第一：牛顿，高斯，欧拉，阿基米德
第二：柯西，庞加莱，康托尔，凯莱，哈密尔顿，黎曼，爱森斯坦，帕斯卡
第三：伽罗瓦，阿贝尔，希尔伯特，克莱因，狄里克雷，莫比乌斯，莱布尼茨，笛卡尔
第四：诺特，雷尔曼，欧几里得，勒让德，拉普拉斯，拉格朗日，克罗内克，雅可比，罗巴切夫斯基
第五：傅里叶，量子论奠基人（狄拉克、薛定谔、爱因斯坦）
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简要介绍：
高斯：可以与欧拉比肩，在数论上当之无愧的史上第一，几何史上top5，在代数领域也做了阿贝尔，伽罗华之前的最强的成就，在分析领域，也仅次于魏尔斯特拉斯，柯西，黎曼，阿贝尔等几人能稍微领先他。换言之，在1840年以前，王子是绝对的统治时代的人物，也是牛顿，欧拉之后又一个统治时代的数学家。可想而知，有多恐怖????！在被牛顿、欧拉统治下的时代刚过去，又来了个高斯！被称为“数学王子”。在1840年以前，高斯在数论，几何，代数，分析四大数学领域里均做出了当时最顶尖的成就。拥有过属于自己的统治时代，这一点上也只有牛顿和欧拉做到过。换言之，在1840年代群论和椭圆函数论逐渐崭露头角大放异彩之前，高斯是史上第一人毫无争议。但是他唯一的缺陷就是广度有了，但是深度不够，19世纪近现代数学最重要的标志性的成果，没有一个是王子独立开创的！近现代数学的标志性成果，黎曼几何、非欧几何、群论、椭圆函数论、复分析、分析基础严格化、复变函数论等等，没有一项是由高斯创立的！虽然高斯几乎在所有领域都作出了杰出的贡献，但他不是决定性的人物，群论归功于伽罗华和阿贝尔，椭圆函数论上阿贝尔，雅可比的工作超越了高斯，复分析与分析基础严格化以及复变函数论成就最大的是黎曼，柯西，魏尔斯特拉斯，虽然高斯被认为是非欧几何创始人之一，但他没有公开发表论文，而且完成度不如罗巴切夫斯基，鲍耶，虽然高斯引入曲率和测地线成为现代微分几何的奠基人，但将非欧几何、微分几何、椭圆几何大一统的黎曼几何是黎曼创立的，即使在高斯最强的数论领域，高斯所有数论的著作，没有一篇比得上黎曼猜想这篇仅仅八页纸的论文来的重要！而且高斯也只是统治了初等数论，对代数数论，解析数论贡献不大，甚至不如黎曼，戴德金，狄利克雷！几乎在十九世纪近现代所有最重要数学标志性成果，竟然没有一项的发明权是属于高斯的！很惊异吧？在很多人眼里史上第一的数学家，竟然没有一项成果可以跻身19世纪最重要的*成果的行列！从广度与厚度以及全面性来看，高斯无疑可以说是史上第一人，可以说，高斯一个人做到了很多人一起做到的工作，堪称智力奇迹，但论及深度，精度，开创性，洞察力，颠覆性，高斯显然就逊色了。其实，在1854年高斯听了黎曼关于几何基础的就职演讲的那一天，王子就已经被黎曼远远超越了！那一天开始，王子就已经不是史上最佳了！高斯研究了高次方程解问题，但发现群论的功绩属于伽罗华，阿贝尔。高斯发现了椭圆函数双周期性，但阿贝尔，雅可比在椭圆函数上的工作比高斯要深刻的多！高斯有了非欧几何的思想，但完成度不如罗巴切夫斯基和鲍耶！高斯苦思一生没有解决的几何基础问题，在他生前已经被黎曼解决！最小二乘法和二次互反率勒让德也发现了，正态分布发明权高斯必须与棣莫弗，拉普拉斯分享，等等等等……关于高斯的遗嘱笔记，对专业数学家而言，高斯的遗著笔记当然还是有很多启发，但基本已经不是前沿的东西了，几何的发展沿着黎曼的思想，代数群论的发展沿着阿贝尔，伽罗华的思想，分析与幂级数的发展随着魏尔斯特拉斯，柯西的思想发展，数论沿着狄利克雷，黎曼，戴德金的思想为主发展，数学界最重要的发展，跟高斯笔记甚至高斯本人其实关联已经不是很紧密了。如果说统治18世纪后半期到19世纪前半期数学的学者，高斯肯定是史上最强数学家之一！但随着数学的进展，尤其是19世纪对后世影响最大的启发，现当代数学的最伟大的一系列标志性成果，几乎没有一项是由高斯创立完成的，几何，分析，代数，甚至数论某些领域，所有分支在高斯生前就都已经被其他学者弯道小超车了，这个黑点高斯无论如何没法越过，这点和牛顿完全统治17世纪，欧拉完全统治18世纪，有些差距。但高斯的抽象性与严密性要超过欧拉，而且系统性也更强，但这有时代因素。而与希尔伯特，格罗滕迪克，庞加莱三位20世纪的伟大科学家比较而言，高斯的学术成就与这三位二十世纪的大师相比基本也是半斤八两，学术完成度与深度，贡献和影响力都旗鼓相当。甚至在未来这三人的地位都有可能超过高斯，而且这三人都是对现当代数学的影响力是直接的和卓越的，学术难度都超越高斯不少。但是，高斯最大的优势是时间优势，比起这两位位大师，高斯作出同级别同重量级的学术成就比起这两位大师早了一百年！这三位大师的学术影响力还需要更多的时间的考验，也许再过一两百年，这几位大师的地位都可能超越高斯，但现在排在高斯之前，还不合适。而比起伽罗华，阿贝尔，虽然伽罗华和阿贝尔引发了群论以及结构化抽象代数的思潮，进而成为当代数学最重要的数学范式与浪潮，并深刻影响了物理学。可以说，高斯没有一项成就比得上。在思想上，洞察力与创造力上，高斯比起这两个年轻人差距不小，尤其群论和抽象结构化数学已经统治了当代数学，这个影响力无与伦比，当代数学早已远远不是高斯的时代的东西了，对后世影响力高斯拍马难及。但是，高斯在数学成就的全面度，完成度要远远超越伽罗华和阿贝尔，高斯在各大分支均做出时代顶尖的成就，而阿贝尔，伽罗华更像代数偏才，阿贝尔分析还可以，对几何数论贡献可以忽略，伽罗华本人更是对几何分析数论几乎没有贡献！所以整体综合成就上，高斯已经超越阿贝尔和伽罗华很多了！其次，即使说到阿贝尔，伽罗华代表性的群论和结构化抽象化数学思想，这当然极其灿烂光辉，高斯没有一项成就比得上，但是问题是，伽罗华阿贝尔对群论和抽象代数的思想只是起了个源头，做了萌芽状态的突破，但因为短命离世，并未作出更多实质性的突破，也就是说虽然伽罗华阿贝尔两人体现了深邃的洞察力创造力，但他们更多的是起了一个创始人萌芽思想的作用，群论和抽象代数的主要功绩更多的是由后人如庞加莱，希尔伯特，格罗滕迪克以及戴德金等学者完成，也就是说，在成果的完成度上，伽罗华阿贝尔的成果还是较原始和粗糙，并未实质性统治或改变数学。在这点上，伽罗华和阿贝尔比起黎曼差距很大。本来如果伽罗华阿贝尔再活二三十年，保持这样的创造力，完全可以与庞加莱甚至黎曼一较高下了，数学成就史上前三甚至前四里就没有高斯什么事了。所以比起伽罗华阿贝尔来说，高斯的学术完成度要超越他们很多，尤其是数论和微分几何的成就，基本终结了古典数学时代，定型了领域和研究，何况高斯对各个数学分支都具有广泛的杰出成就，在1840甚至1850年以前是独领风骚的，这点上阿贝尔，伽罗华无法与高斯相提并论。所以高斯总体数学成就比阿贝尔伽罗华要高出大半个档次到一个档次，没有争议。综合以上，目前高斯排在史上第二的位置，暂时还是合适的。
黎曼：代表作黎曼几何(人类数学史，物理史，乃至思想史，史上最重要一次智慧与认知突破，对整个人类意义层面上来说，黎曼几何产生的时空观念，堪与牛顿力学，进化论，相对论，量子力学等相媲美，其重要意义远超过微积分和群论，没有争议。)黎曼曲面，流形(现当代数学，物理的最重要的数学构造和基础工具之一，不解释)黎曼洛赫定理(当代代数几何乃至物理学的数学中心定理中心支柱之一，不解释)黎曼映射定理(听说过黎曼曲面的高维单值化定理吗？不解释)黎曼猜想(最重要的数学猜想，史上最惊艳的个人秀，单核碾压全时代数论学者包括高斯无压力，一篇仅仅八页的短文，160年前，迄今未被超越) 。虽然说文无第一，但是从纯数学上来看黎曼的突破性和难度上是最大的，不考虑其它方面，仅仅从数学成就的角度来看，黎曼无论在重要性，影响力，颠覆性和突破性上，都远远超过高斯,欧拉,牛顿，换言之，黎曼在数学上的成就，大约等于高斯加欧拉再加上牛顿和庞加莱的总和，他们的差距大概这么远。难度上来说，黎曼以下的数学家，跟他差距都比较大，基本不在一个等级上，除了庞加莱在拓扑学难度上可以稍微接近之外。那么说黎曼是世界数学界最具影响力数学家的理由是什么？（1）史上唯一具有全面统治力的数学家，没有之一！以黎曼命名的数学成果共有81个，仅次于高斯(110个)，欧拉(102个)，数学成果多少不是黎曼的主要贡献，黎曼对如何证明发现几十几百条各个数学分支的定理兴趣似乎不大，黎曼只搞那些将几何，数论，分析等各类分支大一统的数学工具，重新改变数学的观念和定义！其他数学家停留在发现和研究数学，而黎曼直接是创造数学。这就是黎曼比高斯，庞加莱，欧拉，牛顿强的原因！黎曼所做的都是数学史上最重要的工作，而这些工作只有黎曼一个人在做。很多人说黎曼的主要成就是开创奠基了复变函数，非欧几何，解析数论，代数几何，拓扑学等等学科，这当然很伟大，也很形式化，但这个评价并不能准确评估黎曼的地位，如果黎曼只是开创了多少新学科，那么他的数学成就和地位不会比欧拉，高斯，庞加莱，希尔伯特，牛顿更高。开创许多数学分支并不是黎曼的核心成就，黎曼的辉煌是来自他在开创这些分支时所发明的方法和数学构造，而这些数学构造却是联接几何，分析，拓扑，数论，乃至物理的工具，比如黎曼曲面，流形，黎曼罗赫定理，黎曼映射定理，无不是直接联接数学与物理的最重要的数学工具，很难想象当代一流的数学家或理论物理学家能够不用到这些基础而作出一流的工作。黎曼的创造性的工作，使他成为史上迄今唯一统治了数论，几何，分析各大数学分支并为现代物理提供最强力数学构造的超神级数学家。唯一能够与黎曼接近的是庞加莱。虽然牛顿联接了分析与物理，但牛顿在数论，代数，几何上的成就太次，根本达不到水准之上；高斯和欧拉，柯西等人成果覆盖数论代数几何分析，号称全才，但和黎曼直接联结分支的工作比起来，就显得完全不是一个档次的工作了。黎曼一篇八页的论文，就能干掉高斯除算数探索和曲面几何之外所有成果的总和了。阿贝尔，伽罗华的群论抽代思想，既可以对数学全局具有统治力，也完美联结物理，本可以与黎曼抗衡，但他们的完成度太低，短命留下了数学史上最大遗憾。黎曼唯一的缺憾是没有对代数群论作出成果，影响了他真正大一统数学领域，但也留下了大手笔，请不要忘记，黎曼-罗赫定理是现代抽象结构代数几何的中心！（2）史上最具创造力，洞察力与远见的数学家，没有之一。黎曼从来不以证明定理、爆算能力著称，甚至不在乎证明的严格性。黎曼只搞*自在的创造！黎曼面，流形，度量，曲率张量，亏格，参模数，模空间，力即几何，空间弯曲，等等在当时看来稀奇古怪的数学新概念新观念，后来都被证明黎曼提出的新观念，新概念。这些才是数学物理的正确打开方式，才是数学物理走进现代的基石，如果没有黎曼凭空搞出来的这些奇怪的东西，现代数学和现代理论物理估计就完蛋了，相对论和量子场论恐怕就是民科了，现在最热门的物理理论分支弦理论绝对不复存在了。而这些稀奇古怪的东西，在黎曼屈指可数的十几篇论文里俯拾皆是，这类新概念新观念，随便你发明了其中一个，都会成为中国第一乃至世界前几位的数学家！即使是他次一级的成就，比如柯西黎曼条件，黎曼积分，黎曼许瓦兹定理，黎曼泽塔函数等等等等之类，拿出来放在今天，也足以让任何一个数学家成为相关领域的顶尖学者！高斯是古典数学的集大成者，并启发了现代数学，但带领数学走进现代化的，是黎曼，伽罗华，阿贝尔，其中黎曼，才是现代数学和物理大爆发的原点！（3）现代数学开山祖师，现代数学之王，对现代数学影响最深的学者，没有之一！（4）史上思想最深邃，最具深度的数学家，没有之一！一辈子只有18篇论文，但其中蕴含的思想，至今在引导数学家走向新的境界。黎曼的数学思想，兼具了统治力，创造性，前沿性和引导力，既找到了金矿，同时为后来者提供了挖掘金矿的工具，在完成度和启发性上，史上第一，没有争议！（5）黎曼重写了数学的语言，观念和定义。黎曼之后，人们突然发现，**，原来数学还可以这么搞，原来这么搞搞出来的东西的价值才大，沿着黎曼十几篇文章搞出来的东西，才是现代数学与理论物理的正确表达。这点太重要了，观念的突破是决定性的，能够与黎曼媲美的只有庞加莱，伽罗华，和可怜的阿贝尔！（6）对当代物理学影响深远，华人数学家丘成桐，陈省身，物理学家杨振宁都是黎曼的脑残粉。丘成桐说中国学生中只要有人能完成黎曼一篇论文中的部分，这个人就能成为中国最伟大的数学家，虽然有点夸张，但也说明了黎曼的重大影响力。杨-米尔斯理论实质就是黎曼-罗赫定理至今的终极应用，每一次对这个黎曼-罗赫定理的推广成功都是数学和物理的巨大进步，英国当代最伟大数学家阿蒂亚(Atiyah)认为，杨-米尔斯理论实际上是数学科学大统一的核心。它是黎曼-罗赫-格罗腾迪克(Riemann-Roch-Grothendieck)定理的推广从而与代数几何相关，同时又将分析直接同拓扑及微分几何不变量联系起来。数学金字塔Top3，深度黎曼，广度高斯，难度庞加莱，黎曼站在高斯肩膀上并全面超越，但黎曼之后的数学巨匠庞加莱，格罗滕迪克都无法彻底走出黎曼的阴影，奠定上面两人核心地位的拓扑和代数几何雏形都是黎曼开创的，这仅仅黎曼部分成就，而黎曼对发现数学新理论，新分支，解决难题没有兴趣，仅仅是提供新的数学概念，观念，想法，却奠定了黎曼祖师爷地位。不过由于黎曼观念与方法过于超前，不为当时所理解。虽然黎曼在生前已经被公认为当时代最强的数学家之一，但这只是他那些别的同行看得懂的工作而言，黎曼更重要的思想，在论文中创造出稀奇古怪的新概念，很怀疑当时有几个数学家能够理解，而黎曼开辟的思想方法工具领域，在长达近乎五十年，也就是半个世纪里，都是相对冷门的研究领域，比如黎曼几何，更多的是当作一种可以自洽的几何学，有几个意大利学者在玩，没人觉得这玩意有用，更不是数学界的主流，又比如黎曼猜想，也一样在半个世纪里几乎没几个人问津，相比较而言，魏尔斯特拉斯，雅可比，戴德金，才是数学界的主流，以及阿贝尔，伽罗华的学说都开始逐渐成为主流。而且黎曼对于证明的某些不严谨，也让后世数学家们纷纷避开黎曼面这个神级利器。所幸意大利那几个学者默默的坚持搞这些全无用处的学问，以及后世克莱因，希尔伯特，庞加莱的力挺，黎曼终于回到神坛，在重新发现黎曼的过程中，相关学者当然也收获的超级丰厚的回报，尤其是相对论的诞生，直接让黎曼成为数学史上第一人。在黎曼还活着的时候，他已经是公认的当时最强数学家之一，虽然有“之一”，但他的成就与地位，公认的不如前一辈的有高斯柯西，同一辈的魏尔斯特拉斯，雅可比，甚至阿贝尔，伽罗华，声望都要高于黎曼，即使和狄利克雷，戴德金，爱森斯坦比，也就半斤八两。这无疑大大低估了黎曼的实际成就。当时看不清楚，而在160年之后回头看，黎曼才是十九世纪数学界灿烂星空中位居正*的最耀眼的那一颗，光芒足以照亮整片星空！
所以做数学研究的数学工具有哪些？有哪些数学分支是值得研究的？而数学应用在地图学上有哪些应用？应用价值如何？两人哪个应用价值更高？哪个学术成就更高？
二十世纪数学家排名 ( 陈省身31、华罗庚99...... ) :http://www.sohu.com/a/229681134_275707