
    }
}
int rank[maxn];//后缀i在sa[]中的排名
int height[maxn];//sa[i]与sa[i-1]的LCP(最长公共前缀)
int str[maxn];
int r[maxn];
int sa[maxn];//sa[i]表示排名弟i小的后缀的下标
int n,m;
int solve(int k){
    int tmp=1;
    for(int i=1;i<n;){
        int cnt=1;
        int j=i+1;
        while(height[j]>=k&&j<=n)j++,cnt++;
        tmp=max(cnt,tmp);
        i=j;
    }
    return tmp>=m;
}
int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0);
    std::cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n;i++)cin>>str[i];
    str[n]=0;//多补一个0
    da(str,sa,rank,height,n,128);
    int l=0,r=n,ans=-1;
    while(l<=r){
        int mid=(l+r)>>1;
        if(solve(mid))ans=mid,l=mid+1;
        else r=mid-1;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

附加2. #1407 : 后缀数组二·重复旋律2

题意

最长不可重叠重复子串问题

题解

只要判断长度是否大于二分的就行

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define pp pair<int,int>
#define rank rankk
const ll mod=998244353;
const int maxn=1e6+50;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
int gcd(int a,int b){while(b){int t=a%b;a=b;b=t;}return a;}
int lcm(int a,int b){return a*b/gcd(a,b);}
int t1[maxn],t2[maxn],c[maxn];
bool cmp(int *r,int a,int b,int l){
    return r[a]==r[b]&&r[a+l]==r[b+l];
}
void da(int str[],int sa[],int rank[],int height[],int n,int m){
    n++;
    int i,j,p,*x=t1,*y=t2;
    for(i=0;i<m;i++)c[i]=0;
    for(i=0;i<n;i++)c[x[i]=str[i]]++;
    for(i=1;i<m;i++)c[i]+=c[i-1];
    for(i=n-1;i>=0;i--)sa[--c[x[i]]]=i;
    for(j=1;j<=n;j<<=1){
        p=0;
        for(i=n-j;i<n;i++)y[p++]=i;
        for(i=0;i<n;i++)if(sa[i]>=j)y[p++]=sa[i]-j;
        for(i=0;i<m;i++)c[i]=0;
        for(i=0;i<n;i++)c[x[y[i]]]++;
        for(i=1;i<m;i++)c[i]+=c[i-1];
        for(i=n-1;i>=0;i--)sa[--c[x[y[i]]]]=y[i];
        swap(x,y);
        p=1;x[sa[0]]=0;
        for(i=1;i<n;i++)
            x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;
        if(p>=n)break;
        m=p;
    }
    int k=0;
    n--;
    for(i=0;i<=n;i++)rank[sa[i]]=i;
    for(i=0;i<n;i++){
        if(k)k--;
        j=sa[rank[i]-1];
        while(str[i+k]==str[j+k])k++;
        height[rank[i]]=k;
    }
}
int rank[maxn];//后缀i在sa[]中的排名
int height[maxn];//sa[i]与sa[i-1]的LCP(最长公共前缀)
int str[maxn];
int r[maxn];
int sa[maxn];//sa[i]表示排名弟i小的后缀的下标
int n,m;
int solve(int k){
    int minsa,maxsa;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    if(height[i]<k){
        minsa=sa[i];
        maxsa=sa[i];
    }
    else{
        minsa=min(minsa,sa[i]);
        maxsa=max(maxsa,sa[i]);
        if(maxsa-minsa>=k)return true;
    }
    return false;
}
int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0);
    std::cout.tie(0);
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)cin>>str[i];
    str[n]=0;//多补一个0
    da(str,sa,rank,height,n,1280);
    int l=0,r=n,ans=-1;
    while(l<=r){
        int mid=(l+r)>>1;
        if(solve(mid))ans=mid,l=mid+1;
        else r=mid-1;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

附加3.#1415 : 后缀数组三·重复旋律3

题意

经典的最长公共子串问题//

如果同一段旋律在作品A和作品B中同时出现过，这段旋律就是A和B共同的部分，比如在abab 在 bababab 和 cabacababc 中都出现过。小Hi想知道两部作品的共同旋律最长是多少？

题解

把两个字符串接在一起就变成了求后缀的最长公共前缀的问题，但是由于这个前缀不能跨越两个字符串，所以我们在第一个字符串后面加上一个没有出现过的字符，再接第二个字符串，然后取所有非同一个串后缀的height的最大值...

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define pp pair<int,int>
#define rank rankk
const ll mod=998244353;
const int maxn=1e6+50;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
int gcd(int a,int b){while(b){int t=a%b;a=b;b=t;}return a;}
int lcm(int a,int b){return a*b/gcd(a,b);}
int t1[maxn],t2[maxn],c[maxn];
bool cmp(int *r,int a,int b,int l){
    return r[a]==r[b]&&r[a+l]==r[b+l];
}
void da(char str[],int sa[],int rank[],int height[],int n,int m){
    n++;
    int i,j,p,*x=t1,*y=t2;
    for(i=0;i<m;i++)c[i]=0;
    for(i=0;i<n;i++)c[x[i]=str[i]]++;
    for(i=1;i<m;i++)c[i]+=c[i-1];
    for(i=n-1;i>=0;i--)sa[--c[x[i]]]=i;
    for(j=1;j<=n;j<<=1){
        p=0;
        for(i=n-j;i<n;i++)y[p++]=i;
        for(i=0;i<n;i++)if(sa[i]>=j)y[p++]=sa[i]-j;
        for(i=0;i<m;i++)c[i]=0;
        for(i=0;i<n;i++)c[x[y[i]]]++;
        for(i=1;i<m;i++)c[i]+=c[i-1];
        for(i=n-1;i>=0;i--)sa[--c[x[y[i]]]]=y[i];
        swap(x,y);
        p=1;x[sa[0]]=0;
        for(i=1;i<n;i++)
            x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;
        if(p>=n)break;
        m=p;
    }
    int k=0;
    n--;
    for(i=0;i<=n;i++)rank[sa[i]]=i;
    for(i=0;i<n;i++){
        if(k)k--;
        j=sa[rank[i]-1];
        while(str[i+k]==str[j+k])k++;
        height[rank[i]]=k;
    }
}
int rank[maxn];//后缀i在sa[]中的排名
int height[maxn];//sa[i]与sa[i-1]的LCP(最长公共前缀)
char str[maxn];
char str2[maxn];
int r[maxn];
int sa[maxn];//sa[i]表示排名弟i小的后缀的下标
int n,m;
int solve(int n,int len1){
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if((sa[i-1]<=len1&&sa[i]>len1)||(sa[i-1]>len1&&sa[i]<=len1))
            ans=max(ans,height[i]);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0);
    std::cout.tie(0);
    cin>>str;
    int len1=strlen(str);
    str[len1]='#';
    cin>>str2;
    int len2=strlen(str2);
    for(int i=0;i<len2;i++){
        str[len1+1+i]=str2[i];
    }
    str[len1+1+len2]=0;
    n=len1+len2+1;
    da(str,sa,rank,height,n,128);
    cout<<solve(n,len1)<<endl;
    return 0;
}

附加4.#1419 : 后缀数组四·重复旋律4

题意

重复次数最多的连续字串

小Hi平时的一大兴趣爱好就是演奏钢琴。我们知道一个音乐旋律被表示为长度为 N 的数构成的数列。小Hi在练习过很多曲子以后发现很多作品中的旋律有重复的部分。

我们把一段旋律称为(k,l)-重复的，如果它满足由一个长度为l的字符串重复了k次组成。 如旋律abaabaabaaba是(4,3)重复的，因为它由aba重复4次组成。

小Hi想知道一部作品中k最大的(k,l)-重复旋律。

题解

求重复次数最多的连续字串

假如知道了这个连续子串的开始位置

并且知道了它的长度

那么，此时我们就通过lcp(i,i+len)来进行比较即可

但是，如果枚举长度和开始的位置的话

尽管lcp通过st表可以O(1)查询

但是这个枚举的复杂度是O(n2)的

很显然，需要更快

所以，枚举了长度lenlen之后

我们只需要考虑开始位置为lenlen倍数的地方

如果此时有一个重复串的开始位置不在lenlen的倍数上

很显然的

lcp就会多出一截

所以，我们可以倒推出这个位置

所以，这样枚举复杂度为O(nlogn)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define pp pair<int,int>
#define rank rankk
const ll mod=998244353;
const int maxn=1e6+50;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
int gcd(int a,int b){while(b){int t=a%b;a=b;b=t;}return a;}
int lcm(int a,int b){return a*b/gcd(a,b);}
int t1[maxn],t2[maxn],c[maxn];
bool cmp(int *r,int a,int b,int l){
    return r[a]==r[b]&&r[a+l]==r[b+l];
}
void da(char str[],int sa[],int rank[],int height[],int n,int m){
    n++;
    int i,j,p,*x=t1,*y=t2;
    for(i=0;i<m;i++)c[i]=0;
    for(i=0;i<n;i++)c[x[i]=str[i]]++;
    for(i=1;i<m;i++)c[i]+=c[i-1];
    for(i=n-1;i>=0;i--)sa[--c[x[i]]]=i;
    for(j=1;j<=n;j<<=1){
        p=0;
        for(i=n-j;i<n;i++)y[p++]=i;
        for(i=0;i<n;i++)if(sa[i]>=j)y[p++]=sa[i]-j;
        for(i=0;i<m;i++)c[i]=0;
        for(i=0;i<n;i++)c[x[y[i]]]++;
        for(i=1;i<m;i++)c[i]+=c[i-1];
        for(i=n-1;i>=0;i--)sa[--c[x[y[i]]]]=y[i];
        swap(x,y);
        p=1;x[sa[0]]=0;
        for(i=1;i<n;i++)
            x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;
        if(p>=n)break;
        m=p;
    }
    int k=0;
    n--;
    for(i=0;i<=n;i++)rank[sa[i]]=i;
    for(i=0;i<n;i++){
        if(k)k--;
        j=sa[rank[i]-1];
        while(str[i+k]==str[j+k])k++;
        height[rank[i]]=k;
    }
}
int rank[maxn];//后缀i在sa[]中的排名
int height[maxn];//sa[i]与sa[i-1]的LCP(最长公共前缀)
int RMQ[maxn];
int mm[maxn];
int best[20][maxn];
void initRMQ(int n){
    mm[0]=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        mm[i]=((i&(i-1))==0)?mm[i-1]+1:mm[i-1];
    for(int i=1;i<=n;i++)best[0][i]=i;
    for(int i=1;i<=mm[n];i++)
    for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++){
        int a=best[i-1][j];
        int b=best[i-1][j+(1<<(i-1))];
        if(RMQ[a]<RMQ[b])best[i][j]=a;
        else best[i][j]=b;
    }
}
int askRMQ(int a,int b){
    int t;
    t=mm[b-a+1];
    b-=(1<<t)-1;
    a=best[t][a];b=best[t][b];
    return RMQ[a]<RMQ[b]?a:b;
}
int lcp(int a,int b){//求以a,b开始的字串的最长公共前缀
    a=rank[a];b=rank[b];
    if(a>b)swap(a,b);
    return height[askRMQ(a+1,b)];
}
char str[maxn];
int r[maxn];
int sa[maxn];//sa[i]表示排名弟i小的后缀的下标
int n,m;
int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0);
    std::cout.tie(0);
    cin>>str;
    n=strlen(str);
    str[n]=0;
    da(str,sa,rank,height,n,128);
    for(int i=1;i<=n;i++)RMQ[i]=height[i];
    initRMQ(n);
    int ans=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j+i<n;j+=i){
            int len=lcp(j,j+i);
            int k=j-(i-len%i);
            int sum=len/i+1;
            if(k>=0&&lcp(k,k+i)>=i){
                sum++;
            }
            ans=max(ans,sum);
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

B.UVA - 10829 Gap Substrings

题意

题目即求有多少子串满足ABA的形式，并且满足|A|>0，|B|=G。

题解

搞了我三天三夜的题目

首先可以用后缀数组求出任意两个点的后缀的lcp,然后相同长度减去g就是答案

但是这样复杂度是n^2

然后我们可以发现假设A的长度是L，第一个L在K位置,那么另一个L是K+L+G

然后我们发现如果L和另一个K+L+G判断相同了之后，那么L+1,L+2，...2L-1其实都不用再匹配了

所以我们就直接枚举长度L 然后在0，L，2L，3L进行匹配，注意不仅仅要向后面匹配前缀，还要向前面匹配后缀，后者我们可以把字符串倒置，然后求n-1-k，和n-1-(k+l+g)的lcp 这样两个lcp相加，那A的起点就可以在他们这个范围里面 所以答案就是lcp1+lcp2-L

注意lcp长度不能超过L,因为超过的话就会访问到另一个L的区域了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define pp pair<int,int>
const ll mod=998244353;
const int maxn=1e6+50;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
int gcd(int a,int b){while(b){int t=a%b;a=b;b=t;}return a;}
int lcm(int a,int b){return a*b/gcd(a,b);}
struct DA{
    bool cmp(int *r,int a,int b,int l){
        return r[a]==r[b]&&r[a+l]==r[b+l];
    }
    int t1[maxn],t2[maxn],c[maxn];
    int rank[maxn],height[maxn],RMQ[maxn],mm[maxn];
    int best[20][maxn];
    int r[maxn];
    int sa[maxn];
    int str[maxn];
    void da(int n,int m){
        n++;
        int i,j,p,*x=t1,*y=t2;
        for(i=0;i<m;i++)c[i]=0;
        for(i=0;i<n;i++)c[x[i]=str[i]]++;
        for(i=1;i<m;i++)c[i]+=c[i-1];
        for(i=n-1;i>=0;i--)sa[--c[x[i]]]=i;
        for(j=1;j<=n;j<<=1){
            p=0;
            for(i=n-j;i<n;i++)y[p++]=i;
            for(i=0;i<n;i++)if(sa[i]>=j)y[p++]=sa[i]-j;
            for(i=0;i<m;i++)c[i]=0;
            for(i=0;i<n;i++)c[x[y[i]]]++;
            for(i=1;i<m;i++)c[i]+=c[i-1];
            for(i=n-1;i>=0;i--)sa[--c[x[y[i]]]]=y[i];
            swap(x,y);
            p=1;x[sa[0]]=0;
            for(i=1;i<n;i++)
                x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;
            if(p>=n)break;
            m=p;
        }
        int k=0;
        n--;
        for(i=0;i<=n;i++)rank[sa[i]]=i;
        for(i=0;i<n;i++){
            if(k)k--;
            j=sa[rank[i]-1];
            while(str[i+k]==str[j+k])k++;
            height[rank[i]]=k;
        }
    }
    void initRMQ(int n){
        for(int i=1;i<=n;i++)RMQ[i]=height[i];
        mm[0]=-1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            mm[i]=((i&(i-1))==0)?mm[i-1]+1:mm[i-1];
        for(int i=1;i<=n;i++)best[0][i]=i;
        for(int i=1;i<=mm[n];i++)
        for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++){
            int a=best[i-1][j];
            int b=best[i-1][j+(1<<(i-1))];
            if(RMQ[a]<RMQ[b])best[i][j]=a;
            else best[i][j]=b;
        }
    }
    int askRMQ(int a,int b){
        int t;
        t=mm[b-a+1];
        b-=(1<<t)-1;
        a=best[t][a];b=best[t][b];
        return RMQ[a]<RMQ[b]?a:b;
    }
    int lcp(int a,int b){
        a=rank[a];b=rank[b];
        if(a>b)swap(a,b);
        return height[askRMQ(a+1,b)];
    }
    void print(int n){
        cout<<"sa[] ";
        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<sa[i]<<" ";cout<<endl;
        cout<<"rank[] ";
        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<rank[i]<<" ";cout<<endl;
        cout<<"height[] ";
        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<height[i]<<" ";cout<<endl;
    }
}AA,BB;
char s[maxn];
int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0);
    std::cout.tie(0);
    /*int len=strlen(s);
    for(int i=0;i<len;i++)AA.str[i]=s[i];
    AA.da(len,120);
    AA.print(len);*/
    int t;
    cin>>t;
    int CC=1;
    while(t--){
        int g;
        cin>>g>>s;
        int len=strlen(s);
        //cout<<"s=="<<s<<endl;
        //cout<<"len="<<len<<endl;
        for(int i=0;i<len;i++){
            AA.str[i]=s[i]-'a'+1;
            BB.str[i]=s[len-i-1]-'a'+1;
        }
        AA.da(len,30);BB.da(len,30);
        AA.initRMQ(len);BB.initRMQ(len);
        //AA.print(len);
       // BB.print(len);
        ll ans=0;
        for(int i=1;i<=len;i++){
            for(int j=0;j+i+g<len;j+=i){
                int l=j,r=j+i+g;
                int lll=min(i,AA.lcp(l,r));
                int rrr=min(i,BB.lcp(len-l-1,len-r-1));
                int len=(lll+rrr);
                if(len>=i)ans+=ll(1LL*len-i);
            }
        }
        cout<<"Case "<<CC++<<": ";
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}
/*
2
1 bbaabaaaaa
5 abxxxxxab
*/

dc3

struct DA{
    #define F(x) ((x)/3+((x)%3==1?0:tb))
    #define G(x) ((x)<tb?(x)*3+1:((x)-tb)*3+2)
    int sa[maxn*20],rank[maxn*20],height[maxn*20],str[maxn*20];
    int wa[maxn*20],wb[maxn*20],wv[maxn*20],wss[maxn*20];
    int c0(int *r,int a,int b){
        return r[a]==r[b]&&r[a+1]==r[b+1]&&r[a+2]==r[b+2];
    }
    int c12(int k,int *r,int a,int b){
        if(k==2)
            return r[a]<r[b]||(r[a]==r[b]&&c12(1,r,a+1,b+1));
        else return r[a]<r[b]||(r[a]==r[b]&&wv[a+1]<wv[b+1]);
    }
    void sort(int *r,int *a,int *b,int n,int m){
        int i;
        for(i=0;i<n;i++)wv[i]=r[a[i]];
        for(i=0;i<m;i++)wss[i]=0;
        for(i=0;i<n;i++)wss[wv[i]]++;
        for(i=1;i<m;i++)wss[i]+=wss[i-1];
        for(i=n-1;i>=0;i--)
            b[--wss[wv[i]]]=a[i];
    }
    void dc3(int *r,int *sa,int n,int m){
        int i,j,*rn=r+n;
        int *san=sa+n,ta=0,tb=(n+1)/3,tbc=0,p;
        r[n]=r[n+1]=0;
        for(i=0;i<n;i++)if(i%3!=0)wa[tbc++]=i;
        sort(r+2,wa,wb,tbc,m);
        sort(r+1,wb,wa,tbc,m);
        sort(r,wa,wb,tbc,m);
        for(p=1,rn[F(wb[0])]=0,i=1;i<tbc;i++)
            rn[F(wb[i])]=c0(r,wb[i-1],wb[i])?p-1:p++;
        if(p<tbc)dc3(rn,san,tbc,p);
        else for(i=0;i<tbc;i++)san[rn[i]]=i;
        for(i=0;i<tbc;i++)if(san[i]<tb)wb[ta++]=san[i]*3;
        if(n%3==1)wb[ta++]=n-1;
        sort(r,wb,wa,ta,m);
        for(i=0;i<tbc;i++)wv[wb[i]=G(san[i])]=i;
        for(i=0,j=0,p=0;i<ta&&j<tbc;p++)
            sa[p]=c12(wb[j]%3,r,wa[i],wb[j])?wa[i++]:wb[j++];
        for(;i<ta;p++)sa[p]=wa[i++];
        for(;j<tbc;p++)sa[p]=wb[j++];
    }
    void da(int n,int m){
        for(int i=n;i<n*3;i++)str[i]=0;
        dc3(str,sa,n+1,m);
        int i,j,k=0;
        for(i=0;i<=n;i++)rank[sa[i]]=i;
        for(i=0;i<n;i++){
            if(k)k--;
            j=sa[rank[i]-1];
            while(str[i+k]==str[j+k])k++;
            height[rank[i]]=k;
        }
    }
    void print(int n){
        cout<<"sa[] ";
        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<sa[i]<<" ";cout<<endl;
        cout<<"rank[] ";
        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<rank[i]<<" ";cout<<endl;
        cout<<"height[] ";
        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<height[i]<<" ";cout<<endl;
    }
}DA;

A.Mediocre String Problem （2018南京M,回文+LCP)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define pp pair<int,int>
const ll mod=998244353;
const int maxn=1e6+50;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
int gcd(int a,int b){while(b){int t=a%b;a=b;b=t;}return a;}
int lcm(int a,int b){return a*b/gcd(a,b);}
struct DA{
    #define F(x) ((x)/3+((x)%3==1?0:tb))
    #define G(x) ((x)<tb?(x)*3+1:((x)-tb)*3+2)
    int sa[maxn*20],rank[maxn*20],height[maxn*20],str[maxn*20];
    int wa[maxn*20],wb[maxn*20],wv[maxn*20],wss[maxn*20];
    int c0(int *r,int a,int b){
        return r[a]==r[b]&&r[a+1]==r[b+1]&&r[a+2]==r[b+2];
    }
    int c12(int k,int *r,int a,int b){
        if(k==2)
            return r[a]<r[b]||(r[a]==r[b]&&c12(1,r,a+1,b+1));
        else return r[a]<r[b]||(r[a]==r[b]&&wv[a+1]<wv[b+1]);
    }
    void sort(int *r,int *a,int *b,int n,int m){
        int i;
        for(i=0;i<n;i++)wv[i]=r[a[i]];
        for(i=0;i<m;i++)wss[i]=0;
        for(i=0;i<n;i++)wss[wv[i]]++;
        for(i=1;i<m;i++)wss[i]+=wss[i-1];
        for(i=n-1;i>=0;i--)
            b[--wss[wv[i]]]=a[i];
    }
    void dc3(int *r,int *sa,int n,int m){
        int i,j,*rn=r+n;
        int *san=sa+n,ta=0,tb=(n+1)/3,tbc=0,p;
        r[n]=r[n+1]=0;
        for(i=0;i<n;i++)if(i%3!=0)wa[tbc++]=i;
        sort(r+2,wa,wb,tbc,m);
        sort(r+1,wb,wa,tbc,m);
        sort(r,wa,wb,tbc,m);
        for(p=1,rn[F(wb[0])]=0,i=1;i<tbc;i++)
            rn[F(wb[i])]=c0(r,wb[i-1],wb[i])?p-1:p++;
        if(p<tbc)dc3(rn,san,tbc,p);
        else for(i=0;i<tbc;i++)san[rn[i]]=i;
        for(i=0;i<tbc;i++)if(san[i]<tb)wb[ta++]=san[i]*3;
        if(n%3==1)wb[ta++]=n-1;
        sort(r,wb,wa,ta,m);
        for(i=0;i<tbc;i++)wv[wb[i]=G(san[i])]=i;
        for(i=0,j=0,p=0;i<ta&&j<tbc;p++)
            sa[p]=c12(wb[j]%3,r,wa[i],wb[j])?wa[i++]:wb[j++];
        for(;i<ta;p++)sa[p]=wa[i++];
        for(;j<tbc;p++)sa[p]=wb[j++];
    }
    void da(int n,int m){
        for(int i=n;i<n*3;i++)str[i]=0;
        dc3(str,sa,n+1,m);
        int i,j,k=0;
        for(i=0;i<=n;i++)rank[sa[i]]=i;
        for(i=0;i<n;i++){
            if(k)k--;
            j=sa[rank[i]-1];
            while(str[i+k]==str[j+k])k++;
            height[rank[i]]=k;
        }
    }
    void print(int n){
        cout<<"sa[] ";
        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<sa[i]<<" ";cout<<endl;
        cout<<"rank[] ";
        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<rank[i]<<" ";cout<<endl;
        cout<<"height[] ";
        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<height[i]<<" ";cout<<endl;
    }
}DA;
struct PalTree{
    int next[maxn][26],fail[maxn],cnt[maxn],num[maxn],len[maxn],S[maxn],last,n,p;
    int newnode(int l){
        for(int i=0;i<26;i++)next[p][i]=0;
        cnt[p]=num[p]=0;len[p]=l;return p++;
    }
    void init(){
        p=0;newnode(0);newnode(-1);last=0;n=0;S[n]=-1;fail[0]=1;
    }
    int get_fail(int x){
        while(S[n-len[x]-1]!=S[n])x=fail[x];return x;
    }
    int add(int c){
        c-='a';S[++n]=c;int cur=get_fail(last);
        if(!next[cur][c]){
            int now=newnode(len[cur]+2);
            fail[now]=next[get_fail(fail[cur])][c];
            next[cur][c]=now;num[now]=num[fail[now]]+1;
        }
        last=next[cur][c];cnt[last]++;return num[last];
    }
    void count(){for(int i=p-1;i>=0;i--)cnt[fail[i]]+=cnt[i];}
}PAM;
char s[maxn],t[maxn];
int num[maxn],cnt[maxn];
int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0);
    std::cout.tie(0);
    cin>>s>>t;
    int lens=strlen(s),lent=strlen(t);
    int len=0;PAM.init();
    for(int i=0;i<lens;i++)DA.str[len++]=s[lens-i-1]-'a'+1,cnt[lens-i-1]=PAM.add(s[lens-i-1]);
    DA.str[len++]=30;
    for(int i=0;i<lent;i++)DA.str[len++]=t[i]-'a'+1;
    DA.str[len]=0;
    DA.da(len,200);
	int p=DA.rank[lens+1];
	//DA.print(len);
	int now=len+1;
	for(int i=p-1;i>=0;i--){
		now=min(now,DA.height[i+1]);
		if(DA.sa[i]>=0&&DA.sa[i]<lens){
			num[lens-1-DA.sa[i]]=now;
		}
	}
	now=len+1;
	for(int i=p+1;i<=len;i++){
		now=min(now,DA.height[i]);
		if(DA.sa[i]>=0&&DA.sa[i]<lens){
			num[lens-1-DA.sa[i]]=now;
		}
	}
	ll ans=0;
    for(int i=0;i<lens-1;i++){
        ans+=1LL*num[i]*cnt[i+1];
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

I.POJ - 3415 Common Substrings

单调栈优化

题意

求长度不小于K的公共子串的个数。

题解

对于一个LCP 贡献是len(lcp)-k+1

我们可以将height进行分组，大于等于k的在同一组，如果两个后缀的最长公共子串>=k，那么它们肯定在同一个组内。现在从头开始扫，每遇到A的后缀时，就统计一下它和它前面的B的后缀能组成多少长度>=k的公共子串，然后再反过来处理B的后缀即可，一共需要扫两遍。但是这样的时间复杂度是O(n^2)，是行不通的。

因为两个后缀的LCP是它们之间的最小height值，所以可以维护一个自底向上递增的单调栈，如果有height值小于了当前栈顶的height值，那么大于它的那些只能按照当前这个小的值来计算。这样分别处理两次，一次处理A的后缀，一次处理B的后缀。需要记录好栈里的和以及每个组内的后缀数。

注意longlong

#include<string>
#include<iostream>
#include<iosfwd>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define pp pair<int,int>
const ll mod=998244353;
const int maxn=2e5+50;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
int gcd(int a,int b){while(b){int t=a%b;a=b;b=t;}return a;}
int lcm(int a,int b){return a*b/gcd(a,b);}
struct DA{
    #define F(x) ((x)/3+((x)%3==1?0:tb))
    #define G(x) ((x)<tb?(x)*3+1:((x)-tb)*3+2)
    int sa[maxn*10],rank[maxn*10],height[maxn*10],str[maxn*10];
    int wa[maxn*10],wb[maxn*10],wv[maxn*10],wss[maxn*10];
    int RMQ[maxn],mm[maxn],best[20][maxn];;
    int c0(int *r,int a,int b){
        return r[a]==r[b]&&r[a+1]==r[b+1]&&r[a+2]==r[b+2];
    }
    int c12(int k,int *r,int a,int b){
        if(k==2)
            return r[a]<r[b]||(r[a]==r[b]&&c12(1,r,a+1,b+1));
        else return r[a]<r[b]||(r[a]==r[b]&&wv[a+1]<wv[b+1]);
    }
    void sort(int *r,int *a,int *b,int n,int m){
        int i;
        for(i=0;i<n;i++)wv[i]=r[a[i]];
        for(i=0;i<m;i++)wss[i]=0;
        for(i=0;i<n;i++)wss[wv[i]]++;
        for(i=1;i<m;i++)wss[i]+=wss[i-1];
        for(i=n-1;i>=0;i--)
            b[--wss[wv[i]]]=a[i];
    }
    void dc3(int *r,int *sa,int n,int m){
        int i,j,*rn=r+n;
        int *san=sa+n,ta=0,tb=(n+1)/3,tbc=0,p;
        r[n]=r[n+1]=0;
        for(i=0;i<n;i++)if(i%3!=0)wa[tbc++]=i;
        sort(r+2,wa,wb,tbc,m);
        sort(r+1,wb,wa,tbc,m);
        sort(r,wa,wb,tbc,m);
        for(p=1,rn[F(wb[0])]=0,i=1;i<tbc;i++)
            rn[F(wb[i])]=c0(r,wb[i-1],wb[i])?p-1:p++;
        if(p<tbc)dc3(rn,san,tbc,p);
        else for(i=0;i<tbc;i++)san[rn[i]]=i;
        for(i=0;i<tbc;i++)if(san[i]<tb)wb[ta++]=san[i]*3;
        if(n%3==1)wb[ta++]=n-1;
        sort(r,wb,wa,ta,m);
        for(i=0;i<tbc;i++)wv[wb[i]=G(san[i])]=i;
        for(i=0,j=0,p=0;i<ta&&j<tbc;p++)
            sa[p]=c12(wb[j]%3,r,wa[i],wb[j])?wa[i++]:wb[j++];
        for(;i<ta;p++)sa[p]=wa[i++];
        for(;j<tbc;p++)sa[p]=wb[j++];
    }
    void da(int n,int m){
        for(int i=n;i<n*3;i++)str[i]=0;
        dc3(str,sa,n+1,m);
        int i,j,k=0;
        for(i=0;i<=n;i++)rank[sa[i]]=i;
        for(i=0;i<n;i++){
            if(k)k--;
            j=sa[rank[i]-1];
            while(str[i+k]==str[j+k])k++;
            height[rank[i]]=k;
        }
    }

    void initRMQ(int n){
        for(int i=1;i<=n;i++)RMQ[i]=height[i];
        mm[0]=-1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            mm[i]=((i&(i-1))==0)?mm[i-1]+1:mm[i-1];
        for(int i=1;i<=n;i++)best[0][i]=i;
        for(int i=1;i<=mm[n];i++)
        for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++){
            int a=best[i-1][j];
            int b=best[i-1][j+(1<<(i-1))];
            if(RMQ[a]<RMQ[b])best[i][j]=a;
            else best[i][j]=b;
        }
    }
    int askRMQ(int a,int b){
        int t;
        t=mm[b-a+1];
        b-=(1<<t)-1;
        a=best[t][a];b=best[t][b];
        return RMQ[a]<RMQ[b]?a:b;
    }
    int lcp(int a,int b){
        a=rank[a];b=rank[b];
        if(a>b)swap(a,b);
        return height[askRMQ(a+1,b)];
    }
    void print(int n){
        cout<<"sa[] ";
        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<sa[i]<<" ";cout<<endl;
        cout<<"rank[] ";
        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<rank[i]<<" ";cout<<endl;
        cout<<"height[] ";
        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<height[i]<<" ";cout<<endl;
    }
}DA;
char str[maxn],str1[maxn];
int s[maxn][2];
int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0);
    std::cout.tie(0);
    int k;
    while(cin>>k&&k){
        cin>>str>>str1;
        int lena=strlen(str);
        int lenb=strlen(str1);
        int n=0;
        for(int i=0;i<lena;i++)DA.str[n++]=str[i];
        DA.str[n++]=1;
        for(int i=0;i<lenb;i++)DA.str[n++]=str1[i];
        DA.da(n,300);
        ll tot=0,top=0;
        ll sum=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(DA.height[i]<k)top=0,tot=0;
            else{
                ll cnt=0;
                if(DA.sa[i-1]<lena){
                    cnt++;tot+=(ll)DA.height[i]-k+1;
                }
                while(top&&DA.height[i]<=s[top-1][0]){
                    top--;
                    tot+=(ll)s[top][1]*(DA.height[i]-s[top][0]);
                    cnt+=(ll)s[top][1];
                }
                s[top][0]=DA.height[i];s[top++][1]=cnt;
                if(DA.sa[i]>lena)sum+=tot;
            }
        }
        tot=top=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(DA.height[i]<k)top=0,tot=0;
            else{
                int cnt=0;
                if(DA.sa[i-1]>lena){
                    cnt++;tot+=(ll)DA.height[i]-k+1;
                }
                while(top&&DA.height[i]<=s[top-1][0]){
                    top--;
                    tot+=(ll)s[top][1]*(DA.height[i]-s[top][0]);
                    cnt+=(ll)s[top][1];
                }
                s[top][0]=DA.height[i];s[top++][1]=cnt;
                if(DA.sa[i]<lena)sum+=tot;
            }
        }
        cout<<sum<<endl;
    }
    return 0;
}